【正文】 udv。 【例題 1】設(shè) )(xf 連續(xù)，且 ? ?? x dttftxx0 )()()(?，求 )(x?? 。 三、定積分基本理論 定理 1 設(shè) ],[)( baCxf ? ，令 ??? xa dttfx )()(，則 )(x? 為 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，即)()( xfx ??? 。 高等數(shù)學(xué)部分 定積分理論 一、定積分的產(chǎn)生背景 曲邊梯形的面積問(wèn)題 變速運(yùn)動(dòng)路程問(wèn)題 7 二、定積分的定義 — 設(shè) )(xf 為 ],[ ba 上的有界函數(shù)，若ini i xf ???? )(lim 10 ??存在，稱(chēng) )(xf 在],[ ba 上可積，極限稱(chēng)為 )(xf 在 ],[ ba 上的定積分，記 ?ba dxxf )( ，即?ba dxxf )( ini i xf ?? ??? )(lim10 ?? 。 【矩陣秩例題】 【例題 1】設(shè) ??, 皆為三維列向量， TTA ???? ?? ，證明： 2)( ?Ar 。 （ 2）設(shè) BA, 為同型矩陣，則 )()()( BrArBAr ??? 。 （ 2） 1)( ?Ar 的充分必要條件是 OA? 。 （ 2）設(shè) A 為 n 階矩陣，若 0|| ?A ，則 nAr ?)( ，稱(chēng) A 為滿秩矩陣。 第四步 三個(gè)問(wèn)題 【問(wèn)題 1】設(shè) A 為 n 階可逆矩 陣， A 能夠經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為單位矩陣？ 【問(wèn)題 2】 設(shè) A 為 n 階不可逆矩陣， A 能夠經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為 ???????? OO OEr？ 【問(wèn)題 3】 設(shè) A 為 n 階不可逆矩陣， A 能夠經(jīng)過(guò) 有限次初等變換化為 ???????? OO OEr？ 第五步 初等變換法求逆陣及兩個(gè)相關(guān)的定理 定理（初等變換法求逆陣）設(shè) A 為 n 階可逆矩陣，則 A 可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為初等矩陣。 （ 2） )0)(( ?ccEi — 單位矩陣的 i 行乘以 c 或單位矩陣的 i 列乘以 c 。 求矩陣逆陣的方法 方法一：伴隨矩陣法（略） 方法二：初等變換法 第一步 方程組的三種同解變形 （ 1）對(duì)調(diào)兩個(gè)方程的位置方程組的解不變； （ 2）某個(gè)方程兩邊同乘以一個(gè)非零常數(shù)方程組的解不變； （ 3）某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一 個(gè)方程方程組的解不變。 4 【注解】 （ 1）第一種解的情況產(chǎn)生矩陣的第一個(gè)核心問(wèn)題 — 矩陣的逆陣。 【例題 2】討論方程組??? ????? 2 132321 xx xxx 解的情況，并分析原因。 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????22112222212111212111 （ 2） 稱(chēng)（ 2）為非齊線性方程組。 （ 2）矩陣乘法沒(méi)有交換律。 矩陣運(yùn)算 （ 1）矩陣加、減法： ??????????????????????????????mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA??????????????212222111211212222111211,，則 ?????????????????????????mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA???????221122222221211112121111。 推薦快速學(xué)習(xí)一下思維導(dǎo)圖法與快速閱讀法，對(duì)理解與記憶的幫助十分之大，里面有針對(duì)考研版本，對(duì)于時(shí)間不夠用，效率低的同學(xué)特別適用，本人切身體驗(yàn)，沒(méi)用不會(huì)推薦希望對(duì)大家也有幫助！建議練上 30小時(shí)足矣。 我想，每一次都推薦一下對(duì)大家都非常有用的信息，只推薦三個(gè)有用的，其他的我覺(jué)得都沒(méi)什么意思，每一次推薦都不容易，希望大家珍惜。 （ 3）單位矩陣 — 主對(duì)角線上元素皆為 1其余元素皆為零的矩陣稱(chēng)為單位矩陣。 1 考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班輔導(dǎo)講義 線性代數(shù)部分 — 矩陣?yán)碚? 一、矩陣基本概念 矩陣的定義 — 形如??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211，稱(chēng)為矩陣 nm? ，記為 nmijaA ?? )( 。 （ 4）對(duì)稱(chēng)矩陣 — 元素關(guān)于主對(duì)角線成軸對(duì)稱(chēng)的矩陣稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣。大家有選擇性的看，都是個(gè)人覺(jué)得非常好的。已經(jīng)給大家找好了下載的地址，先按住鍵盤(pán)最左下角的“ Ctrl”按鍵， 請(qǐng)直接點(diǎn)擊這里下載 。 （ 2）數(shù)與矩陣之積： 2 ???????????????mnmmnnkakakakakakakakakakA???????212222111211。 （ 3）含方陣 BA, 的矩陣多項(xiàng)式 可象普通多項(xiàng)式一樣因式分解的充分必要條件是BAAB? 。 3 令 ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，???????????????nxxxX ?21，???????????????mbbbb ?21，則（ 1）、（ 2）可分別表示為矩陣形式： OAX? （ 1） 及 bAX? （ 2） 對(duì)方程組（ 1）： 【例題 1】討論方程組??? ???? 02 02121 xx xx 解的情況，并分析原因。 【例題 3】討論方程組??? ???? 422 12121 xx xx 解的情況，并分析原因。 （ 2）第二、三兩種情形產(chǎn)生矩陣的另一個(gè)核心問(wèn)題 — 矩陣的秩。 第二步 矩陣的三種初等行變換 （ 1）對(duì)調(diào)矩陣的兩行； （ 2）矩陣的某行同乘以一個(gè)非零常數(shù)； （ 3）矩陣某行的倍數(shù)加到另一行。 性質(zhì)： 1） 0|)(| ?? ccEi ； 2） )1()(1 cEcEii ??； 3） AcEi )( 為將 A 的 i 行乘以非零常數(shù) c 所得到的矩陣， )(cAEi 為將 A 的 i 列乘以非零 5 常數(shù) c 所得到的矩陣。 （二）矩陣的秩（記住：在方程組中矩陣的秩本質(zhì)上就是約束條件） 定義 — 設(shè) A 為 nm? 矩陣，若 A 存在一個(gè) r 階非零子式，但所有的 1?r 階子式（如果有）都是零，則 r 稱(chēng)為 A 的秩，記為 rAr ?)( 。矩陣可逆、滿秩及非奇異等價(jià)。 6 （ 3） 2)( ?Ar 的充分必要條件是 A 至少有兩行不成比例。 （ 3） )}(),(m in{)( BrArABr ? ，等價(jià)于??? ?? )()( )()( BrABr ArABr。 【例題 2】設(shè) A 為 n 階可逆陣，證明 A 的逆陣是唯一的。 【注解】 （ 1）極限與區(qū)間的劃分及 i? 的取法無(wú)關(guān) 。 【注解】 （ 1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。 【例題 2】設(shè) )(xf 為連續(xù)函數(shù)，且 ? ?? x dttxtfxF0 22 )()(，求 )(xF? 。 8 五、定積分性質(zhì) 基本性質(zhì) （ 1） ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([。 （ 5）設(shè) )(0)( bxaxf ??? ，則 0)( ??ba dxxf。 （ 7）（積分中值定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則存在 ],[ ba?? ，使得 ))(()( abfdxxfba ??? ?。 （ 2）周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè) )(xf 以 T 為周期，則 1） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()(，其中 a 為任意常數(shù)。 3）?????? ??為奇數(shù)為偶數(shù)nndxxdxx nn,0,c os2c os 200?? 。 【例題 3】計(jì)算 ?? ?11 24 1 dxxx。 【例題 2】討論函數(shù) ][)( xxxf ?? 的周期性。 （ 2）函數(shù) )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限（ ??? ） — 若對(duì)任意的 0?? ，總存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 ax 時(shí)，有 ??? |)(| Axf 成立，稱(chēng) A 為 )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限，記為 Axfax ?? )(lim。 （ 2）形如 )0( ?? aa bxk 當(dāng) ax? 時(shí)的極限一定分左右極限。 【注解】 （ 1）無(wú)窮小一般性質(zhì) 1）有限個(gè)無(wú)窮小之和、差、積為無(wú)窮小。 （ 3）當(dāng) 0?x 時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小 1） )1l n (~1~a r c t a n~a r c s i n~t a n~s i n~ xexxxxx x ??； 2） 221~cos1 xx? ； 3） axx a ~1)1( ?? 。 【例題 6】計(jì)算極限3tan0lim xee xxx??。 （ 2）函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)的定義 — 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有定 義， )(xf 在 ),( ba 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，且 )()0(),()0( bfbfafaf ???? ，稱(chēng) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)。 （ 2）設(shè) )( xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 至少一個(gè)不存在，稱(chēng) ax? 為 )(xf 的第二類(lèi)間斷點(diǎn)。 二、極限有關(guān)性質(zhì) （一）極限一般性質(zhì) 定理 1（唯一性定理） 極限具有唯 一性。 情形一：設(shè) }{na 單 調(diào)增加，且存在 M ，使得 Man? ，則nn a??lim存在。 （ 2）函數(shù)型：設(shè) )()()( xhxgxf ?? ，且 Axhxf ?? )(lim)(lim ，則 Axg ?)(lim 。 記憶： })11{( nn? 單調(diào)增加收斂于 e 。 定理 4 （ 1） 設(shè) ],[)( baCxf ? ，對(duì)任意的 ],[ Mm?? ，存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f ，即位于最小值和最大值之間的任何值函數(shù)都可以取到。 14 【例題 2】設(shè) ],[)( baCxf ? ，證明：對(duì)任意的 0,0 ?? qp ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()()( ?fqpbqfapf ??? 。 （ 2）函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義 xyxf x ???? ?? 00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000 ??? ? 0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx ??? ? 。 【注解】 15 （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與函數(shù)在一點(diǎn)可微等價(jià)。 1)( ??? aa axx ，特別地????????????xxxx21)(1)1(2 。 （ 1）211)(arc s in xx ??? ； （ 2）211)( a r c c os xx ???? ； （ 3）21 1)(arc tan xx ???； （ 4）21 1)c o t( xxarc ????。 2)( v vuvuvu ?????； )()1(1)(0)()( nnnnnnnn uvCvuCvuCuv ????? ? ?。 三、求導(dǎo)基本類(lèi)型 （一）顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 【例題 1】設(shè) )s e c2ln ( ta n 21s in 2 xxey x ??? ，求 y? ； 【例題 2】設(shè) xxy sin? ，求 y? ； （二）參數(shù)方程確 定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) )(xfy? 由??? ?? )()(ty tx ??確定，其中 ??, 皆二階可導(dǎo)，求 dxdy 及22dxyd 。 【例題 2】設(shè)??? ?? ??? 0, 0),1ln()( xbax xxxf，且 )0(f? 存在，求 ba, 。若存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 0xx 時(shí)，有 )()( 0xfxf ? ，稱(chēng) 0xx? 為 )(xf 的極大點(diǎn)；若存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 0xx