【正文】 垂直，球面副亦互成１２０＂均勻分布在動(dòng)平臺(tái)上。 第 16 頁(yè) ABCcba 圖 31 空間 3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) : 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)是 3 自由度的空間機(jī)構(gòu)，其動(dòng)平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)一平兩轉(zhuǎn)混合運(yùn)動(dòng)，針對(duì)該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及動(dòng)平臺(tái)的位姿給出詳細(xì)描述，然后構(gòu)造出其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并得到以下結(jié)論： 動(dòng)平臺(tái)繞ｘ、ｙ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)將產(chǎn)生連帶的繞Ｚ軸的．車專動(dòng)以及動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)Ｐ沿Ｘ和ｙ軸的平移，這種運(yùn)動(dòng)是被動(dòng)產(chǎn)生的。 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位姿 描述 1. 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿參數(shù)： U（ Xc， Yc， Zc， ? ， ? ， ? ） （ 31） ① 坐標(biāo)系： 定坐標(biāo)系：與地面故連的坐標(biāo)系稱為定坐標(biāo)系。 圖 32 動(dòng)坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系 如上圖所示：下平面為定坐標(biāo)系，上平面為動(dòng)坐標(biāo)系，初始位置時(shí)，上下平面平行， x， y 軸在動(dòng)平面內(nèi)， z 軸隨平面動(dòng)而變動(dòng)，為了確定動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)中對(duì)定平臺(tái)的坐標(biāo)，根據(jù) 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，特采用歐拉角來(lái)描述。首先是 xoy 繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng) α角，再是 xoz 繞 y 軸轉(zhuǎn)動(dòng) β角，最后是 xoy 繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng) γ 角。參考系又稱為實(shí)驗(yàn)室參考系，是靜止不動(dòng)的。設(shè)定 xyz軸為參考系的參考軸。 zxz 順規(guī)的歐拉角可以靜態(tài)地這樣定義 : α 是 x軸與交點(diǎn)線的夾角， β 是 z軸與 Z軸的夾角， γ 是交點(diǎn)線與 X軸的夾角。 第 19 頁(yè) 圖 34 點(diǎn) P 在空間的位置 x=lcos? y=lsin? x1=lcos( ??? ) y1=lsin( ??? ) cos( ??? )=cos? cos? sin? sin? 由（ 41）、（ 42）、（ 43）聯(lián)立可以得到 x1=xcos? ysin? （ 32） y1=xsin? +ycos? (33) 把 44 中的連個(gè)式子關(guān)系用矩陣的方式表示出來(lái)則寫成 ??????11xy = ?????? ? ?? ?? cossin sincos ??????yx （ 34） 要是把 45 式延伸到空間三維坐標(biāo)中，由于 3TRT/SPS 混合型空間并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)動(dòng)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)，所以直接在矩陣中加入一個(gè)單位矩陣即可以得到 x y 第 20 頁(yè) ??????????111zyx =?????????? ?1000c o ssin0sinc o s??????????????zyx （ 35） 所以，在機(jī)構(gòu)反解過(guò)程中動(dòng)坐標(biāo)系到定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示為 T T=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s???? （ 36） 由歐拉角的旋轉(zhuǎn)順序，可以得到 3 個(gè)有序的旋轉(zhuǎn)矩陣。（ x2,， y2， z2），第一次繞 z 軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)矩陣 Z（ α），繞 Y 軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)矩陣 Y（ β），第二次繞 z 軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)矩陣 Z（ γ）。 這樣 ai的坐標(biāo)就是關(guān)于位置參數(shù) Xc， Yc， Zc， ? ， ? ， ? 的函數(shù)，而這六個(gè)位姿參數(shù)中只有三個(gè)是獨(dú)立的。有前面分析可知， 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)不能繞起動(dòng)系的 z1軸旋轉(zhuǎn)，故式 （ 312）中的 ? =0，依此可推出 ? =? （ 313） 又由圖 2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖可知，當(dāng) 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)基面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線 u1u2u3對(duì)中心點(diǎn) O 呈切向分布時(shí)，機(jī)構(gòu) 3 個(gè)分支轉(zhuǎn)動(dòng)副的這種位置布置限制了動(dòng)平臺(tái) 3 個(gè)球鉸的運(yùn)動(dòng)。 第 22 頁(yè) 圖 35 約束平面 根據(jù)以上條件，由 ai=??T aie+c 可推導(dǎo)出以下兩個(gè)約束方程： Xc=r（ cos2? ）（ cos? 1） /2 （ 317） Yc=r sin2? (1cos? )/2 （ 318） 這樣 ai的坐標(biāo)就可表示僅含 Zc， ? ， ? 三個(gè)參數(shù)的函數(shù)。圖中的上下平臺(tái)是兩個(gè)不同長(zhǎng)度的等邊三角形A1A2A3和 a1a2a3（兩個(gè)三角形外接圓半徑為 R 和 r）他們 之間用可以伸長(zhǎng)的伸縮桿相連， 3 支撐桿上部與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)之間用的是 3 個(gè)球鉸，而平臺(tái)間用的是 3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，轉(zhuǎn)動(dòng)副的 3 個(gè)軸線 u1u2u3 的分布如圖所示。當(dāng) 3 個(gè)伸縮桿獨(dú)立變化其長(zhǎng)度時(shí)， 第 23 頁(yè) 可以改變上平臺(tái)的位置及姿態(tài)。 由等邊三角形特性，可知 A1A2A3三點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)： A1=??????????00R A2= ???????????02/32/RR A3=????????????02/32/RR （ 312） a1a2a3對(duì) cxyz 的坐標(biāo)為： a1=??????????00r a2=???????????02/32/rr a3=????????????02/32/rr （ 313） 設(shè) ??T 為動(dòng)系到定系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，則 第 24 頁(yè) ??T =??????????ZZZYYYXXXnmlnmlnmlx （ 314） 旋轉(zhuǎn)矩陣 ??T 中的 3 個(gè)列向量 ? ?ZYX Lll T、 ? ?ZYX mmm T、 ? ?ZYX nnn T中的元素分別為系統(tǒng)坐標(biāo)軸 x1， y1， z1 上的單位向量在定系坐標(biāo)軸 X,Y,Z 上的投影，這里將 ??T 的這種表達(dá)式稱為旋 轉(zhuǎn)矩陣的坐標(biāo)投影式。 驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng) Li可表示為 Li= ii Aa? （ i=1,2,3） （ 319） 將 Ai和 ai的坐標(biāo)值代入上式，可得 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解方程。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，對(duì)于大多數(shù)機(jī)構(gòu)位置正解很難球的精確的解析解，大多采用數(shù)值解法。 求解過(guò)程示意圖： 圖 36 正解流程圖 開始 K=0，給出優(yōu)化初值 U0 根據(jù) Uk 逆解出 Lk， Lk=Lk（ Uk） F=min 0LL? ? 輸出 U=Uk 結(jié)束 K=K+1 搜索下一個(gè) Uk NO 第 26 頁(yè) 在進(jìn)行反解計(jì)算時(shí)，將 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的 Jacobian 矩陣?yán)?微分法求得，然后將位姿焊接方程同時(shí)對(duì)時(shí)間 t 求一階偏導(dǎo)得 ?????????????????321LLL=????????????????????????????cccZLLLZLLLZLLL/////////333222111?????????????????????cZ?? （ 321） 對(duì)上式，令 ??J =????????????????????????????cccZLLLZLLLZLLL/////////333222111??????=??????????333231232221131211JJJJJJJJJ，則 ??J 就是 3RPS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)思路參數(shù)與獨(dú)立輸出參數(shù)之間的 33 階 Jacobian 矩陣 。應(yīng)用歐拉角描述了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿，推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)矩陣及位姿的正解與反解公式，應(yīng)用數(shù)值優(yōu)化法 求解機(jī)構(gòu)的位姿反解，根據(jù)機(jī)構(gòu)的 Jacobian 矩陣對(duì)機(jī)構(gòu)的正解進(jìn)行分析。 由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種空間的立體結(jié)構(gòu)，它的運(yùn)動(dòng)空間也子啊一個(gè)三維空間內(nèi)，因此僅通過(guò)平面繪圖是不能滿足對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的需要，而且并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，控制不方便，加工制造存在一定難度，不宜采用實(shí)際材料制造實(shí)物樣機(jī)進(jìn)行研究。 3RPS 空間并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)既可以作為獨(dú)立的機(jī)器人機(jī)構(gòu)，也可以作為機(jī)器人手腕的一部分，還可以應(yīng)用在其他許多領(lǐng)域，如衛(wèi)星天線的自動(dòng)跟蹤系統(tǒng)、太陽(yáng)能電池的定位、機(jī)床工作臺(tái)與工件的定位，人工假肢關(guān)節(jié)。 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的工作空間分析 工作空間分析是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的一個(gè)十分重要的問(wèn)題，工作空間大小是衡量機(jī)構(gòu)性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)。 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的 工作控股將主要受以下四個(gè)方面的限制： 1） 各分支長(zhǎng)度限制： 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)各分支的長(zhǎng)度變化可由滾珠絲桿副實(shí)現(xiàn)，因此桿長(zhǎng) Li需滿足 Lmin≤Li≤Lmax （ 41） 式中 Lmin 和 Lmax分別代表機(jī)構(gòu)實(shí)際所允許的最小和最大桿長(zhǎng)。 2） 運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角限制： 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)與各分支是通過(guò)球鉸相聯(lián) 接的。如圖所示 圖 41 球鉸約束條件 圖中所示 ni 為第 i 個(gè)球鉸的中心方向單位矢量，則驅(qū)動(dòng)桿與球鉸中心方向的夾角 qi? 為： qi? =arccos（ ni? nqi） （ 42） 由于驅(qū)動(dòng)桿與球鉸中心方向的夾角應(yīng)在球鉸的擺動(dòng)范圍內(nèi)，則有 qi? ≤ maxq? （ 43） 此外，球鉸的安裝角度也將影響機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，通過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算分析可知，當(dāng)桿長(zhǎng)Li=（ Lmin+Lmax） /2，且在上、下平臺(tái)坐標(biāo)系互相平行時(shí)，球鉸的中心方向與桿的軸線方向一致，這種安裝方式可有效的擴(kuò)大球鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍。 4） 奇異位置：本文中的 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在其工作空間內(nèi)無(wú)奇異位置。 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的可達(dá)工作空間是指運(yùn)動(dòng)平臺(tái)所能達(dá)到的最大的體積 (通常是驅(qū)動(dòng)桿或是運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的物理極限 ).本文提出了一種替代工作空間的定義靈活工作空間 ,它是指能夠完成某些靈活條件 (即靈活尺度 ,比如矩陣的條件數(shù)小于或是等于某個(gè)預(yù)先設(shè)定的極限 )的工作空間 .設(shè)定的極限值可以保證運(yùn)動(dòng)平臺(tái)不處于奇 異位形 (當(dāng)處于奇異位形時(shí) ,條件數(shù)趨近于無(wú)窮大 。時(shí) ,就可以得到該剖面上完整的邊界曲線 .作完一個(gè)剖面后 ,增加 Zi,重復(fù)同樣的方法 ,直到 Zi 由 Zmin變化到 Zmax 為止 ,這樣就可求出運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的整個(gè)靈活