【正文】 畢業(yè)論文 14 果； (4)是灰度膨脹后的結果?；叶扰蛎浥c二值膨脹之間也有類似關系。但是這里存在一個限制條件，即結構元素必須在信號曲線的下面平移。 灰度膨脹和腐蝕除了具有前面逐點定義的形式外，還有的全局定義的形式 ，其分別如式（ 237）和式（ 238）所示。 (a) 原始灰度圖像 (b)灰度膨脹圖像 (c)灰度腐蝕圖像 圖 214 灰度圖像膨脹腐蝕仿真結果 理工大學畢業(yè)論文 15 圖 214 給出了灰度圖像膨脹和腐蝕結果。從 (b)可以看出圖像經(jīng)過膨脹后，比原圖像更明亮且消除了小的、暗的細節(jié)。 從圖中效果可以看出，膨脹變換是由結構元素確定的鄰域中選取圖像值與結構元素值的和的最大值，致使輸出圖像比輸入圖像亮；腐蝕變換是由結構元素確定的鄰域塊中選取圖像值與結構元素值的差的最小值，致使輸出圖像比輸入圖像暗。 1．對偶性 如式（ 239）所示。 gfgfgfgfff ??????????? , （ 240） gfgfgfgfgg ???????????? , （ 241） 3．擴展縮小性 如式（ 242）所示。 fggf ??? （ 243） 5. 結合律 如式（ 244）所示。 ])[(][],)[(][ hgfghfhgfghf ?????? （ 245） ])[(][],)[(][ hgfhgfhgfhgf ?????? （ 246） hgfhgfhgfghf ?????????? )()(,)()( （ 247） hgfhgfhgfhgf ?????????? )()(,)()( （ 248） 7. 與極大（極小）函數(shù)關系 如式（ 249）、式（ 250）和式（ 251）所示。與二值情況相同，這兩種運算為對偶運算。用 b (灰度 )開啟 f 記為 bf? ，其定義如式（ 252）所示。這種填充表達方式可以從幾何角度直觀地描述開運算：在信號的下方滑動結構元素，并在每一點記錄結構元素上的最高點，原點相對結構元素的位置不會對運算結果產(chǎn)生影響。 bbfbf ???? )( （ 253） 閉合運算的直觀描述則是一種滾球的效果：在信號上方滾動結構元素，并記錄每一點結構元素上的最低點，同樣原點相對結構元素的位置不會對運算結果產(chǎn)生影響。圖 (b)給出 b 在開啟中的幾個位置。從圖 (c)可看出，對所有比 b 的直徑小的山峰其高度和尖銳程度都減弱了。實際中常用開啟操作 來 消除與結構元素相比尺寸較小的亮細節(jié)，理工大學畢業(yè)論文 17 而保持圖像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不受影響。 圖 216 給出了一個原始灰度圖像為圖 215 中的原始圖像的開啟和閉合運算的結果，其中用的結構元素為 77? 的菱形結構元素。 灰度形態(tài)學開運算和閉運算性質(zhì) 灰度膨脹、腐蝕、開啟和閉合四種基本運算的一些性質(zhì)和二值圖像形態(tài)學運算性質(zhì)相比，有許多相同之處。 ygfgyf xx ??? )()( ?? （ 254） 同樣，開運算的遞增性、非擴展性和冪等性可表示為 式（ 255）和式（ 256）的形式。 軟數(shù)學形態(tài)學可進一步分為灰度軟數(shù)學形態(tài)學和二值軟數(shù)學形態(tài)學 。 與結構元素軟邊界對應的處理結果和與結構元素核心 (重復 K 次 )對應的結果按升序或降序排列 。令 )}({ xfk? 表示 ）xf( 重復 K 次，軟灰度結構元素 ][ k， ?? 對灰度圖像 f 的軟形態(tài)腐蝕的定義 [10]如式（ 257）所示。 由式（ 257）可見 ，軟數(shù)學形態(tài)膨脹或腐蝕的結果與結構元素核心重復的次數(shù) K 密切相關， K=1 時，軟化形態(tài)學退化為標準形態(tài)學。所以軟化形態(tài)學比標準形態(tài)學具有更強的抑制噪聲的能力 [11]。 模糊算子的定義不同，相應的模糊形態(tài)運算的定義也不相同 [4]。用有界支撐的模糊結構元素對模糊圖像的腐蝕和膨脹運算按它們的隸屬函數(shù)定義為 : )]]()(1[m i n,1m i n [)]]()(1,1[ m i n [m i n)(yyxyyxxBAByBByBA ?? ??? ??? ???????? （ 258） ]]1)()(m a x [,0[m a x]]1)()(,0[ m a x [m a x)(??????????? yyx yyxxBAByBAByBA ?? ??? （ 259） 其中， 2, Zyx ? 代表空間坐標 , A? ， B? 分別代表圖像和結構元素的隸屬函數(shù)。 模糊形態(tài)學是傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)學從二值邏輯向模糊邏輯的推廣 ， 與傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)學有相似的計算結果和相似的代數(shù)特性 ， 模糊形態(tài)學重點研究 n 維空間目標物體的形狀特征和形態(tài)變換 ， 主要應用于圖像處理領域 ， 如模糊增強、模糊邊緣檢測、模糊分割等。一個物體的結構一般可以通過物體內(nèi)部各種成分之間的關系來確 定。在前面所述各種變換中，變換原理本質(zhì)上均是基于結構元素是否全部包含在集合 A 或它的補集 cA 中，而實際中還存在一些中間狀態(tài)，即結構元素與 A和 cA 均相交。然而在實際中，這些相交結構常常會包含豐富的信息。 擊中擊不中變 換 就是在一次運算中同時可以捕獲到內(nèi)外標記。 變換過程如圖 31[7]所示： )()(* 21 BABABA c ??? ? （ 31） 31 擊中擊不中變換 ―擊中或擊不中變換 ‖這一名稱基于運算結果被兩次腐蝕影響的方式。嚴格地說，擊中和擊不中變換的說法更準確，擊中或擊不中變換的說法更常用。每次細化操作都會從二值圖像物體的厚度中刪除一個或兩個像素 。 cBAABAABA )*()*( ????? （ 32） 關鍵問題是要應用多少次細化 操作 。 理工大學畢業(yè)論文 20 圖 32 細化結果 和細化相對應的是粗化，用 B 對 比 進行粗化表示為 A ，定義 如式（ 33）所示。形態(tài)學重構是圖像形態(tài)處理的重要操作之一，通常用來強調(diào)圖像中與掩模圖像指定對象相一致的部分，同時忽略圖像中的其他對象。 圖 33 是 用一幅簡單圖像來說明形態(tài)圖像包含兩個主要對象，這兩個對象的像素塊分別由數(shù)值 14 和 18 組成，圖像的大部分背景像素值為 10，其他為 11。一種創(chuàng)建標記圖像的方法就是將掩模圖像減去一個常數(shù)。 （ 2） 重構將一直重復至圖像穩(wěn)定（即圖像不再變化）；形態(tài)學重構是基于連通性原理，而 不是基于結構元素。 10101010101010101010101010101010101010101010161616101010101010101616161010101010101016161610101010101010101010101010101010101010101012121210101010101010121212101010101010101212121010101010101010101010?B 圖 34 標記圖像的形態(tài)重構結果 形態(tài)學圖像平滑 圖像中的噪聲和邊緣在空間域中都表現(xiàn)為梯度的突變，在頻域中都表現(xiàn)為高頻信息。由于噪聲的濾除直接影響著邊緣檢測的效果，所以進行邊緣檢測的關鍵在于判斷噪聲點與邊緣點。 實現(xiàn)形態(tài)學平滑處理的一種途徑是先使用形態(tài)學進行開操作，然后進行閉操作。開運算可以抑制信號中的峰值 (正脈沖 )噪聲，而形態(tài)閉運算可以抑制信號中的底谷 (負脈沖 )噪聲。用結構元素 B對集合 A 進行開操作，就可以將目標周圍的噪聲塊消除掉。該方法中，對結構元素的選取進行閉操作，則可以將目標內(nèi)部的理工大學畢業(yè)論文 22 噪聲孔消除掉。 （ a）原圖像 （ b）加入噪聲密度為 的椒鹽噪聲 （ c）經(jīng)過開 — 閉平滑操作后的圖像 （ d）經(jīng)過閉 — 開平滑操作后的圖像 圖 35 圖像平滑操作仿真 結果 對于灰度圖像，用開運算消除與結構元素相比尺寸較小的亮細節(jié)．而保持 圖 像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不變。將這兩種操作綜合起來可達到濾除亮區(qū)和暗區(qū)中各類噪聲的效果。 圖 35 顯示了在原圖中加入噪聲密度為 的椒鹽噪聲后的污染圖像和經(jīng)過平滑后的圖像，操作選用 33? 的十字形結構元素。 理工大學畢業(yè)論文 23 圖像的骨架化及邊界像素值的測定 在某些應用中，針對一幅圖像，希望圖像中的所有對象簡化為線條，但不修改圖像的基本結構，保留圖像的基本輪廓，這 個過程就是所謂的骨架化操作。 在一幅圖像中，如果圖像某個像素值滿足以下條件： （ 1） 該像素狀態(tài)為 ON； （ 2） 該像素領域中有有一個或多個像素狀態(tài)為 OFF。圖 36 顯示了一幅二值圖像的骨架化效果和邊界像素測定效果 。 理工大學畢業(yè)論文 24 第 4 章 基于形態(tài)學的圖像邊緣檢測 圖像邊緣的定義 圖像的邊緣對人的視覺具有重要意義。 邊緣是圖像灰度不連續(xù)性的反映，它存在于目標與背景、目標與目標、區(qū)域與區(qū)域、基元與基元之間，包含了圖像的大量信息，反映了物體的特征。 一個好的邊緣檢測算法應滿足：檢測精度高；抗噪能力強；計算簡單；易于并行實現(xiàn)。 圖像上的邊緣點和以下幾種情況相對應： 1．空間曲面上的不連續(xù)點。 由 對圖像的邊緣分析可見 ，在圖像上灰度不連續(xù)處和變化劇烈處可能存在圖像的邊緣。階躍狀邊緣是指邊緣兩 側圖像的灰度值有明顯變化，屋脊狀邊緣是指邊緣位于圖像灰度增加和減少的交界處。在邊緣檢測中，常用的方法是尋找圖像灰度函數(shù)的一階導數(shù)局部最大值或是二階導數(shù)局部過零點。如果將客觀實體用 圖 像來表達，則集合變換主要是選擇較小的特征 圖 像集合 (即結構元素 )， 并使之與目標 圖 像相互作用，以達到 圖 像分析及特征提取的目的，亦即通過結構元素及形態(tài)學運算復合方式的選擇來達到 圖 像處理的目的。 結構元素的確定 結構元素是形態(tài)學的基本算子 ， 合理選取結構元素直接影響圖像處理的效果和質(zhì)量 ， 結構元素的選擇在于結構元素的形狀和尺寸大小如何確定 [15]。形態(tài)學變換通常是利用對稱結 構元素進行運算的，當結構元素非對稱時運算的結果一般會產(chǎn)生偏移。 （ 2）結構元素形狀的選擇。圓盤形結構元素由于各向同性，因此可以得到與方向無關的運算結果。 結構元素的尺寸 當確定了結構元素的形狀后，結構元素 的尺寸是至關重要的。當結構元素尺寸太大時，閉運算時目標之間會互相干擾造成過度粘連，開運算時會造成假斷裂。 設結構元素 B 可以分解為小結構元素 C 對小結構元素 D 的膨脹，即 CDB ?? ，則式（ 218）可以表示為如式（ 41）的形式。結構元素尺寸的選擇就轉化為如何選擇小結構元素尺寸和腐蝕的次數(shù)問題。 有如 式（ 44）的 計算公式： 1)1( ???? krR （ 44） 其中， R 為結構元素尺寸， r 為小結構原素尺寸， k 為膨脹或腐蝕的次數(shù)。 Robert 算子是一種利用局部差分尋找邊緣的算子； Sobel算子利用像素鄰近區(qū)域的梯度值來計算 1 個像素的梯度，然后根據(jù)一定的閾值來取舍。 Canny 首先提出了最優(yōu)邊緣檢測算子，采用函數(shù)的一階導數(shù)相近的濾波函數(shù)，性能優(yōu)于 LOG 算 子 ，但定位不夠精確，且計算量較大。它的基本思想是用一定形態(tài)的結構元素去度 量 和提取圖像中的對應形狀以達到對圖像分析和識別的目的。形態(tài)學方法進行圖像邊緣檢測，算法簡單同時能較好地保持圖像的細節(jié)特征，較好地解決了邊緣檢測 斷點問題。由此，在數(shù)學形態(tài)學圖像處理中也提出了幾種形態(tài)梯度。 BfBffBfBf ??????? ? （ 47） 由 式（ 47） 我們可以構造出基本的形態(tài)學梯度邊緣檢測算子： 膨脹型 如式（ 48）所示 ： fBfyxE ???),( （ 48） 腐蝕型 如式（ 49）所示 ： BffyxE ???),( （ 49） 膨脹腐蝕型 如式（ 410）所示 ： BfBfyxE ????),( （ 410） 理工大學畢業(yè)論文 27 開操作型 如式（ 411）所示 ： BffyxE ???),( （ 411） 閉操作型 如式（ 412）所示 ： fBfyxE ???),( （ 412） 開閉操作型 如式（ 413）所示 ： BfBfyxE ????),( （ 413） 顯然，數(shù)學形態(tài)學差分算子的實質(zhì)是傳統(tǒng)差分算子在一定意義上的推廣。在實際應用中，用以上的算子來進行邊 緣檢測，也取得了一定的效果，根據(jù)結構元素的不同選取，可以得到不同的實際邊緣效 （ a） sobel算子 （ b） log算子 （ c） prewitt 算子 （ d） canny 算子 （ e） zerocross 算子 （ f） marrHildreth 算子 圖 41 無噪聲時傳統(tǒng)邊緣檢測算子 邊緣檢測結果 果。 由 形態(tài)學 可見，膨脹型算子是將原圖像膨脹后減去原圖像從而得到圖像邊緣，得到的是圖像的外邊緣，由于膨脹運算 在結構元素的值為正時，使輸出圖像趨向比輸入圖像亮，暗細節(jié)被削減或去除，所以檢測到的圖像邊緣信號較弱，出現(xiàn)了模糊邊緣；腐蝕型算子是原圖像減去原圖像腐蝕收縮后的圖像得到邊緣，得到的是圖像的內(nèi)邊緣，腐蝕運算在結構元素的值為正時，