20xx年甘肅省高考數(shù)學一診試卷理科word版含解析-閱讀頁
2024-12-18 10:45本頁面
【正文】 圓心為 P（﹣ ， 0）， 由直線 l 總穿過 x 軸，證明當 l 的斜率存在時，也過點 P（﹣ ， 0）， 當 l 的斜率存在時， kPM= = =kPN（ k＞ 0， k≠ 1）， 綜上可知： l 過 定點（﹣ ， 0）． 21．已知函數(shù) f（ x） =（ x2﹣ x﹣ 1） ex． （ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間． （ 2）若方程 a（ +1） +ex=ex在（ 0， 1）內(nèi)有解，求實數(shù) a 的取值范圍． 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ 2）問題可化為 ex﹣ ax2+（ a﹣ e） x=0，令 g（ x） =ex﹣ ax2+（ a﹣ e） x，則 g（ x）在（ 0， 1）內(nèi)有零點，通過討論 a 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定 a 的范圍即可． 【解答】 解：（ 1） f′（ x） =（ x2+x﹣ 2） ex=（ x﹣ 1）（ x+2） ex， 令 f′（ x） ＞ 0，解得： x＞ 1 或 x＜ ﹣ 2， 令 f′（ x） ＜ 0，解得：﹣ 2＜ x＜ 1， 故 f（ x）在（﹣ ∞ ，﹣ 2）遞增，在（﹣ 2， 1）遞減，在（ 1， +∞ ）遞增； （ 2）方程 a（ +1） +ex=ex可化為 ex﹣ ax2+（ a﹣ e） x=0， 令 g（ x） =ex﹣ ax2+（ a﹣ e） x，則 g（ x）在（ 0， 1）內(nèi)有零點，易知 g（ 0） =1，g（ 1） =0， g′（ x） =ex﹣ 2ax+a﹣ e，設(shè) g′（ x） =h（ x），則 h′（ x） =ex﹣ 2a， ① a＜ 0 時， h′（ x） ＞ 0，即 h（ x）在區(qū)間（ 0， 1）遞增， h（ 0） =1+a﹣ e＜ 0， h（ 1） =﹣ a＞ 0，即 h（ x）在區(qū)間（ 0， 1）只有 1 個零點 x1， 故 g（ x）在（ 0， x1）遞減，在（ x1， 1）遞增， 而 g（ 0） =1＞ 0， g（ 1） =0，得 g（ x1） ＜ g（ 1） =0，故 g（ x）在（ 0， x1）內(nèi)存在唯一零點； ② 當 0≤ a≤ 時， h′（ x） ＞ 0，即 h（ x）在區(qū)間（ 0， 1）遞增， h（ x） ＜ h（ 1） =﹣ a≤ 0，得 g（ x）在（ 0， 1）遞減，得 g（ x）在（ 0， 1）無零點； ③ 當 ＜ a＜ 時，令 h′（ x） =0，得 x=ln（ 2a） ∈ （ 0， 1）， ∴ h（ x）在區(qū)間（ 0， ln（ 2a））上遞減，在（ ln（ 2a）， 1）遞增， h（ x）在區(qū)間（ 0， 1）上存在最小值 h（ ln（ 2a））， 故 h（ ln（ 2a）） ＜ h（ 1） =﹣ a＜ 0， h（ 0） =1+a﹣ e＜ a﹣ ＜ 0， 故 ＜ a＜ 時， ? x∈ （ 0， 1），都有 g′（ x） ＜ 0， g（ x）在（ 0， 1）遞減， 又 g（ 0） =1， g（ 1） =0，故 g（ x）在（ 0， 1）內(nèi)無零點； ④ a≥ 時， h′（ x） ＜ 0， h（ x）在區(qū)間（ 0， 1）遞減， h（ 1） =﹣ a＜ 0， h（ 0）=1+a﹣ e， 若 h（ 0） =1+a﹣ e＞ 0，得 a＞ e﹣ 1＞ ， 則 h（ x）在區(qū)間（ 0， 1）只有 1 個零點 x2， 故 g（ x）在（ 0， x2）遞增，在（ x2， 1）遞減， 而 g（ 0） =1， g（ 1） =0，得 g（ x）在（ 0， 1）無零點， 若 ＜ a 時，則 h（ 0） =1+a﹣ e＜ 0，得 g（ x）在（ 0， 1）遞減，得 g（ x）在（ 0，1）內(nèi)無零點， 綜上， a＜ 0 時，方程 a（ +1） +ex=ex在（ 0， 1）內(nèi)有解． 選修 44：坐標系與參數(shù)方程 22．在直角坐標系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為 （ α 為參數(shù)，﹣ π＜ α＜ 0），曲線 C2的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），以 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸建 立極坐標系． （ 1）求曲線 C1的極坐標方程和曲線 C2的普通方程； （ 2）射線 θ=﹣ 與曲線 C1的交點為 P，與曲線 C2的交點為 Q，求線段 PQ 的長． 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程． 【分析】 （ 1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線 C1的極坐標方程和曲線 C2的普通方程； （ 2）通過方程組求出 P、 Q 坐標，然后利用兩點間距離公式求解即可． 【解答】 解：（ 1）曲線 C1的參數(shù)方程為 （ α為參數(shù)，﹣ π＜ α＜ 0）， 普通方程為（ x﹣ 1） 2+y2=1，（ y＜ 0）， 極坐標方程為 ρ=2cosθ， θ∈ （﹣ ， 0） ，曲線 C2 的參數(shù)方程為 （ t為參數(shù)）， 普通方程 2x+y﹣ 6=0； （ 2） θ=﹣ ， ，即 P（ ，﹣ ）； θ=﹣ 代入曲線 C2的極坐標方程，可得 ρ′=6 ，即 Q（ 6 ，﹣ ）， ∴ |PQ|=6 ﹣ =5 ． 選修 45：不等式選講 23．設(shè)函數(shù) f（ x） =|x+2|+|x﹣ 1|． （ 1）求 f（ x）的最小值及取得最小值時 x 的取值范圍； （ 2）若集合 {x|f（ x） +ax﹣ 1＞ 0}=R，求實數(shù) a 的取值范圍． 【考點】 絕對值三角不等式；絕對值不等式的解法． 【分析】 （ 1）利用絕對值三角不等式，求得 f（ x）的最小 值及取得最小值時 x的取值范圍． （ 2）當集合 {x|f（ x） +ax﹣ 1＞ 0}=R，函數(shù) f（ x） ＞ ﹣ ax+1 恒成立，即 f（ x）的圖象恒位于直線 y=﹣ ax+1 的上方，數(shù)形結(jié)合求得 a 的范圍． 【解答】 解：（ 1） ∵ 函數(shù) f（ x） =|x+2|+|x﹣ 1|≥ |x+2﹣（ x﹣ 1） |=3，故函數(shù) f（ x） =|x+2|+|x﹣ 1|的最小值為 3， 此時，﹣ 2≤ x≤ 1． （ 2）函數(shù) f（ x） =|x+2|+|x﹣ 1|= ，而函數(shù) y=﹣ ax+1 表示過點（ 0，1），斜率為﹣ a 的一條直線， 如圖所示：當直線 y=﹣ ax+1 過點 A（ 1， 3）時， 3=﹣ a+1， ∴ a=﹣ 2， 當直線 y=﹣ ax+1 過點 B（﹣ 2， 3）時， 3=2a+1， ∴ a=1， 故當集合 {x|f（ x） +ax﹣ 1＞ 0}=R，函數(shù) f（ x） ＞ ﹣ ax+1 恒成立， 即 f（ x）的圖象恒位于直線 y=﹣ ax+1 的上方， 數(shù)形結(jié)合可得要求的 a 的范圍為（﹣ 2， 1）． 2017 年 4 月 3 日
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