傅里葉級數(shù)周期函數(shù)的展開式-閱讀頁
2024-08-11 04:10本頁面
【正文】 nxx ????nn c o s2?? 1)1(2 ??? nn解 : 先求正弦級數(shù) . 去掉端點 , 將 f (x) 作奇周期延拓 , 例 分別展成正弦級 數(shù)與余弦級數(shù) . 根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級數(shù) : ?x)3s i n312s i n21(sin2 ????? xxx???12nnxnns i n)1(1?????yxo級數(shù)的部分和 逼近 f (x) 的情況見右圖 . n＝ 1 ＝ 2＝ 3＝ 4＝ 5 ? ?? oyx再求余弦級數(shù) . 將 作偶周期延拓 , )0( ??? x由例 2結果可得， 三、以 2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開 周期為 2l 函數(shù) f (x) 伸縮 )( xlf ?將 作傅氏展開并換元 f (x) 的傅氏展開式 周期為 2? 函數(shù) )( xlf?定理：設周期為 2l 的周期函數(shù) f (x) 滿足收斂定理條件 ,則它的傅里葉展開式為 (在 f (x) 的連續(xù)點處 ) 為其中系數(shù) nn ba ,),2,1,0(,c o s)(1 ???? ?? ndxl xnxfla l ln),2,1(,s i n)(1 ???? ?? ndxl xnxflb l ln證明 ,txl ??令)()2()]2([ xlflxlfxlf ???? ?????.2 )( 為周期以函數(shù) ?? xlf?),s i nc o s(2)(10 nxbnxaaxlfnnn ???? ?????? ?? ? ? ?? n x d xxlfa n c o s)(1其中?? ?? l l dtl tntfl c o s)(1 ??? ?? l ln dxl xnxflb c o s)(1 ?同理可證k2? xy20 44?例 7 設 )( xf 是周期為 4 的周期函數(shù) , 它在 )2,2[ ? 上的表達式為?????????20020)(xkxxf , 將其展成傅氏級數(shù) . 解 .)(,2 滿足狄氏充分條件xfl ??? ?? ? 200 20 21021 kdxdxa ,k?? ??20 2c os21 xdxnk ,0??na ),2,1( ??n? ??? 20 2s in21 x dxnkb n )c o s1( ???? nnk,6,4,20,5,3,12???????????nnnk當當)25s i n5123s i n312( s i n22)( ??????????? xxxkkxf),4,
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