【正文】 之間估讀的，是存有誤差的，不確定的，或者說是可疑的，盡管可疑，讀出這一位比不讀出這一位要準(zhǔn)確些，所以這一位仍是有效的。如果我們?cè)僭诘谒奈缓蠊雷x一位或幾位數(shù)字，就沒有什么實(shí)際意義了，因?yàn)榈谒奈灰咽强梢蓴?shù)字，其后面的數(shù)字將更可疑，甚至是無效的。2）有效數(shù)字的意義有效數(shù)字當(dāng)然能表示測量結(jié)果的大小，這一點(diǎn)與普通數(shù)字是一樣的?？梢?，有效數(shù)字的意義在于，它除了具有普通數(shù)字所具有的表示測量值大小的功能外，還具有另一項(xiàng)重要的功能——反映測量結(jié)果的不確定度的情況，而這兩點(diǎn)，對(duì)一測量數(shù)據(jù)而言是缺一不可的。（1）有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系。顯然，欠準(zhǔn)位在哪一位上，直接反映了測量值的不確定度的大小，兩單位相同的數(shù)字欠準(zhǔn)位愈靠前不確定度愈大；反之，不確定度愈小。例如l2．8 cm與12．84 mm相比，前者的不確定度比后者大。我們知道，對(duì)一個(gè)測量值的準(zhǔn)確性進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，除了要看其不確定度外，更要看其相對(duì)不確定度的情況。所以，我們可以這樣來表述有效數(shù)字與相對(duì)不確定度的關(guān)系；有效數(shù)字的位數(shù)反映了相對(duì)不確定度的大小。再如l．28 mm和112．8 mm相比，前者的不確定度小于后者，而相對(duì)不確定度大于后者。進(jìn)行有效數(shù)字運(yùn)算的總的原則有兩條：（1）由不確定度決定有效數(shù)字（其位數(shù)及欠準(zhǔn)位位置）。有些情況下，我們不知道各直接測量量的不確定度的大小，而無法進(jìn)行不確定度的合成計(jì)算，還有些情況，我們希望不作不確定度的計(jì)算，直接進(jìn)行有效數(shù)字的簡化運(yùn)算。（1）加減運(yùn)算。而我們知道，不確定度直接決定了有效數(shù)字的最后一位——欠準(zhǔn)位的位置，由此不難理解有效數(shù)字的加減運(yùn)算的近似運(yùn)算法則為：幾個(gè)數(shù)相加減，最后結(jié)果的欠準(zhǔn)位與各數(shù)中最靠前的那一欠準(zhǔn)位對(duì)齊。例如，將以下各數(shù)約簡到小數(shù)點(diǎn)后第一位則有：① ② ③ ④ ⑤ ．3（2）乘除運(yùn)算。例如：① ．1 ② 247。例如（3）其他運(yùn)算。不難理解，乘方、開方運(yùn)算后的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與其底的有效數(shù)字位數(shù)相同?？梢宰C明：對(duì)數(shù)運(yùn)算后，其小數(shù)部分的位數(shù)可取得與真數(shù)的位數(shù)相同。4）關(guān)于有效數(shù)字的幾點(diǎn)說明（1）在數(shù)字中間或數(shù)字后面的“0”都是有效數(shù)字，不能任意取舍?？傊粋€(gè)有效數(shù)字究竟取幾位，是一件很嚴(yán)肅的事，所以，其后“0”絕不是可有可無，可多可少的。例如，均為三位有效數(shù)字。同樣，若以為單位則可寫成L=1．28l04,但決不可寫L=12800。例如，地球質(zhì)量可表示為kg。其中有效數(shù)字部分是l0的冪指數(shù)的系數(shù)部分。（3）有效數(shù)字是對(duì)存在測量誤差的測量值而言的，對(duì)參與運(yùn)算的常數(shù)如、等，其有效數(shù)字位數(shù)均可認(rèn)為是無窮的，需要取幾位就可取幾位，一般情況下，像、這樣的無理數(shù)在運(yùn)算中可適當(dāng)多取一位。例如： 測量結(jié)果的完整表述1）測量結(jié)果的文字表述綜上所述，在物理實(shí)驗(yàn)中，要完整地表述一個(gè)已經(jīng)測量好的物理量，應(yīng)同時(shí)指明這個(gè)物理的測量值和不確定度（當(dāng)然，一般情況下還應(yīng)注明其單位）。很多情況下，為了更準(zhǔn)確地反映測量結(jié)果的優(yōu)劣，還應(yīng)同時(shí)注明測量值的相對(duì)不確定度。最后需要指出的是：我們將測量結(jié)果寫成式（22）的真實(shí)含義是：待測量的真值在一定的概率水平上落在的范圍內(nèi)，或者說，區(qū)間以一定的概率包圍真值。可以理解，置信概率與置信區(qū)間之間存在單一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，置信區(qū)間大，相應(yīng)地置信概率就高，置信區(qū)間小，則置信概率低。2）測量結(jié)果的有效數(shù)字表述實(shí)驗(yàn)中的每一個(gè)測量值都要用有效數(shù)字表示，當(dāng)然，最終的測量結(jié)果也應(yīng)該用有效數(shù)字表述。因此，一般只能取一到兩位，多取了是無意義的。其次，根據(jù)有效數(shù)字的基本概念，測量值的有效數(shù)字應(yīng)該由若干位準(zhǔn)確數(shù)與最后一位欠準(zhǔn)數(shù)所組成，而誤差就發(fā)生在最后的欠準(zhǔn)位上。例如，是正確的表達(dá)式，而和V=78．32 V177。如果在實(shí)驗(yàn)中要同時(shí)表示出相對(duì)不確定度，則一般情況下，我們規(guī)定相對(duì)不確定度也只取一位有效數(shù)字，只有在它的首位是l或2時(shí)才可考慮多取一位。 已知且，求的結(jié)果表達(dá)式。再計(jì)算不確定度，顯然，這里應(yīng)先計(jì)算相對(duì)不確定度：所以 最后寫出的結(jié)果表達(dá)式為 已知金屬環(huán)的外徑，內(nèi)徑，高，求金屬環(huán)體積的測量結(jié)果表達(dá)式。解 將6次測量的標(biāo)準(zhǔn)差作為不確定度類分量，即將儀器標(biāo)準(zhǔn)誤差作為不確定度B類分量，即所以 所以 根據(jù)圓柱體的密度公式 其密度的測量值為 而 所以 故測量結(jié)果應(yīng)表示為 數(shù)據(jù)處理的基本方法我們做物理實(shí)驗(yàn)，一般都要進(jìn)行定量的測量，得到一定的測量數(shù)據(jù)，但我們知道，一個(gè)完整的實(shí)驗(yàn)過程并不就此為止，我們還應(yīng)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄、整理、計(jì)算、作圖與分析，即進(jìn)行數(shù)據(jù)處理工作，從而尋求測量對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，正確地給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，下面介紹幾種常用的數(shù)據(jù)處理方法。數(shù)據(jù)在列表處理時(shí)，應(yīng)遵循以下原則：（1）各欄目均應(yīng)標(biāo)明名稱和單位，單位寫在標(biāo)題欄中，不要重復(fù)記在每個(gè)數(shù)字上。 （3）欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計(jì)算的程序，力求簡明、齊全、有條理。能在實(shí)驗(yàn)測量后做出一張規(guī)范的數(shù)據(jù)處理表格，雖不是一件很困難的事情，但也不是一蹴而就的，需要實(shí)驗(yàn)者在實(shí)驗(yàn)過程中進(jìn)行認(rèn)真的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練。按作圖目的不同，作圖法可分為圖示法和圖解法兩類。物理實(shí)驗(yàn)中常用到兩種圖線，一種是表示在一定條件下兩量之間依賴關(guān)系的圖線，這種關(guān)系大都有一定的規(guī)律。畫這類圖線的方法是：依據(jù)觀測的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，注意其變化的趨勢，畫出光滑的曲線。另一種圖線表示的是兩個(gè)無依賴關(guān)系的量之間的變化關(guān)系，例如，氣溫隨時(shí)間變化的圖線，電表的校正曲線等。圖1—6為盡可能準(zhǔn)確反映各物理量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)按以下原則作圖：（1）作圖需用坐標(biāo)紙。（2）坐標(biāo)軸的選擇和坐標(biāo)軸單位的標(biāo)定。數(shù)據(jù)中有誤差的一位，在圖中應(yīng)是估計(jì)的，即應(yīng)使坐標(biāo)紙中的一小格對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位。圖1－7（3）標(biāo)點(diǎn)與連線。2）圖解法圖解法就是利用已作好的圖線，定量地求解一些問題。例如，測量某電阻的阻值隨溫度的變化情況，已知阻值與溫度成線性關(guān)系 。由于通過求直線的斜率和截距進(jìn)而求得一些物理參數(shù)是很方便的，所以，在實(shí)際問題中當(dāng)被測量間的關(guān)系為非線性關(guān)系時(shí)，我們總是想辦法將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系。再如，在測加速度實(shí)驗(yàn)中可將改寫成，作出直線，由此可求出和，這樣的方法在圖解法中稱為“曲線改直”法。同一組數(shù)據(jù)，不同的人作圖，甚至同一個(gè)人對(duì)同一組數(shù)據(jù)在不同時(shí)刻所擬合的圖線都會(huì)有所不同。那么，有沒有一種方法，對(duì)同一組數(shù)據(jù)擬合得到的是相同的完全客觀的結(jié)果呢，答案是肯定的，這就是最小二乘法。圖1－8設(shè)某一實(shí)驗(yàn)中，可控制的物理量（例如，在測量電阻隨溫度變化實(shí)驗(yàn)中的溫度）取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的物理量（例如，上例中的電阻）依次取，我們假定對(duì)各值的測量誤差很小，即測量誤差主要集中在的觀測上。直線擬合的任務(wù)就是用數(shù)學(xué)分析的方法從這組觀測到的數(shù)據(jù)中求出一誤差最小的經(jīng)驗(yàn)公式，這條直線并不會(huì)通過每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但它將以最接近這些點(diǎn)的方式平滑地穿過它們，這才是我們所要擬合的最佳直線（見圖l－8所示）。令對(duì)和的偏導(dǎo)數(shù)為零，即可求出之值。例1．6 已知凹面鏡成像公式為，其中為物距，影為像距，為凹面鏡曲率半徑，測得以下表中5組數(shù)據(jù)。 解 為用最小二乘法進(jìn)行計(jì)算，可將成像公式改寫為令，則（曲線改直）。為計(jì)算方便，可進(jìn)一步列出如下表格：所以 故 從測量數(shù)據(jù)中尋求經(jīng)驗(yàn)方程或提取參數(shù)，稱為回歸問題。這是一種最簡單最基本 的回歸問題。這樣，對(duì)同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不同的人員可能取不 同的函數(shù)形式，得出不同的結(jié)果。對(duì)于一元線性回歸，定義為可以證明，的值總在0和1之間。除了線性函數(shù)外，物理學(xué)中常用的回歸函數(shù)還有冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，相 應(yīng)的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算比較繁瑣，可以通過計(jì)算機(jī)編程求出。（2）檢流計(jì)零點(diǎn)漂移。（4）讀數(shù)瞄準(zhǔn)誤差。（6）溫度變化引起米尺熱脹冷縮。問每個(gè)讀數(shù)中哪位是欠準(zhǔn)的，哪些數(shù)字是準(zhǔn)確的，所用儀器的最小刻度是怎樣的，各讀數(shù)中分別有幾位有效數(shù)字。30′2′（6），已知18176。試用圖解法處理數(shù)據(jù)，從而求出彈簧的勁度系數(shù)及彈簧的原有長度。25