【正文】 關(guān)系是 a: uvx y y x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?b: 等 φ線與等 ψ線垂直 前已證明，流線與等勢面垂直，而 的線是流線故等 φ線與等 ψ線垂直。 對平面無旋流 ? ??? ? ???00z vuxyuvyx????? ? ?將 有： ????????2222 0xy滿足拉普拉斯方程，故 是調(diào)和函數(shù)。 22xy? ??解 由速度勢的定義求出 ???? ? ???? ? ? ? ??? ? ?2224235uxxvyyV u v 例 2： 設(shè)二元流動的速度場為 22222323u x y x y xv y x x y y? ? ? ?? ? ? ?求 1)流動是否存在？ 是否有旋？ 2） φ ＝？ 3） ψ ＝？ 4） 求沿 的 Γ和該周線所圍面積內(nèi)的漩渦強度 。 例 4： 已知 u y v x? ? ?試問 1)流動是否存在？ 2） 流動是否有勢？ 3） ψ ＝？ φ ＝？ 4） 求沿 的 Γ 及通過此曲線的流量 Q。 64 不可壓縮流體平面無旋流動的復(fù)變函數(shù)表示 一、復(fù)位勢與流函數(shù)、勢函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系 流函數(shù)與勢函數(shù)的關(guān)系 ,x y y x? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 這正是柯西 黎曼條件。 ?? z x iy??( ) ( , ) ( , )W z x y i x y???? 它的導(dǎo)數(shù)為 dW i u ivdz x x????? ? ? ??? 被稱為流動的復(fù)位勢，實部為勢函數(shù)，虛部為流函數(shù)。 ( , )W x ydWdz 二、復(fù)位勢的性質(zhì) 1. 兩點的復(fù)位勢之差是復(fù)勢，其實部是兩點連線上的速度環(huán)量，虛部是通過兩點連線的流量。 3. 兩個不可壓縮流體的平面無旋流動的疊加，仍然為平面無旋流，其復(fù)勢為原兩個復(fù)勢之和。 5 基本的平面有勢流動 勢流疊加原理 : ? ? ? ?? ? ?1 2 3 由于 φ函數(shù)和 ψ函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，由調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)可知，調(diào)和函數(shù)的線性組合仍是調(diào)和函數(shù)，故可用 ? ? ? ?? ? ?1 2 3來描述一個新的有勢流動 即 φ函數(shù)和 ψ函數(shù)可疊加，疊加后 仍是無旋流 。 流線平行與 y軸， ???uVvo?0uvV 壓力分布 平行流中各點速度相等，任取兩點寫伯努利方程，都有 在水平面上，各 二、平面點源和點匯 點源 ： 單位時間內(nèi)通過一半徑為 的圓周流出流量 當(dāng) 時保持 Q不變，則這種流動稱為點源流（若流入，稱點匯），Q稱為點源（匯）強度。 為源， 為匯。當(dāng) ， 故源點是奇點，不討論。等 φ線與等 ψ線正交。 r p 。除渦線本身有旋外渦線外的流體繞渦線做等速圓周運動且無旋。 若設(shè)點渦的強度為 則在半徑 r處由點渦所誘導(dǎo)的速度為 而 ?V ： 02rVVr? ????V?r?ds c??c??因為由環(huán)量定義 202LLV ds V rd V rd rV?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?2V r? ???? ?? ??????22 yarctg x φ流函數(shù) ψ： 2rd dr d V dr rV drrV d d????? ? ???????? ? ? ??????積分 令 φ＝ const，即 θ＝ const，等勢線是半射線。如圖示。 四：二元渦 所謂二元渦就是前面討論的強迫渦加自由渦，也即復(fù)合渦的問題。由于 這部分流體有旋。 V? , , 0r V r V??? ? ? ? ?渦內(nèi)： 0rVVr? ???渦外 ： 02rVVr? ????在 時 0rr?002 r? ??????0r當(dāng) 不變 處的 為常數(shù) V? 壓力分布： 自由渦 ：由于是無旋流動，在自由渦中任取一點與無窮遠處寫伯努利方程： 2222Vp V pg g g g?????? ? ?忽略位能 若 0V?22p p V ?????則 將 代入 2V r? ???228pp r????在自由渦中 p與 r 成平方關(guān)系 ,(拋物線 ） 。 167。 二、點渦＋點匯 （ 螺旋流 ） ln22Q r???? ?? ? ? lnQ r?? ?? ? ?勢函數(shù)： 流函數(shù)： ? ?? /Qr c e流線方程 ： 等勢線族和流線族是兩組互相正交的對數(shù)螺旋線族，故稱為螺旋流。 φ函數(shù)、 ψ函數(shù) ???????2 2 2cos2 ( ) 2Mx Mrx y r?? ???2 2 2sin2 ( ) 2My Mrx y r式中 M 稱為偶極矩，為常數(shù) . 分別令 φ＝ c 和 ψ=c 可得流線和等勢線。 四、均勻流繞圓柱體無環(huán)量流動 將均勻直線流和偶極子疊加 ,可模擬平行流繞圓柱體的流動 . 零流線 勢函數(shù) 流函數(shù) ??? ????221( 1 )2MVxV xy? ??????221( 1 )2MVyV令 稱為 零流線， 有 0? ? ?? ??? ?221( 1 ) 02MVyV xy解得： 2202My x yV? ?? ? ? 零流線是由 x軸和以原點為圓心，半徑為 的圓組成，由于流線不能相交，故可把零流線模擬圓柱的固體表面。切向速度滿足正弦函數(shù)關(guān)系，與半徑無關(guān)。 環(huán)量 2220200( 1 ) si nrV ds V rd V rdr???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?在流場中圍繞圓柱體任取一封閉周線做環(huán)量： 2 202 0( 1 ) si n 0rV r dr????? ? ? ? ? ??故稱平行流繞圓柱的流動為無環(huán)流。如圖： 0rd?ds rd?? 0dF pr d???箭頭朝外 為負，箭頭朝里 為正。這一理論推導(dǎo)的結(jié)果與實際情況矛盾，稱為“達朗貝爾疑題”。沒有升力是由于物體的對稱性，使得流場相對于 x軸對稱。 求駐點：令 有 0rV ?? 0si n4 rV?? ????有如圖三種情況： ，駐點在流場中。由此可知繞圓柱的有環(huán)流 無阻力但有升力 無阻力的原因仍是沒有考慮粘性。 ?升力方向的確定： 將來流速度 的方向逆 的方向轉(zhuǎn) 90176。試求速度環(huán)量、升力大小及方向。 , March 18, 2023 雨中黃葉樹，燈下白頭人。 :30:5707:30Mar2318Mar23 1故人江海別，幾度隔山川。 :30:5707:30:57March 18, 2023 1他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國見青山。 。 2023年 3月 18日星期六 7時 30分 57秒 07:30:5718 March 2023 1做前，能夠環(huán)視四周；做時，你只能或者最好沿著以腳為起點的射線向前。 , March 18, 2023 很多事情努力了未必有結(jié)果，但是不努力卻什么改變也沒有。 :30:5707:30Mar2318Mar23 1世間成事，不求其絕對圓滿，留一份不足，可得無限完美。 :30:5707:30:57March 18, 2023 1意志堅強的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。 。 2023年 3月 18日星期六 7時 30分 57秒 07:30:5718 March 2023 1空山新雨后，天氣晚來秋。 , March 18, 2023 閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。 :30:5707:30Mar2318Mar23 1越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。勝人者有力，自勝者強。 2023年 3月 18日星期六 上午 7時 30分 57秒 07:30: 1最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。 2023年 3月 18日星期六 7時 30分 57秒 07:30:5718 March 2023 1一個人即使已登上頂峰，也仍要自強不