【正文】 修改波形存儲器內(nèi)的波形數(shù)據(jù)即可。 DDS 原理分析 1973 年， 和 等人在 《 A Digital Frequency Synthesizer》 一文 中首次提出了 DDS 的概念，但限于當(dāng)時的技術(shù)條件， DDS 并沒有引起人們的足夠重視。 第 二 章 任意波形發(fā)生器的理論分析 11 DDS 基本 結(jié)構(gòu) DDS 與大多數(shù)的數(shù)字信號處理技術(shù)一樣，它的基礎(chǔ)仍然是奈圭斯特采樣定理。 奈圭斯特采樣定理告訴我們，當(dāng)抽樣頻 率大于或者等于模擬信號最高頻率的兩倍時，可以由抽樣得到的離散信號無失真地恢復(fù)出原始模擬信號。 DDS 不是對模擬信號進(jìn)行抽樣，而是一個假定抽樣過程已經(jīng)發(fā)生且抽樣值已經(jīng)量化完成，如何通過某種 方法 把已經(jīng)量化的數(shù)值 重建原始信號的問題。其結(jié)構(gòu)框圖如圖 所示。 DDS 系統(tǒng)中的參考時鐘通常由一個高穩(wěn)定度的晶體振蕩器來產(chǎn)生，用來作為整個系統(tǒng)各個組成部分的同步時鐘。 相位累加器由加法器和寄存器級聯(lián)構(gòu)成， 它將寄存器的輸出反饋到加法器的輸入端實現(xiàn)累加的功能。相位累加器 的輸出與波形存儲器的地址線相連， 相當(dāng)于對波形存儲器進(jìn)行查表，這樣就可以把存儲在波形存儲器中的信號抽樣值（二進(jìn)制編碼值）查出。 波形存儲器的輸出數(shù)據(jù)送到 D/A 轉(zhuǎn)換器， D/A 轉(zhuǎn)換 器 將 數(shù)字量形式的波形幅度值 轉(zhuǎn)換成 所要求合成頻率的 模擬量 形式信號 ，從而將波形重新合成出來 。 圖 所示為 DDS 各個部分的輸出信號。相位累加器的溢出頻率即為合成信號的頻率。故改變頻率字（即相位增量），就可以改變相位累加器的溢出時間，在參考頻率不變的條件下就可以改變輸出信號的頻率。為了不失一般性，下面以正弦信號的產(chǎn)生 為例來說明DDS 的基本原理。當(dāng) R 連續(xù)地 繞 原點旋轉(zhuǎn)， S 將取 ~RR??之間的任意值， ()t? 將以 2? 為模取 0~2? 之間的任意值。 現(xiàn)將相位數(shù)字化（采樣、量化），將 2? 量化成 M 等份，則相位量化的最小間隔為 2/M???? ，這樣造成的結(jié)果是重構(gòu)信號的幅度值 S 也相應(yīng)離散化 ： 2si n ( ) si n ( ) 1 ,000 2 , .. .,0S R n R n n MM??? ? ? ? ? ? 式 (26) 由 式 (26)可以看出， S 只能取與相位 n ??? 對應(yīng)的幅度值。 為了進(jìn)一步探討相位增量對輸出信號頻率的影響，我們分別以相位增量為/4? 和 /8? 重構(gòu)信號幅度，分別如圖 和 所示。 18 0 o2 2 5 o270 o315 o0 o45 o90 o135 ooT 圖 相位增量為 /4? 時相位幅度的映射關(guān)系 基于 FPGA 的 任意波形發(fā)生器的設(shè)計與 實現(xiàn) 14 18 0 o2 2 5 o270 o315 o0 o45 o90 o135 o39。 2ooTT? 。2ooff? ，如圖 所 示。 那么相位增量跟我們的頻率控制字 K 之間有什么 聯(lián)系 呢 ，頻率控制字又是通過怎樣的方式來控制輸出信號的頻率的呢 ？ 我們假設(shè)有一個頻率為 f 的正弦信號 ()St ： ( ) sin(2 )S t ft?? 式 (27) 現(xiàn)以采樣頻率 cf 對該信號進(jìn)行 抽樣 ，得到離散序列為： ( ) sin( 2 )ccS nT f nT??? 式 (28) 其中 1/ccTf? 為采樣周期。?? ： 39。??? ?? ，那么就可以得到如下關(guān)系： c cKffTMf? ? ? 式 (213) 根據(jù)以上原理，如果我們用變量 K 構(gòu)造一個量化序列： ()n nK? ? 式 (214) 然后完成 ()n? 到另一個序列 39。 22( ) s in ( ) s in ( )S n n n KMM??????????? 式 (215) 將 式 (213)代入 式 (215)可得 ： 39。()Sn其實就是信號 ()St 經(jīng)過采樣頻率 cf 抽樣后的離散時間序列。()Sn可以經(jīng)過 D/A 轉(zhuǎn)換和低通 平滑 濾波唯一地恢復(fù)出 ()St 。在實際的 DDS 應(yīng)用中，一般取 2NM? ， N 為正整數(shù)，于是 DDS 的基本方程可寫成： 10000 1 , 2 , . . 20 .,2 NocNKf f K ??? 式 (220) 由 式 (220)可以看出，當(dāng) 1K? 時， DDS 系統(tǒng)輸出信號頻率 of 最小，而這個最小頻率同時也是 DDS 系統(tǒng)的頻率分辨率 : 基于 FPGA 的 任意波形發(fā)生器的設(shè)計與 實現(xiàn) 16 min 2 cooNfff? ? ? 式 (221) 對于 DDS 系統(tǒng)從波形存儲器中讀數(shù)據(jù)的過程 ，我們可以將其看作是對波形存儲器中的波形數(shù)據(jù)再次采樣的過程，也就是說， DDS 系統(tǒng)查表的過程就是從波形存儲器中二次采樣過程，一個周期內(nèi)查表的點數(shù)即為采樣的點數(shù)。那么 DDS 系統(tǒng)在理論上能輸出的最大頻率是： max 2co ff ? 式 (222) 經(jīng)過以上的分析，我們得出以下幾點結(jié)論： （ 1） DDS 系統(tǒng)的輸出頻率 of 只與頻率控制字 K 、系統(tǒng)時鐘頻率 cf 、相位累加器位數(shù) N 有關(guān)。 （ 2） DDS 系統(tǒng)的頻率分辨率只與系統(tǒng)的系統(tǒng)時鐘頻率 cf 和相位累加器位數(shù) N有關(guān)。 （ 3） DDS 理論 上 最大輸出頻率不會超過系統(tǒng)時鐘頻率 cf 的二分之一， 但 在實際應(yīng)用中，由于 DDS 系統(tǒng)中的低通濾波器非理想特性，由通帶到阻帶之間存在著一個過渡帶，工程中 DDS 最高輸出頻率只 取到 40%cf 左右。 DDS 系統(tǒng)的優(yōu)點有很多，它的很多特性是其他頻率合成技術(shù)所沒有的，其中最主要的特性有以下 三 點： （ 1） DDS 技術(shù)可以用于產(chǎn)生任意波形 基于前面對 DDS 系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)分析，很容易理解，只要改變存儲在波形存儲器中的波形數(shù)據(jù)，就可以改變輸出波形。 （ 2） DDS 系統(tǒng)具有很高的頻率分辨率 DDS 系統(tǒng)輸出頻率的分辨率和頻點數(shù)隨相位累加器的位數(shù)成指數(shù)增長， 由式 (221) 可知，在系統(tǒng)時鐘頻率不變的情況下，只要增大相位累加器的 位數(shù) N ，就可以得到幾乎是任意小的頻率分辨率，可以滿足精細(xì)頻率控制的要求。 （ 3） 輸出頻率切換速度快且相位保持連續(xù) 第 二 章 任意波形發(fā)生器的理論分析 17 與鎖相頻率合成相比，由于 DDS 系統(tǒng)是一個開環(huán)系統(tǒng)，所以當(dāng)一個新的頻率控制字送到時，它會迅速合成這個新的頻率，實際的頻率切換時間可以達(dá) ns 級。 DDS 系統(tǒng)的頻率字改變時，輸出波形的變化過程可以用圖 描述。 DDS系統(tǒng)在頻率字發(fā)生改變后的一 個 時鐘 周期，其輸出頻率就可以就轉(zhuǎn)換到了新的頻率上，也即在頻率字的值改變以后，累加器在經(jīng)過一個時鐘周期后就按照新的頻率字進(jìn)行累加，開始合成新的頻率。 另外，從前面對 DDS 技術(shù)原理的分析可知，要改變輸出頻率，實際上改變的是頻率字，也就是相位增量。從圖 也可以看出，只是在頻率字改變的瞬間相位函數(shù)曲線的斜率發(fā)生了突變，相位值并沒有發(fā)生跳躍，因此 DDS 能夠在頻率切換的過程中保持相位連續(xù)，輸出波形能夠平滑地從一個頻率過渡到另外一個頻率。這也是 DDS 系統(tǒng)在早期沒有受到重視，而直到最近幾年才迅速發(fā)展的原因。 基于 FPGA 的 任意波形發(fā)生器的設(shè)計與 實現(xiàn) 18 為了具有較高的輸出頻率， DDS 系統(tǒng)的參考時鐘頻率一般都比較高， 根據(jù) 式 (221)，在較高的時鐘頻率下，要想獲得較高的頻率分辨率，只有通過增加相位累加器的 位數(shù) N ，故一般 N 的取值都較大。例如，如果 32 位累加器的所有位都用來作為存儲器的地址，那么需要 4G 個存儲單元 ，而如果換成 48位的累加器，那么 就需要 256T（ 1T=1024G）個存儲單元 ，這樣的設(shè)計顯然是沒有辦法接受的。這樣存儲器的地址線就只能接到相位累加器的輸出的高 A 位上，而低 NA? 位 則 要 舍棄， 也就產(chǎn)生了相位截斷誤差 ，表現(xiàn)在輸出頻譜上就是雜散分量 。 為了獲得低雜散 輸出 信號， 對 DDS 輸出特性的分析顯得尤為必要。我們首先來分析一下理想情況下 DDS 輸出的頻譜特性。 我們假設(shè)相位累加器輸出的相位序列為 ()n? ，則 ()n? 為一周期序列，其周期為 ： 2(2 , )Nk Nm GCD K? 式 (223) 其中符號 ( , )GCDab 表示求 a 和 b 的最大公約數(shù)。 我們知道，任何周期信號都可以展開為傅立葉 級 數(shù)，設(shè) ()St 的傅立葉展開式為 ： () jm tmmS t C e ???????? 式 (225) 其中 22kcT m T??? ?? ?。 所以有 01 ()T jm tmC S t e dtT ????? 1 ( 1 )012c o s ( )2k ccm nT jm tN nTn K n e d tT ??? ? ????? ? ?????? ? 式 (227) 其中 ( 1 ) 22 s in ( )2c cccmnT jTjm n Tjm tcT me d t e e Tm ??? ??? ??? ? ? ?? 式 (228) 2221c o s ( )22 NNj K n j K nN K n e e??? ???? ? ????? 式 (229) 將 (2 28)?式 及 (2 29)?式 代入 (2 26)?式 ，并利用下面的等式 ： 210, 0 , 1 , 2 , ..00000000000 00.0kkkkm j nqmnm q i m ieq???? ? ? ? ???? ????其 余 式 (230) 可得 000000000000000000001 sin ( ) , 0 , 1 , 2 , .. .20 0kmjmkkm kme c m i m p iC mm???? ? ? ? ? ? ??? ??? 其 余 式 (231) 其中 s in ( ), s in ( )2kkNKxp m c x x????。 通過圖 可以看出，當(dāng) of 接近 /2cf 時，非諧波分量 coff? 也接近 /2cf ,且兩者幅度趨于相等，這時很難設(shè)計出能濾除 coff? 分量的低通濾波器，這是DDS 最大輸出頻率不取 /2cf 而取 的 原因，因為實際的低通濾波器總存在一定 的過渡帶，在設(shè)計 DDS 最大輸出頻率時要留有一定的余量。 mCO fofcf 2cf 3cfcoff?coff? 2coff? 2coff? 3coff?2cf奈圭斯特采樣帶寬 圖 理想情況下 DDS 的輸出頻譜特性 非理想情況下 DDS 的頻譜特性 在 DDS 工程應(yīng)用中，其輸出包含的雜散信號頻譜并不像圖 描繪的那樣只分布在某些頻率點上 ， 有的時候甚至是分布在整個頻帶范圍內(nèi)。另外，由于波形存儲器的字長有限，存放在波形存儲器中的幅度量化數(shù)據(jù)也不是無限字長的，這必然帶來幅度量化誤差。除此之外， D/A 轉(zhuǎn)換器的非線性 和低通濾波器的非理想特性 也會影響到 DDS的輸出頻譜。 相位累加器波形存儲器數(shù)模轉(zhuǎn)換器低通濾波器頻率控制字cfcepe Ae DAe Feof 圖 DDS 雜散信號引入數(shù)學(xué)模型 其中 ce 是參考時鐘引入的雜散信號（該雜散在 小節(jié)中已經(jīng)分析）， 是相位截斷引入的雜散信號， Ae 是有限位數(shù)據(jù)量化引入的雜散信號， DAe 是 DAC 非線性引入的雜散信號， Fe 是低通濾波器的非理想特性引入的雜散信號。 下面 我們 對 相位截斷誤差和幅度量化誤差對 DDS 輸出頻譜的影響 進(jìn)行定量分析 。那么截斷后高 A 位輸出的相位序列 為 ： ? ?( ) ( ) ( ) m o d 2 Bp n n n? ? ? ? ? m od 2 m od 2NBnK nK?? 式 (236) 其對應(yīng)的正弦相位序列 為 ： 2( ) ( )2ppNnn?? ?? 式 (237) 由相位截斷引起的相位誤差序列 為 ： ( ) ( ) ( ) m od 2 Bppe n n n nK? ? ? ? ? 式 (238) 由 式 (238)可知，當(dāng) 2BKm??（ m 取正整數(shù)）時誤差量 ，不存在相位截斷誤差； 當(dāng) 2BKm??時，誤差量 。km ，有： 39