20xx年上海市八校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷3月份word版含解析-閱讀頁(yè)
2024-12-18 10:51本頁(yè)面
【正文】 ：（ 1）由題意， ∠ ACD=176。 ∠ CAD=176。 x，橢圓 C1 與雙曲線 C 有相同的焦點(diǎn)，橢圓 C1的短軸長(zhǎng)與雙曲線 C 的實(shí)軸長(zhǎng)相等． （ 1）求雙曲線 C 和橢圓 C1的方程； （ 2）經(jīng)過(guò)橢圓 C1左焦點(diǎn) F 的直線 l 與橢圓 C1交于 A、 B 兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn) D，使得無(wú)論 AB 怎樣運(yùn)動(dòng)，都有 ∠ ADF=∠ BDF；若存在，求出 D 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】 （ 1）雙曲線 C 和橢圓 C1的方程為： 3x2﹣ y2=λ，則 λ=3 22﹣ 32=3． 設(shè)橢圓 C1的方程； 橢圓 C1的短軸長(zhǎng)與雙曲線 C 的實(shí)軸長(zhǎng)相等，橢圓 C1與雙曲線 C 有相同的焦點(diǎn)（ 177。 2， 0）， 即 c=2， ∴ a= ，橢圓 C1的方程為： ； （ 2）直線 l 垂直 x 軸時(shí)， A、 B 兩點(diǎn)關(guān)于 x 軸對(duì)稱， ∵ F（﹣ 2， 0）， ∴ 要使 ∠ ADF=∠ BDF，則點(diǎn) D 必在 x 軸上， 設(shè) D（ a， 0），直線 l 不垂直 x 軸時(shí)， l 的方程設(shè)為： y=k（ x+2）， 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），聯(lián)立 得（ 1+5k2） x2+20k2x+20k2﹣ 5=0． ∴ ． ∵∠ ADF=∠ BDF， ∴ 直線 AD、 BD 的斜率互為相反數(shù)， 即 ， k=0 時(shí)恒成立． k≠ 0 時(shí)， a= ； ∴ 存在定點(diǎn) D（﹣ ， 0），使得無(wú)論 AB 怎樣運(yùn)動(dòng)，都有 ∠ ADF=∠ BDF． 20．已知函數(shù) F（ x） =ex滿足 F（ x） =g（ x） +h（ x），且 g（ x）， h（ x）分別是定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)． （ 1）求函數(shù) h（ x）的反函數(shù)； （ 2）已知 φ（ x） =g（ x﹣ 1），若函數(shù) φ（ x）在 [﹣ 1， 3]上滿足 φ（ 2a+1＞ φ（﹣），求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 3）若對(duì)于任意 x∈ （ 0， 2]不等式 g（ 2x）﹣ ah（ x） ≥ 0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的 取值范圍． 【考點(diǎn)】 反函數(shù)；指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）由 題意可得： ex=g（ x） +h（ x）， e﹣ x=g（﹣ x） +h（﹣ x） =g（ x）﹣ h（ x），聯(lián)立解得： g（ x）， h（ x）．由 y= ，化為：（ ex） 2﹣ 2yex﹣ 1=0，ex＞ 0，解得 ex=y+ ．可得 h﹣ 1（ x）． （ 2） φ（ x） =g（ x﹣ 1），函數(shù) φ（ x）在 [﹣ 1， 3]上滿足 φ（ 2a+1＞ φ（﹣ ），轉(zhuǎn)化為：函數(shù) g（ x）在 [﹣ 2， 2]上滿足： g（ 2a） ＞ g（﹣ ﹣ 1），由于函數(shù) g（ x）在 [0， +∞ ）上單調(diào)遞增，且函數(shù) g（ x）為偶函數(shù)，可得 |2a|＞ |﹣ ﹣ 1|，﹣ 2≤ 2a≤ 2，﹣ 2≤ ﹣ ﹣ 1≤ 2，解得 a 范圍． （ 3）不等式 g（ 2x）﹣ ah（ x） ≥ 0，即 ﹣ ≥ 0，令 t=ex﹣ e﹣ x，由 x∈ （ 0， 2]，可得 t∈ （ 0， e2﹣ e﹣ 2]，不等式轉(zhuǎn)化為： t2+2﹣ at≥ 0， a≤ t+ ，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出． 【解答】 解：（ 1）由題意可得： ex=g（ x） +h（ x）， e﹣ x=g（﹣ x） +h（﹣ x） =g（ x）﹣ h（ x）， 聯(lián)立解得： g（ x） = ， h（ x） = ． 由 y= ，化為：（ ex） 2﹣ 2yex﹣ 1=0， ex＞ 0，解得 ex=y+ ． ∴ h﹣ 1（ x） =ln （ x∈ R）． （ 2） φ（ x） =g（ x﹣ 1），函數(shù) φ（ x）在 [﹣ 1， 3]上滿足 φ（ 2a+1＞ φ（﹣ ）， 轉(zhuǎn)化為：函數(shù) g（ x）在 [﹣ 2， 2]上滿足： g（ 2a） ＞ g（﹣ ﹣ 1）， 由于函數(shù) g（ x）在 [0， +∞ ）上單調(diào)遞增，且函數(shù) g（ x）為偶函數(shù)， ∴ |2a|＞ |﹣ ﹣ 1|，﹣ 2≤ 2a≤ 2，﹣ 2≤ ﹣ ﹣ 1≤ 2，解得 a∈ ∪． （ 3）不等式 g（ 2x）﹣ ah（ x） ≥ 0，即 ﹣ ≥ 0， 令 t=ex﹣ e﹣ x，由 x∈ （ 0， 2]，可得 t∈ （ 0， e2﹣ e﹣ 2]， 不等式轉(zhuǎn)化為： t2+2﹣ at≥ 0， ∴ a≤ t+ ， ∵ t+ ≥ 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) t= 時(shí)取等號(hào)． ∴ a≤ 2 ． 21．若存在常數(shù) k（ k∈ N*， k≥ 2）、 d、 t（ d， t∈ R），使得無(wú)窮數(shù)列 {an}滿足an+1= ，則稱數(shù)列 {an}為 “段差比數(shù)列 ”，其中常數(shù) k、 d、 t 分別叫做段長(zhǎng)、段差、段比，設(shè)數(shù)列 {bn}為 “段差比數(shù)列 ”． （ 1）已知 {bn}的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段差、段比分別為 d、 t，若 {bn}是等比數(shù)列，求 d、 t 的值； （ 2）已知 {bn}的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段差、段比分別為 1，其前 3n 項(xiàng)和為S3n，若不等式 對(duì) n∈ N*恒成立，求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍； （ 3）是否存在首項(xiàng)為 b，段差為 d（ d≠ 0）的 “段差比數(shù)列 ”{bn}，對(duì)任意正整 數(shù)n 都有 bn+6=bn．若存在，寫(xiě)出所有滿足條件的 {bn}的段長(zhǎng) k 和段比 t 組成的有序數(shù)組（ k， t）；若不存在，說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 數(shù)列的應(yīng)用． 【分析】 （ 1） {bn}的前 4 項(xiàng)依次為 1， 1+d， t（ 1+d）， t（ 1+d） +d，先求出 t，再代入驗(yàn)證，可得結(jié)論； （ 2）由 {bn}的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差， ?b3n+2﹣ b3n﹣ 1=（ b3n+1+d）﹣ b3n﹣ 1=（ qb3n+d）﹣ b3n﹣ 1=[q（ b3n﹣ 1+d） +d]﹣ b3n﹣ 1=2d=6， ?{b3n﹣ 1}是等差數(shù)列，又 b3n﹣ 2+b3n﹣ 1+b3n=（ b3n﹣ 1﹣ d） +b3n﹣ 1+（ b3n﹣ 1+d） =3b3n﹣ 1，即可求 S3n，從而求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍； （ 3） k 取 2， 3， 4 時(shí)存在，有序數(shù)組可以是（ 2， ），（ 3， ），（ 3，﹣ 1），（ 6， ）． 【解答】 解：（ 1） {bn}的前 4 項(xiàng)依次為 1， 1+d， t（ 1+d）， t（ 1+d） +d， 由前三項(xiàng)成等比數(shù)列得（ 1+d） 2=t（ 1+d）， ∵ 1+≠ 0， ∴ t=1+d， 那么第 2， 3， 4 項(xiàng)依次為 t， t2， t2+t﹣ 1， ∴ t4=t（ t2+t﹣ 1）， ∴ t=1
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