【正文】 ology。 1982 年出版的專著《 Image Analysis andMathematical Morphology》是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的重要里程碑，表明數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上趨于完備及應(yīng)用上不斷深入。在模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法中，圖像不再看成是硬二值化集合，而是模糊集合 [2]。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法用排序加權(quán)統(tǒng)計方法代替最小、最大法。 Gasteratos[4]等將模糊集合理論應(yīng)用到軟 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)提出了模糊軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。形態(tài)學(xué)方法已 經(jīng)迅速成為圖像應(yīng)用領(lǐng)域工程技術(shù)人員的必備工具。作為探針的結(jié)構(gòu)元素，可直接攜帶理工大學(xué)畢業(yè)論文 2 知識 (形態(tài)、大小、甚至加入灰度和色度信息 )，來探測研究圖像的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。 深入了解數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想及方法適用于與圖像處理有關(guān)的各個方面，如基于擊中擊不中變換的目標(biāo)識別，基于流域概念的圖像分割，基于腐蝕和開運(yùn)算的骨架抽取及圖像編碼壓縮，基于測地距離的圖像重構(gòu)，基于形態(tài)學(xué)濾波器的顆粒分析等。 形 態(tài)學(xué)的研究目的和意義 近年來，形態(tài)學(xué)圖像處理 已經(jīng) 發(fā)展成為圖像處理的一個主要研究領(lǐng)域。這門學(xué)科在計算機(jī)文字識別，計算機(jī)顯微圖像分析 (如定量金分析，顆粒分析 )，醫(yī)學(xué)圖像處理，工業(yè)檢測 (如印刷電路自動檢測 )，機(jī)器 人視覺等方面都取得了許多非常成功的應(yīng)用。 隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，圖像及信號處理技術(shù)越來越為大眾所需求。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)不僅提供了描述和分析圖像幾何及形狀特征的多種技術(shù)和方法，同時它對于經(jīng)典的信號處理技術(shù)也產(chǎn)生了極大的影響并擴(kuò)展了原有的技術(shù)。目前已經(jīng)有很多圖像處理的方法，但是由于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是基于集合論的方法，屬于非線性處理，實(shí)際上相比傳統(tǒng)的多種線性算法更加適合數(shù)字圖像的處理。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是圖像處理和模式識別領(lǐng)域的新方法 [5]，其基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取圖像中的對應(yīng)的形狀，已達(dá)到對圖像分析和識別的目的。利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法提取的圖像骨架也比較連續(xù)，斷點(diǎn)少。結(jié)構(gòu)元素是一個可以在圖 像 上平移、且尺寸比圖 像 小的集合。目前形態(tài)學(xué)研究內(nèi)容主要集中在 [7]： 1．結(jié)構(gòu)元素的設(shè)計。將開、閉算子組合起來可以構(gòu)成性能更優(yōu)越的濾波器。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 5 4．運(yùn)動分析的研究。 6．形態(tài)小波研究。 二值圖像形態(tài)學(xué) 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將二值圖像 看成是集合，并用結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行 ―探測 ‖。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子的性能主要以幾何方式進(jìn)行刻畫，而幾何描述的特點(diǎn)更適合視覺信息的處理和分析，其基本思想如圖 21 所示。集合論中的基本概念包括口 Aa? ， Aa? ， BA? ， BAC ?? ， BAD ?? ， cA ， BA? 。按照 這種 種觀點(diǎn)，函數(shù) C 為 ???? 其他 ，或是均為為或若0 11),(),(1),( yxByxAyxC （ 21） 另一方面，運(yùn)用集合的觀點(diǎn)， C 的定義 如式（ 22）所示。 },|{? BbbwwB ???? （ 24） 圖 22 說明了這兩個定義， )(a 是將集合 A 平移到點(diǎn) z ， )(b 是集合 B 對于原 點(diǎn)的反射。 })?(|{ 空集??? ABzBA z ? （ 25） 其中 A 稱為輸入圖像， B 稱為結(jié)構(gòu)元素。 圖 23[7]給出了二值圖像膨脹示意圖， (a)和 (b)分別給出結(jié)構(gòu)元素在原點(diǎn)和不在原點(diǎn)的情況。 }|{})(|{ AzBzABzBA z ?????? （ 27） A 被 B 腐蝕是所有位移 z 的集合。 圖 25 二值圖像腐蝕示意圖 理工大學(xué)畢業(yè)論文 8 圖 26 給出了 腐蝕 運(yùn)算的例子，其中 (a)是二值圖像 A ； (b)是結(jié)構(gòu)元素 B ； (c)是 B 腐蝕 A后的結(jié)果，深色的部分就是相對原圖剩下的部分。 )()()()( BABABABA CCCC ???????? （ 28） 2. 單調(diào)性 如式（ 29）和式（ 210）所示。 ABBA ??? （ 212） 需要說明的是腐蝕運(yùn)算不滿足交換律，即 ABBA ??? 通常不成立。 6. 尺度伸縮性 如式（ 215）所示。 二值圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算 使用結(jié)構(gòu)元素 B 對集合 A 進(jìn)行開運(yùn)算，表示為 BA? ， 其 定義 如式（ 218）所示。 圖 27 二值圖像開運(yùn)算示意圖 使用結(jié)構(gòu) 元素 B 對集合 A 進(jìn)行閉操作，表示為 BA? ， 其 定義 如式（ 220）所示。對原始二值圖像作閉運(yùn)算的結(jié)果如圖 29(c)所示，采用和開運(yùn)算一樣的半徑為 3 的圓形結(jié)構(gòu)元素，從圖 (c)看到，細(xì)長彎口、指向內(nèi)部的齒狀邊緣和小洞都已被刪除。 BAABA ???? （ 222） 3．單調(diào)性 如式（ 223）和式（ 224）所示。值得說明的是，與腐蝕和膨脹運(yùn)算不同，開、閉運(yùn)算具有冪等性，這意味著一次運(yùn)算與重復(fù)運(yùn)算將得到相同的結(jié)果，這是一個獨(dú)特的性質(zhì)。 灰度形態(tài)學(xué)理論基礎(chǔ) 灰度形態(tài)變換是建立在二值形態(tài)變換的基礎(chǔ)上的，在二值形態(tài)學(xué)中，集合的平移和交、并等變換仍然起著關(guān)鍵性的作用，但是對于圖像和結(jié)構(gòu)元素模型已經(jīng)不能僅用二值的集合表示，而用的是函數(shù)表示。 yzfzyf x ??? )())(( （ 228） 當(dāng)移位和偏移同時存在時，稱為形態(tài)學(xué)平移，記為 yfx? ， 其定義如式（ 229）所示。如果 x 在 f 的定義域內(nèi)，但在 g 的定義域外， 那么定義 )())(( xfxgf ?? 。 圖 211 信號的極大極小表示 反射的定義是參照集合在平面內(nèi)相對原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)而提出來的。 )}),()(),(|),(),(m a x {),)(( DbyxDytxsyxbytxsftsbf f ????????? 和 （ 233） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。 在 1D 中膨脹的定義表達(dá)式將簡化為 如式（ 234）所示的形式。 )}),()(),(|),(),(m i n {),)(( bf DyxDytxsyxbytxsftsbf ????????? 和 （ 235） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。 在 1D 中腐蝕的定義表達(dá)式將簡化 為如式（ 236）所示的形式。 圖 213 灰度圖像的膨脹和腐蝕變換 圖 213 描述了這兩種變換?？磮D 213，其效果相當(dāng)于半圓形結(jié)構(gòu)元素在信號的下面 ―滑動 ‖時，其圓心 畫 出的軌跡。 ]}?[|)(?{ bDxxbfbf x ????? （ 237） ]}[|)({ bDxxbfbf x ????? （ 238） 根據(jù)以上的定義形式，灰度膨脹可按下面步驟完成：對結(jié)構(gòu)元素 b 的定義域 ][bD 中的 每一個點(diǎn) x 將信號 f 平移 x，然后再對每次平移的信號的值加上 )(xb ，這樣對于結(jié)構(gòu)元素定義域 中的每個點(diǎn)都得到一個信號，對所有這些信號逐點(diǎn)取其最大值，便可得到膨脹的結(jié)果；灰度腐蝕則可按下面步驟完成：對于結(jié)構(gòu)元素 b 的定義域中的每一點(diǎn) x ，將信號 f 平移 x? ，然后再從每次平移信號值減去 )(xb ，這樣對于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每一點(diǎn)都得到一個信號，對所有這些信號逐點(diǎn)取其最小值，便得到腐蝕的結(jié)果。從 (c)中可以看到與膨脹相反的結(jié)果，被腐蝕的圖像更暗．并且尺寸小、明亮的部分被削弱了。 ])[(],],)[( gfgfgfgfgf ??????????? （ 239） 2．單調(diào)性 如式（ 240）和式（ 241）所示。 ggfggfggfggf ?????????? )()(,)()( 1212121 （ 244） 6. 平移不變性 如式（ 245）、式（ 246）、式（ 247）和式（ 248）所示?；叶葦?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中關(guān)于開啟和閉合的表達(dá)與它們在二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的對應(yīng)運(yùn)算是一致的。 用 b (灰度 )閉合 f 記為 bf? ，其定義 如式（ 253）所示。圖 (c)給出開啟操作的結(jié)果。具體就是第一步的腐蝕去除了小的亮細(xì)節(jié)并同時減弱了圖像亮度，第二步的膨脹增加了圖像亮度但又不重新引入前面去除的細(xì)節(jié)。二值形態(tài)學(xué)中的一些基本運(yùn)算性質(zhì)，在灰度形態(tài)學(xué)中依然成立，只是二值形態(tài)學(xué)是在集合的層次上，在灰度形態(tài)學(xué)中一律以函數(shù)代替；二值形態(tài)學(xué)用的是集合的交、并和補(bǔ)等集合關(guān)系的運(yùn)算，在灰度形態(tài)學(xué)中就以函數(shù)的相加、減并取結(jié)果的極大值 或極小值的關(guān)系的運(yùn)算代替；例如開運(yùn)算的平移不變性可表示 為式（ 254）的形式。 在灰度軟形態(tài)學(xué)的膨脹與腐蝕運(yùn)算中 ， 圖像 f 的灰度值與傳統(tǒng)的形態(tài)學(xué)一樣 ， 需要與結(jié)構(gòu)元素的灰度值結(jié)合起來 。 )} )()({))}()((({)](,[21)( )(zxzfyxyfkofs m al l e s tkthxkf Kzx Kyx ?????? ?? ?? ????? ? （ 257） 其中， 2, Zzyx ? 是空間坐標(biāo)， ZFf ?: 是圖像的灰度值， ZK ?1:? 是灰度結(jié)構(gòu)元素的核心， ZK ?2:? 表示結(jié)構(gòu)元素的軟邊界， 221 , ZKKF ? 分別表示灰度圖像、灰度結(jié)構(gòu)元素的核心、灰度結(jié)構(gòu)元素的軟邊 界的定義域， 12 / KKK ? （集合差），其中 2ZK? 表示灰度結(jié)構(gòu)元素的定義域。 模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 將模糊集合理論用于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)就形成了模糊形態(tài)學(xué) 。從 式（ 258）和式（ 259） 的結(jié)果可知，經(jīng)模糊形態(tài)腐蝕膨脹運(yùn)算后的隸屬函數(shù)均落在 [0,1]的區(qū)間內(nèi) 。為了研究圖像的結(jié)構(gòu)，可以逐步地利用各種成分 (如各種結(jié)構(gòu)元素 )對其進(jìn)行檢驗(yàn)，指定哪些成分包括在圖像內(nèi)，哪些成分包括在圖像外，從而最終確定圖像的結(jié)構(gòu)。 利用擊中擊不中變換即可以提取特定的相交結(jié)構(gòu)信息。輸出圖像是由所有在 1B 中匹配的像素 (一個 ―擊中 )和未在 2B 中匹配的像素 (一個 ―擊不中 )組成。根據(jù)擊中擊不中 變換 細(xì)化過程可以定義 成如式（ 32）所示的形式。 )( BAABA ??? ? （ 33） 形態(tài)學(xué)重構(gòu) 所謂形態(tài)學(xué)重構(gòu) [5]，就是根據(jù)一幅圖像（稱之為掩模圖像）的特征對另一幅圖像（稱之為標(biāo)記圖 像）進(jìn)行重復(fù)膨脹操作，直到該圖像的像素值不再變化為止。 ；；；；；；；；；；]10101011101010101010101010101010111011101010181818101011101010101818181011101010101018181810101011101010101010101010100101110111010141414010101110101014141401011101110101414141010101010101010101010[?A 圖 33 形態(tài)學(xué)重構(gòu)的簡單圖像矩陣 要很好地重構(gòu)這幅圖像，可以通過以下兩個步驟實(shí)現(xiàn)： （ 1） 首先創(chuàng)建標(biāo)記圖像 與 腐蝕 和膨脹操作中使用的結(jié)構(gòu)元素一樣，標(biāo)記圖像的特征決定了形態(tài)學(xué)重構(gòu)結(jié)果所具理工大學(xué)畢業(yè)論文 21 有的特征，所以表搜集圖像的峰值應(yīng)該確定掩模圖像中希望強(qiáng)調(diào)對象的位置。 對圖 33 重構(gòu)后， 如 圖 34 所示 ，這里的標(biāo)記圖像是用掩模圖像減去一個常數(shù) 2。去除噪聲的一般的思想是：先對有噪聲的圖像進(jìn)行噪聲的模糊，也即是先平滑圖像然 后進(jìn)行形態(tài)邊緣檢測。 對于二值圖像，噪聲主要表現(xiàn)為目標(biāo)周圍的噪聲塊和目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔。該方法中，對結(jié)構(gòu)元素 的選取相當(dāng)重要，它應(yīng)當(dāng)比所有的噪聲孔和噪聲塊的尺寸都要大。同樣，結(jié)構(gòu)元素的 選取也是個重要問題。 (a)原圖像 (b)骨架化效果 (c)邊界像素測定效果 圖 36 圖像的骨架化及邊界像素測定 對于一幅二進(jìn)制灰度圖像，如果圖像的像素值為 1，則圖像的狀態(tài)為 ON；如果其 像素 的值為 0，則該像素的狀態(tài)為 OFF。其中 (a)為原圖像， (b)是骨架化效果， (c)是邊界像素測定 效果。因此，邊緣檢測在圖像處理與計算機(jī)視覺中占有特殊的位置，它是是圖像分割、紋理特征提取和形狀特征提取等圖像分析的重要基礎(chǔ)，是底層視覺處理中最重要的環(huán)節(jié)之一。這種邊緣線為兩種不同曲面的交界，在這些邊緣點(diǎn)處物體的法線方向不連續(xù)，即兩側(cè)灰度明顯不連續(xù)； 2．邊緣由灰度或材料的不同產(chǎn)生； 3．邊緣是物體與背景的分界線； 4．邊緣由物體與物體的交界產(chǎn)生，在物體表面上法線的不連續(xù)處； 5．邊緣由陰影引起，兩側(cè)灰度值有較大差異。在數(shù)學(xué)上，利用灰度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來描述邊緣點(diǎn)的變化規(guī)律。所 以，根據(jù)給定的圖像處理目的，靈活、合理地運(yùn)用形態(tài)學(xué)運(yùn)算的要領(lǐng)歸結(jié)為兩點(diǎn)，即運(yùn)算復(fù)合方式的選擇及結(jié)構(gòu)元素的選擇。例如線段狀結(jié)構(gòu)元素，若它的原點(diǎn)在中點(diǎn)則為對稱結(jié)構(gòu)，若原點(diǎn)在端頭則為非對稱結(jié)構(gòu)。正方形、菱形、六邊形可以看作是圓盤形的變異，線段形結(jié)構(gòu)元素可以用來去除或提取較長的圖像結(jié)構(gòu)，不同形狀的結(jié)構(gòu)元素運(yùn)算結(jié)果會有差異，應(yīng)針對待處理圖像的幾何形狀進(jìn)行選擇。結(jié)構(gòu)元素尺寸的計算 是一個重要問題。同理，閉運(yùn)算結(jié)構(gòu)元素尺度的選擇就轉(zhuǎn)化為如何選擇小結(jié)構(gòu)元素尺寸和膨脹的次數(shù)問題。MatrHildreth 邊緣檢測方法 (LOG 算子 )采取先對原始圖像用高斯空間濾波器做最佳平滑，然后用拉普拉斯算子對濾波后的圖像提取零交叉點(diǎn)，以克服噪聲對邊緣檢測的影響。 與傳統(tǒng)的圖像邊緣檢測算法的理論相比，形態(tài)學(xué)在圖像邊緣檢測中有獨(dú)特的優(yōu)勢，它在邊緣檢測這一 問題上取得了較好的效果。 根據(jù)數(shù)學(xué)形態(tài)