蘇教版高中數(shù)學選修1-222直接證明與間接證明同步測試題-閱讀頁
2024-12-05 02:40本頁面
【正文】 成等差數(shù)列， 12x b b y， ， ， 成等比數(shù)列，則 21212()aabb? 的取值范圍 是 ． 答案： ? ? ? ?04??∞ ， ， ∞ 10．我們知道，在 ABC△ 中，若 2 2 2c a b??，則 ABC△ 是直角三角形，現(xiàn)在請你研究：若 ( 2)n n nc a b n? ? ?，問 ABC△ 為何種三角形？為什么？ 解：令 3 1 1n a b? ? ?， ， ，則 3 2 ?? ， 畫以 1， 1， ，觀察易知是銳角三角形．上述用特值試驗的結果具有一般性，證明如下： 因為 ( 2)n n nc a b n? ? ?，所以 c a c b??， ． 由 c 是 ABC△ 的最大邊， 所以要證 ABC△ 是銳角三角形，只需證 C? 為銳角， 即證 cos 0C? 就行了．因為 2 2 2cos2a b cC ab???， 所以要證 cos 0C? ，只 要證 2 2 2a b c??． ① 注意到條件： n n na b c??，于是將 ① 等價變形為： 2 2 2()nna b c c???． ② 又因為 ca? ， cb? ， 2n? ，所以 22nnca??? ， 22nncb??? ， 即 220nnca????， 220nncb????，從而 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n n n n n na b c c a b c a b a c a b c b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 這說明 ② 式成立，從而 ① 式也成立，故 cos 0C? ，即 C 是銳角， ABC△ 為銳角三角形． 11．已知 a b c， ， 是不為 1的正數(shù)， x y z ??R， ， ，且有 x y za b c??和 1 1 2x z y??． 求證： a b c， ， 成等比數(shù)列 證明：令 ( 0 1 )x y za b c k k k? ? ? ? ?， 且， 所以 logaxk? ， logbyk? ， logczk? ． 因為 1 1 2x z y??， 所以 1 1 2 l g l g 2 l g l g l g 2 l gl o g l o g l o g l g l g l ga c b a c b a c bk k k k k k? ? ? ? ? ? ? ?， 故 2b ac? ， 因為 a b c， ， 均不為 0，所以 a b c， ， 成等比數(shù)列 。
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