【正文】 4. 集合溝通了代數(shù) (數(shù) )和幾何之間的關(guān)系。 ，也就是說(shuō)一般不說(shuō)兩個(gè) 集合誰(shuí)大誰(shuí)小。如果有兩個(gè)集合 A、 B，當(dāng)且僅 當(dāng)它們有完全相同的元素時(shí)，稱 A、 B相等，記為 A=B。如 C={2, 3, 5, 7, 11}, 則 A是 C的真子集。 如果 A是Ｃ的真子集 , 就說(shuō) A的基數(shù)小于Ｃ的基數(shù)。 １ ２ ３ ４ ５ ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ２ ４ ６ ８ １０ ┅ 八、一一對(duì)應(yīng)思想 1. 一一對(duì)應(yīng)思想與函數(shù)思想的關(guān)系。函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的一種數(shù)與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但這種對(duì)應(yīng)不一定是一一對(duì)應(yīng)。 設(shè)非０自然數(shù)集Ｎ ,正偶數(shù)集Ｅ ，在兩個(gè)集合之間建立如下的一一 對(duì)應(yīng)。 如五（１）班有２５個(gè)男生，２５個(gè)女生，如果把男生和女生各自的總數(shù)看成一個(gè)集合，那么這兩個(gè)集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)。這兩個(gè)集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)。 人們有時(shí)面對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，無(wú)法通過(guò)統(tǒng)一研究解決，需要把研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問(wèn)題得到解決，這種解決問(wèn)題的思想方法就是分類討論的思想方法。其分類規(guī)則和解題步驟是：（ 1）根據(jù)研究的需要確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；（ 2）恰當(dāng)?shù)貙?duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，分類后的所有子項(xiàng)之間既不能“交叉”也不能“從屬”，而且所有子項(xiàng)的外延之和必須與被分類的對(duì)象的外延相等，通俗地說(shuō)就是要做到“既不重復(fù)又不遺漏”；（ 3）逐類逐級(jí)進(jìn)行討論；（ 4）綜合概括、歸納得出最后結(jié)論。 課程標(biāo)準(zhǔn)在總目標(biāo)中要求學(xué)生能夠有條理地思考，這種條理性就是一種邏輯性，分類討論就是具有邏輯性的思考方法。無(wú)論是解決純數(shù)學(xué)問(wèn)題，還是解決聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題，都要注意數(shù)學(xué)原理、公式和方法在一般條件下的適用性和特殊情況下的不適用性，注意分類討論，從而全面地思考和解決問(wèn)題。 2的倍數(shù)的特征： （ 1）從生活情境 “ 雙號(hào) ”引入。 （ 3）介紹奇數(shù)和偶數(shù)的概念。 質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念： （ 1）根據(jù) 20以內(nèi)各數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)把數(shù)分成三類：質(zhì)數(shù)、合數(shù)。 三角形按角分類 任意找一些三角形 引導(dǎo)學(xué)生自己分類 啟發(fā)學(xué)生想怎樣用集合圈 表示幾種三角形之間的關(guān)系 教師歸納、概括 三角形按邊分類 思路同前 也可以同時(shí)進(jìn)行分類 更加開(kāi)放 等腰三角形的特征 案例 1:下面四張卡片上分別寫有數(shù)字 0、 3， 可以利用它們組成多少不同的四位數(shù) ？ 分析：把所有能組成的四位數(shù)分成三類 ， 再依從小到大的順序列表如下 。 有多少種換法 ？ 分析：方法可多種 ， 可以按只有一種 、 二種 、 三種硬幣的方法進(jìn)行分類組合 。 只有兩種硬幣 :8個(gè) 1分和 1個(gè) 2分 , 6個(gè) 1分和 2個(gè) 2分 , 4個(gè) 1分和 3個(gè) 2分 , 2個(gè) 1分和 4個(gè) 2分 , 5個(gè) 1分和 1個(gè) 5分 , 5種換法 。 共計(jì) 10種換法 。 案例 3:下圖中有多少個(gè)三角形？ 分析：此題如果直接數(shù)，很容易數(shù)錯(cuò)。 十、變換思想 變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換、幾何中有圖形的變換。 1. 初等幾何變換的概念。合同變換實(shí)際上就是相似比為 1的相似變換，是特殊的相似變換。 (1)平移變換。也就是說(shuō)一個(gè)圖形與經(jīng)過(guò)平移變換后的圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相互平行且相等。 ②在平移變換下兩點(diǎn)之間的方向保持不變。 ③在平移變換下兩點(diǎn)之間的距離保持不變。 在解初等幾何問(wèn)題時(shí)，常利用平移交換使分散的條件集中在一起，具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡(jiǎn)單的基本圖形。 小學(xué)階段：直觀認(rèn)識(shí)平移現(xiàn)象。 在同一平面內(nèi)，使原點(diǎn) O變換到它自身，其他任何點(diǎn) X變換到 X′，使得： (1)OX′=OX； (2)∠ XOX′=θ(定角 )；則稱這樣的變換為旋轉(zhuǎn)變換。當(dāng) θ0時(shí)，為逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；當(dāng) θ0時(shí)，為順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。通俗地說(shuō)就是一個(gè)圖形圍繞一個(gè)定點(diǎn)在不變形的情況下轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的運(yùn)動(dòng)，就是旋轉(zhuǎn)。 旋轉(zhuǎn)變換有以下一些性質(zhì)： ①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。 ③在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn) A和 B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ ′和Ｂ ′，則有ＡＢ＝Ａ ′Ｂ ′。 設(shè)計(jì)圖案 (3)反射變換。 軸對(duì)稱有如下性質(zhì)： ①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。 ③兩點(diǎn)之間的距離保持不變，任意兩點(diǎn) A和 B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 Ａ ′和Ｂ ′，則有ＡＢ＝Ａ ′Ｂ ′。中小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多圖形都是軸對(duì)稱圖形，利用這些圖形的軸對(duì)稱性質(zhì)，可以幫助我們解決一些計(jì)算和證明的幾何問(wèn)題。 把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。 (4)相似變換。通俗地說(shuō)就是一個(gè)圖形按照一定比例放大或縮小，圖形的形狀不變。 相似變換有以下一些性質(zhì)： ①兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)的比等于相似比。 ③兩條直線的夾角保持不變。 形狀不變，大小改變（圖形的放大、縮?。? 2. 幾何變換思想的重要意義。其中推理不僅僅重視演繹推理，還特別強(qiáng)調(diào)合情推理。而圖形變換作為幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容和思想方法之一，在幾何的育人功能方面發(fā)揮著非常重要的作用。利用圖形變換設(shè)計(jì)美麗的圖案，有利于感受、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造生活的美，有利于認(rèn)識(shí)圖形之間的關(guān)系和發(fā)展空間觀念。 。 平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱變換與生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象不是一個(gè)概念。生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象往往是物體的運(yùn)動(dòng)，如推拉窗、傳送帶、電梯、鐘擺、旋轉(zhuǎn)門等物體的運(yùn)動(dòng)，都可以稱之為平移現(xiàn)象或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱變換來(lái)自于生活中物體的平移現(xiàn)象、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象和軸對(duì)稱現(xiàn)象，如果把生活中這些現(xiàn)象畫成平面圖形，并且在同一平面上運(yùn)動(dòng)，就可以說(shuō)成是幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱變換了。如課程標(biāo)準(zhǔn)要求小學(xué)階段的平移限于水平方向和豎直方向，實(shí)際上平移也可以沿斜線方向平移，只要滿足平移的兩個(gè)條件。再如旋轉(zhuǎn)，象旋轉(zhuǎn)門、螺旋槳、水龍頭等都可以看成旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，但是要注意它的嚴(yán)密性：一是旋轉(zhuǎn)中心必須固定，二是物體不能變形，三是旋轉(zhuǎn)的角度可大可小，可以是 1度，也可以是 300度。另外，幾何意義上的變換都是從圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)及其連線的幾何性質(zhì)進(jìn)行描述的，與圖形的顏色等無(wú)關(guān)。因此，前者不是平移，后者是平移。當(dāng)它停在陸地上時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)就可以看成旋轉(zhuǎn)了。圖 (1)從三角形的頂點(diǎn)向底邊作一條垂線，垂線兩邊的輪廓能夠重合，但是小方格沒(méi)有對(duì)應(yīng)的重合的部分，因此，它不是軸對(duì)稱圖形。 第二，注意圖形變換與其它幾何知識(shí)的聯(lián)系。一方面要在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱時(shí)加強(qiáng)對(duì)這些圖形的對(duì)稱軸和軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)；另一方面要在學(xué)習(xí)這些圖形的概念和性質(zhì)時(shí)進(jìn)一步體會(huì)它們的軸對(duì)稱特點(diǎn)。 分析：此題從表面上看，陰影部分比較 分散，沒(méi)有足夠的數(shù)據(jù)計(jì)算每部分陰影的面積。因此，可以把最外圈陰影部分的四分之一大圓繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90度，把中間陰影部分的四分之一圓繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90度，使陰影經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)集中在右上角四分之一大圓里。=π(cm178。 41案例 5: 人教版及上海版教材 , 求三角形和梯形的面積。 十一、概率思想 １．概率思想。偶然現(xiàn)象，也叫隨機(jī)現(xiàn)象，表面上看可能無(wú)規(guī)律，但大量地收集數(shù)據(jù)或重復(fù)實(shí)驗(yàn)可能具有某種規(guī)律性，概率統(tǒng)計(jì)主要是用數(shù)學(xué)方法揭示這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 必然事件 確定事件 事件 不可能事件 隨機(jī)事件 （ 2）頻率與概率的區(qū)別，概率的類型。 概率是理論上的精確值，但是隨機(jī)事件在具體一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，大量的試驗(yàn)就會(huì)體現(xiàn)出規(guī)律性。 案例 1：連續(xù)兩次拋擲一枚硬幣，一定是一 次正面朝上、一次反面朝上嗎？ 案例 2：某種彩票的中獎(jiǎng)概率是 1/1000，那 么買 1000張彩票一定能中獎(jiǎng)嗎？ 案例 3：天氣預(yù)報(bào)說(shuō)降水概率是 80%，一定 下雨（雪）嗎？ 十二、 統(tǒng)計(jì)思想 現(xiàn)實(shí)生活中大量的數(shù)據(jù)需要收集和研究 ， 不可能考察所有對(duì)象 ， 用樣本估計(jì)總體 ， 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷和決策 ，是統(tǒng)計(jì)思想的核心 。 ：所要考察對(duì)象的全體叫做總體。 ：從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。 ：每組數(shù)據(jù)的頻數(shù)除以樣本容量。 平均數(shù)：是統(tǒng)計(jì)中最常用的數(shù)據(jù)代表值，因?yàn)樗c每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，反映出來(lái)的信息最充分，所以比較可靠和穩(wěn)定。因此，它在生活中應(yīng)用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說(shuō)的平均成績(jī)、平均身高、平均體重等。但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來(lái)描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就比較合適。在一組數(shù)據(jù)中，如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動(dòng)，且某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，此時(shí)用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”就比較適合。 （ 2）若確定平均數(shù) ，則多數(shù)人超額完成有難度；若確定眾數(shù) 6萬(wàn)元為標(biāo)準(zhǔn)，則絕大多數(shù)人不必努力就可以超額完成，不利于調(diào)動(dòng)員工積極性；如果確定中位數(shù)和眾數(shù)７萬(wàn)元為標(biāo)準(zhǔn)，多數(shù)人能完成或超額完成，少數(shù)人經(jīng)過(guò)努力也能完成，所以７萬(wàn)元為標(biāo)準(zhǔn)比較合理。小張購(gòu)物后抽得 10獎(jiǎng)金，下表是抽獎(jiǎng)情況記錄。 （ 2）此次中獎(jiǎng)人數(shù)共有 110人 ,但其中的 98人 (占大多數(shù) )獎(jiǎng)金 只有 10到 20元 ,只有 12人超過(guò)了 40元。 中位數(shù)和眾數(shù)都是 10元，作為中獎(jiǎng)金額的平均水平是合適的。 極限的引入 ， 解決了用常量數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題 ， 用 無(wú)限變化的過(guò)程 ， 使一個(gè)變量逼近一個(gè)常量 ， 使變量 轉(zhuǎn)化為常量 ， 從而解決了問(wèn)題 。 １．無(wú)窮大、無(wú)限、無(wú)窮小 自然數(shù)：０，１，２，３， … 奇數(shù)：１，３，５， … 偶數(shù)：０，２，４， … 幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù) 循環(huán)小數(shù) 等值分?jǐn)?shù) 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …,1/n , … 2. 無(wú)限長(zhǎng)、無(wú)限 直線，射線，角的兩邊，平行線 圓的面積公式的探索過(guò)程 圓柱的體積公式探索過(guò)程 ３． 1/2 + 188。 在小學(xué)，主要討論以下幾個(gè)問(wèn)題： １．分配問(wèn)題。 ２．排隊(duì)問(wèn)題。 ３．對(duì)抗問(wèn)題。 十五、反證法 反證法：一般地，先假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立。 反證法常常是解決某些疑難問(wèn)題的有力工具 , 數(shù)學(xué)史上有些經(jīng)典的證明 (如素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè) , 根號(hào) 2是無(wú)理數(shù)的證明 )就采用了反證法。 證明：假設(shè)兩個(gè)文具盒里放進(jìn)的鉛筆都不超過(guò)３支，則鉛筆的總數(shù)不超過(guò)６ (3+3)支，這與鉛筆的總數(shù)是７支矛盾。 十六、假設(shè)法 假設(shè)法：對(duì)條件或問(wèn)題作出某種假設(shè)，使條件或問(wèn)題轉(zhuǎn)化，根據(jù)新的條件進(jìn)行推算，再根據(jù)原有條件和問(wèn)題適時(shí)調(diào)整、回歸，使原問(wèn)題得以解決 。 案例：汽車廠生產(chǎn)汽車，正常工作日每天生產(chǎn) 200臺(tái)，加班工作日每天生產(chǎn) 240臺(tái)。問(wèn)加班了幾天？ 分析：假設(shè)七天里每天都不加班，那么應(yīng)該生產(chǎn) 1400臺(tái)汽車，比實(shí)際少生產(chǎn) 120臺(tái)；每天加班和不加班相差 40臺(tái)， 120里有幾個(gè) 40，就是加班幾天。 分析法：從結(jié)論或問(wèn)題出發(fā)，一步一步倒推回去，尋求結(jié)論成立的充分條件，直到找到明顯成立的條件為止。小胖平均每分鐘走 72米，小丁本平均每分鐘走 75米，幾分鐘后兩人還相距 324米？ 分析：求的是兩人行走的時(shí)間，需要知道兩人行走的路程和速度和。 1176247。它以分析的終點(diǎn)為起點(diǎn)，與分析的過(guò)程相反。 案例：上海到寧波高速公路全長(zhǎng) 296千米，一輛轎車和一輛客車分別從上海和寧波兩地同時(shí)出發(fā)相向而行。已知客車平均每小時(shí)行 92千米，轎車平均每小時(shí)行多少千米？ 解答：轎車行駛了多少小時(shí)？ － =(時(shí) ) 客車行了多少千米？ 92＝ 161(千米） 轎車行了多少千米？ 296－ 161＝ 135(千米 ) 轎車的速度？ 13