【正文】 rog(? ) % lambda 為解 x的 Lagrange 乘子。 [x,fval, lambda,exitflag,output] = linprog(? ) % output 為關(guān)于優(yōu)化的一些信息 (2)非線性規(guī)劃問題 ? 無約束非線性規(guī)劃問題 多元函數(shù)最小值的數(shù)學(xué)模型為： )x(fminx 其中： x 為向量，如 ]x,x,x[x n21 ?? 可以使用函數(shù) fminbnd、 fminsearch 和 fminunc。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options 為指定優(yōu)化參數(shù)選項(xiàng) [x,fval] = fminbnd(? ) % fval 為目標(biāo)函數(shù)的最小值 [x,fval,exitflag] = fminbnd(? ) %xitflag 為終止迭代的條件 [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(? ) % output 為優(yōu)化信息 函數(shù) fminsearch 格式 x = fminsearch(fun,x0) %x0 為初始點(diǎn)， fun為目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式字符串或 MATLAB 自定義函數(shù)的函數(shù)柄。 [x,fval,exitflag,output] = fminunc(? ) %output 為輸出優(yōu)化信息 15 [x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(? ) % grad 為函數(shù)在解 x 處的梯度值 [x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(? ) %目標(biāo)函數(shù)在解 x 處的海賽（ Hessian）值 ? 約束非線性規(guī)劃問題 非線性有約束的多元函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為： )(min xf . 0)x(C ? 0)x(Ceq ? bxA ?? beqxAeq ?? ubxlb ?? 其中： x、 b、 beq、 lb、 ub是向量， A、 Aeq 為矩陣 ， C(x)、 Ceq(x)是返回向量的函數(shù)， f(x)為目標(biāo)函數(shù)， f(x)、 C(x)、 Ceq(x)可以是非線性函數(shù)。 函數(shù) quadprog 格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中 H,f,A,b 為標(biāo)準(zhǔn)形中的參數(shù)， x為目標(biāo)函數(shù)的最小 值。 x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub 分別為解 x的下界與上界。 優(yōu)化函數(shù) fminimax 格式 x = fminimax(fun,x0) x = fminimax(fun,x0,A,b) x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) [x,fval,maxfval] = fminimax(? ) [x,fval,maxfval,exitflag] = fminimax(? ) [x,fval,maxfval,exitflag,output] = fminimax(? ) [x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda] = fminimax(? ) 17 (4) 多目標(biāo)規(guī)劃問題 多目標(biāo)規(guī)劃是指在一組約束下，對(duì)多個(gè)不同目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。 在同一約束下，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí)，不存在最優(yōu)解 x使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。 在 MATLAB 中，多目標(biāo)問題的數(shù)學(xué)模型為： ??,minximize . go a lw e ight)x(F ???? 0)x(C ? 0)x(Ceq ? bxA ?? beqxAeq ?? ubxlb ?? 其中： x、 b、 beq、 lb、 ub 是向量； A、 Aeq 為矩陣； C(x)、 Ceq(x)和 F(x)是返回向量的函數(shù)； F(x)、 C(x)、 Ceq(x)可以是非線性函數(shù)； weight 為權(quán)值系數(shù)向量，用于控制對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)與用戶定義的目標(biāo)函數(shù)值的接近程度； goal為用戶設(shè)計(jì)的與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值向量； ? 為一個(gè)松弛因子標(biāo)量； F(x)為多目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)向量。 案例分析：設(shè)計(jì)帶式輸送機(jī)傳動(dòng)裝置上的普通 V帶傳動(dòng)。要求傳動(dòng)結(jié)構(gòu)緊湊（帶的根數(shù)盡量小，帶輪的直徑和中心距盡量?。?。 dd1并驗(yàn)算帶速 v （ 1)初選小帶輪的基準(zhǔn)直徑 dd1。 （ 2)驗(yàn)算帶速。 （ 3） 計(jì)算大帶輪的基準(zhǔn)直徑。 V帶的中心距 a 和基準(zhǔn)長(zhǎng)度 Ld (1)根據(jù)式 820，初定中心距 a0=500mm （其中 0a 的范圍： 1 2 0 1 20 .7 ( ) 2 ( )d d d dd d a d d? ? ? ? 00 .7 ( 1 0 0 3 1 5 ) 2 ( 1 0 0 3 1 5 )m m a m m? ? ? ? 所以 0290 .5 830m m a m m?? (2)由式 822 計(jì)算帶所需的基準(zhǔn)長(zhǎng)度 19 2210 0 1 2 0()2 ( )24 ddd d d ddL a d d a? ?? ? ? ? 23 1 5 1 0 0= 2 5 0 0 + 1 0 0 + 3 1 5 + mm2 4 5 0 0??? ?（ ）（ ） =1675mm 由表 82 選帶的基準(zhǔn)長(zhǎng)度 Ld=1600mm。 z (1)計(jì)算單根 V帶的額定功率 Pr 由 dd1=100mm和 n1=1440r/min,查表 84a 得 P0= （其中0 2 2 10 13250P k w?? ? ? ?） 根據(jù) n1=1440r/=3 和 A 型帶，查表 84b 得 ?? （其中0 0 .1 7 0 .1 50 .1 7 1 0 0 .1 7250P k w?? ? ? ? ?） 查表 85 得 ? ? （其中 3 2 3 2 265K? ?? ? ? ?） 查表 82 得 KL= 00P r ( ) ( 1 .3 1 3 0 .1 7 ) 0 .9 2 6 0 .9 9 1 .3 6 k wLP P K K?? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） 計(jì)算 V帶的根數(shù) rPz P? ? ? 所以取 4 根 V帶的初拉力的 最小值 0 min()F 20 由表 83 得 A 型帶的單位長(zhǎng)度質(zhì)量 q=,所以 2ca0 m in ( 2 .5 )( ) 5 0 0 zKPF q vKv ????? =[ ? ? 22 . 5 0 . 9 2 6 4 . 45 0 0 0 . 1 7 . 5 40 . 9 2 6 4 7 . 5 4??? ? ???]N=130N 應(yīng)使帶的實(shí)際初拉力 0 0 min()FF。 MATLAB的 V帶優(yōu)化設(shè)計(jì) 案例分析：設(shè)計(jì)帶式輸送機(jī)傳動(dòng)裝置上的普通 V帶傳動(dòng)。要求傳動(dòng)結(jié)構(gòu)緊湊（帶的根數(shù)盡量小，帶輪的直徑和中心距盡量?。? 8 8d d dL d i d iaa? ??? ? ? ? 帶的根數(shù)3 0 0 )m in ( ) ( A LKPf x z P P K K??? ?? 其中，工作情況系數(shù) Kα 和功率增量可由《機(jī)械設(shè)計(jì)》查表得出直接數(shù)值。 但是另外三 個(gè)量單根 V帶的額定功率 P0、包角系數(shù) Kα 、帶的長(zhǎng)度系數(shù) KL需要進(jìn)行曲線擬合。 y1=[ ]。 y3=[ ]。 y5=[ ]。 y7=[ ]。 z1=interp1(x,y1,1440) z2=interp1(x,y2,1440) z3=interp1(x,y3,1440) z4=interp1(x,y4,1440) z5=interp1(x,y5,1440) z6=interp1(x,y6,1440) z7=interp1(x,y7,1440) z8=interp1(x,y8,1440) 擬合函數(shù)為 ， clear all x=[75 90 100 112 125 140 160 180]。 p=polyfit(x,y,1) ② 包角系數(shù) K a ??? ?（擬合為雙曲線方程，相關(guān)指數(shù)2 ? ,標(biāo)準(zhǔn)誤差 ? ? ）； 將包角系數(shù)擬合成關(guān)于包角的雙曲線函數(shù) 的 程序如下： m=[180 175 170 165 160 155 150 145 140 135 130 125 120]。 y=1./n。 y=[ ]。 考慮到個(gè)分目標(biāo)的量綱不同 —— 各分目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍為，小帶輪基準(zhǔn)直徑 11 80 100df d m m?? ， 中心距 2 3 2 0 4 0 0f a m m?? 和帶的根數(shù) 3 14fz?? 23 —— 為使各分目標(biāo)函數(shù)在數(shù)量級(jí)上到達(dá)統(tǒng)一平衡，按照各分目標(biāo)函數(shù)值的容限確定各個(gè)分目標(biāo)的權(quán)重： 221 222232100 80210400 320402412TTwwww?????? ? ???? ??????????? ? ?????? ? ?? ? ??????? ?? ?????? ?????? ?? ???????? 編寫程序 其實(shí)現(xiàn)的 MATLAB 程序 代碼如下： clear all。 i=2。 KA=。1250]。630]。4000]。 w=[10^2,40^2,^2]。 Dd2=Dd1*i。 Ld=1 a1=Ld/4pi*Dd1*(i+1)/8。 a=a1+sqrt(a1^2a2)。 fprintf(1,39。,Dd1) fprintf(1,39。,Dd2) fprintf(1,39。,Ld) 24 fprintf(1,39。,a) fprintf(1,39。,alpha) fprintf(1,39。,z) q=。 kalp=alpha/(*alpha+)。 Q=2*z*F0*sin(*alpha*pi/180)。180。,v) fprintf(1,39。帶的初拉力 F0=%\n39。180。,Q) 在運(yùn)行程序中，調(diào)用了自定義的 MATLAB函數(shù)，代碼如下 ： 帶傳動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)文件為： function f=li5_18A(x) p=4。 KA=。 a2=x(1)^2*(i1)^2/8。 f(2)=a。 DPO=。 Kalp=alpha/(*alpha+)。 f(3)=KA*p/(p0+DPO)/Kalp/KL。 n1=1440。 g(2)=pi*x(1)*n1/6e425。 a2=x(1)^2*(i1)^2/8。 g(3)=120180*(1x(1)*(i1)/a/pi)。 ceq=[] 優(yōu)化程序的計(jì)算結(jié)果為 ： x = +03 * fval = 計(jì)算結(jié)果 小帶輪基準(zhǔn)直徑 Dd1=100mm 大帶輪基準(zhǔn)直徑 Dd1=300mm V帶基準(zhǔn)長(zhǎng)度 Ld=1250mm 傳動(dòng)中心 距 a= 小帶輪包角 alpha= V帶根數(shù) z=4mm 帶速 v=帶的初拉力 F0= 帶的壓軸力 FQ= 26 兩種結(jié)果的比較 表 31 結(jié)果對(duì)比表 項(xiàng)目 常規(guī)算法 MATLAB 算法 相對(duì)減小率 η 小帶輪基準(zhǔn)直徑 Dd1 100mm 100mm 0％ 大帶輪基準(zhǔn)直徑 Dd2 315mm 300mm ％ V帶基準(zhǔn)長(zhǎng)度 Ld 1600mm 1250mm ％ 傳動(dòng)中心距 a 462mm 294mm ％ 小帶輪包角 α 153176。 ≥ 90176。（《機(jī)械設(shè)計(jì)》公式 825），滿足了設(shè)計(jì)要求，有效地保障了傳動(dòng)的效率；帶的根數(shù) Z 都為 4 根，雖然沒有達(dá)到優(yōu)化，但是在保證傳動(dòng)的安全性和穩(wěn)定性下， 4 根帶輪數(shù)是合理，并且沒有超過常規(guī)方法的結(jié)果，也是能體現(xiàn)優(yōu)化效果的。所以初步評(píng)定基于 MATLAB 的 V帶優(yōu)化設(shè)計(jì)是成功的。 在本設(shè)計(jì)方法當(dāng)中 ， 考慮帶輪結(jié)構(gòu)緊湊時(shí)候 ， 同時(shí)要求中心距最優(yōu) ， 有效地運(yùn)用了多目標(biāo)優(yōu)化 。 本方法除了用于普通 Ｖ 帶的設(shè)計(jì) ， 還可以用于其他帶型的設(shè)計(jì) ， 具有一定的推廣價(jià)值 。 （ 2） 對(duì)帶傳動(dòng)的多 目 標(biāo)優(yōu)化設(shè) 計(jì) 可以通過調(diào)整加權(quán)因 子 的大小，得到機(jī)構(gòu)緊湊，成本低廉且滿足所有條件