【正文】 的其它學科也有許多應用。層次分析法的基礎是目標的分層和對同一層次的各目標的重要性進行兩兩比較，使確定各目標的權重的任務具有可操作性。 例如 有兩個特征向量和相應的特征根 ?????? ???3254A225V。其中 I 為單位矩陣。 ?????? ???3254A 0325410013254|IA| ??????????????? 判斷矩陣特征向量和特征根的疊代算法 任取一個初始 n 1向量 計算 ??????????????????????????13/4424/3132/34/13/112/12/13/221A??????????????????????????4/14/14/14/1W 0???????????????????????????????????????????????????AWW 01 歸一化為 112 WAWW ????????????????????????????????????????已經收斂。 層次分析法原理 設 n個物體，重量分別為 w1， w2， … ， wn，總總量 將 w1， w2， … ， wn 歸一化，即令 歸一化以后的重量滿足 如果已知這 n個物體總量兩兩比較的值，能否求出它們（歸一化）的重量？ ???n1iiwW n,2,1iWwwn1iii ??? ??1w,w,w01w n21n1ii ?????? 設 n個物體重量的兩兩比較判斷矩陣如下 例如，四個物體的重量為 w1=2， w2=1， w3=3， w4=4（公斤） 它們的總重量 W=10公斤，歸一化的重量為 四個物體兩兩比較的判斷矩陣為 ?????????????nn2n1nn22212n12111w/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wA??????? 4321 ?????????????????13/4424/3132/34/13/112/12/13/221A Wnwwwnwnwnwnwwww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wWAn21n21n21nn2n1nn22212n12111??????????????????????????????????????????????????????????????這個矩陣具有以下特點： 對角線上的元素 aii=1 （ i=1,2,…,n ） 以對角線對稱的元素互為倒數 aij=1/aji （ i,j=1,2,…,n ） 各物體之間的相對重量比值是一致的 aij=aik/ajk （ i,j=1,2,…,n ） n個物體歸一化的重量組成的向量是判斷矩陣的一個特征向量，對應的最大特征根 ?max=n。 同樣，在多目標決策中，如果能給出各目標重要性兩兩比較的判斷矩陣，就可以求出這些目標（歸一化）的相對重要性。這些數字的含義為： C A1 A2 … An A1 a11 a12 … a1n A2 a21 a22 … a2n … … … … … An an1 an2 … ann aij 含義 1 元素 i 和元素 j 同等重要 3 元素 i 比元素 j 稍微重要 5 元素 i 比元素 j 明顯重要 7 元素 i 比元素 j 強烈重要 9 元素 i 比元素 j 絕對重要 與物體的重量之比不同，目標的重要性判斷矩陣可能是不一致的。如果不一致性在一定的范圍以內，判斷矩陣還是有效的，不一致性超出一定的范圍，判斷矩陣的有效性就有問題。 單層次分析法的步驟： 1. 構造組成目標各元素的重要性兩兩比較判斷矩陣； 2. 求解判斷矩陣的最大特征根 ?max和相應的特征向量 ； 3. 判斷矩陣的一致性檢驗。 W 一致性檢驗的步驟如下： 1) 計算一致性指標 . 2) 計算平均隨機一致性指標 . 這個指標是隨機產生的不同維數的判斷矩陣的特征根的平均值 3) 計算一致性比例 當 .，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。根據兩個權重匹配的情況，提出改進的意見。 目標規(guī)劃（ Goal Programming） 線性規(guī)劃是一種應用非常廣泛的優(yōu)化模型，但它也有以下明顯的缺點： 只能求解 單目標 問題； 把 約束條件和目標函數 作為完全不同的概念來處理，而在實際問題中，目標函數和約束條件往往是可以互換的，并沒有嚴格的區(qū)別。在一些實際問題中，約束條件是可以突破的，約束條件的右邊常數并不是變量上限或下限，而是一個希望能夠最接近的目標。 針對線性規(guī)劃的以上缺陷， A. Charnes和 W. Cooper提出了目標規(guī)劃（ Goal Programming），這是一種求解多目標線性規(guī)劃的方法。 目標規(guī)劃的圖解 設線性規(guī)劃問題為 max z=2x1+3x2 . x1 x2 ≤1 x1+x2 ≥2 x2 ≤3 x1， x2 ≥0 由圖解可知，線性規(guī)劃的最優(yōu)解為： x1=4， x2=3 max z=17 01234 3 2 1 1 min z=n1+p1+n2+p2+n3+p3+n4+p4 . 2x1+3x2+n1p1 =12 (1) x1 x2 +n2p2 = 1 (2) x1+ x2 +n3p3 = 2 (3) x2 +n4p4 = 3 (4) x1, x2, n1, p1， n2, p2, n3, p3, n4, p4 ≥0 相應的目標規(guī)劃問題為 其中 p p p p4稱為正偏差變量， n n n n4稱為負偏差變量。因此，對第 i個目標，有 iiin1jjij bpnxa ?????如果各目標無優(yōu)先級，要使所有的目標總偏差最小，即 ???m1iii )pn(min 目標規(guī)劃的模型為： 對于每一個目標，正偏差變量和負偏差變量在系數矩陣中的列向量是兩個相同的單位向量，是線性相關的，不可能同時出現在基矩陣中，因此，以上問題的任何一個基礎可行解，同一個目標的正負偏差變量，不可能兩個同時大于 0。 0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20x10x3026pnx3xx238pnx5x2x4)pn()pn()pn()pn()pn(min554433221132155321443213332122321113214422335511??????????????????????????????????? 產品 A 產品 B 產品 C 目標的 理想值 正偏差 變量 負偏差 變量 產量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 達 到 的 目 標 值 利潤（萬元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價格（萬元） 100 100 0 0 總產量（噸） 10 18 0 8 用單純形法，得到目標規(guī)劃的最優(yōu)解、各目標的值以及偏差變量的值 最優(yōu)解 目標值 偏差變量 目標規(guī)劃的特點 ?可以求解多目標問題。 ?用目標（ Goal）的概念取代了線性規(guī)劃中的“約束條件”，用偏離各目標的總偏差最小取代了線性規(guī)劃中的目標函數，消除了線性規(guī)劃中目標函數和約束條件的對立。 ?目標規(guī)劃總是有可行解的。 目標有優(yōu)先級的目標規(guī)劃 在上面的例子中，利潤、耗用原料、排放污染、銷售額、總產量等五個目標是一視同仁的，最優(yōu)解是使偏離五個目標的總偏差之和最小。 產品 A 產品 B 產品 C 目標的 理想值 正偏差 變量 負偏差 變量 產量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 達 到 的 目 標 值 利潤（萬元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價格（萬元） 100 100 0 0 總產量（噸） 10 18 0 8 確定五個目標的優(yōu)先級 Pi（ Pi=1， 2， 3， 4， 5），數字越小優(yōu)先級越高 目 標 產品 A 產品 B 產品 C 優(yōu)先級 Pi 目標的 理想值 正偏差 變量 負偏差 變量 利潤（萬元 /噸） 9 4 1 1 77 p1 n1 耗用原料（噸 /噸） 4 2 5 5 38 p2 n2 排放污染（ m3/噸） 2 1 3 3 26 p3 n3 銷售價格（萬元 /噸） 30 10 20 2 100 p4 n4 總產量（噸） 1 1 1 4 18 p5 n5 目標有優(yōu)先級的目標規(guī)劃解法有： ?加權法 ?字典序法 目 標 產品 A 產品 B 產品 C 優(yōu)先級 權重 理想值 正偏差 負偏差 利潤（萬元 /噸） 9 4 1 1 10000 77 p1 n1 耗用原料（噸 /噸） 4 2 5 5 1 38 p2 n2 排放污染（ m3/噸） 2 1 3 3 100 26 p3 n3 銷售價格（萬元 /噸） 30 10 20 2 1000 100 p4 n4 總產量（噸） 1 1 1 4 10 18 p5 n5 目標具有優(yōu)先級的目標規(guī)劃解法 —— 加權法 0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20x10x3026pnx3xx238pnx5x2x4)pn()pn(10)pn(10)pn(10)pn(10min5544332211321553214432133321223211132144222333554115????????????????????????????????????????????? 產品 A 產品 B 產品 C 理想值 正偏差 負偏差 產量（噸） 0 10 0 RHS pi ni 無 優(yōu) 先 級 利潤（萬元） 40 77 0 37 耗用原料（噸） 30 38 0 18 排放污染（ m3） 10 26 0 16 銷售價格（萬元） 100 100 0 0 總產量（噸） 10 18 0 8 產品 A 產品 B 產品 C 理想值 正偏差 負偏差 產量（噸） 1 0 RHS pi ni 有 優(yōu) 先 級 1 利潤（萬元） 77 77 0 0 5 耗用原料（噸） 38 38 0 0 3 排放污染（ m3） 26 0 2 銷售價格（萬元） 100 0 4 總產量（噸） 18 0 目標具有優(yōu)先級的目標規(guī)劃解法 — 字典序優(yōu)化（ Lexicooptimization） 字典序法的原則是： ?首先不顧其它目標，對優(yōu)先級最高的目標進行優(yōu)化，得到使第一級目標最優(yōu)的決策變量的值以及第一級目標函數的值； ?然后在不使第一級目標變差的前提下，優(yōu)化第二級目標； ?用同樣的原則，按優(yōu)先級從高到低，依次優(yōu)化各級目標，直至所有目標都優(yōu)