【正文】 移系為： （ ） 注意這里的上標(biāo)只是索引而不是指數(shù)。因此以上的三個正交基中都至少包含一個帶通的 或 ，所以它們都是帶通的。 具體來說，函數(shù)系 ， 是 的正交歸一基，其中均為整數(shù)， 1,2,3 分別對應(yīng)于水平、垂直和對角三個方向。圖 形象地表示了二維圖像的多分辨率小波分解?？梢钥吹剑诿恳环纸鈱由?，圖像均被分解為 LL, LH, HL 和 HH 的四個頻帶；下一層的分解僅對低頻分量 LL 進(jìn)行分解。圖像小波分解的重構(gòu)算法如圖 所示。二維圖像的這種行、列可分離性簡化了圖像的小波變換。 CQF 濾波器具有很強(qiáng)的正交性，所以也叫正交濾波器。 我們知道，在子帶濾波器中，若分解和重構(gòu)濾波器使用相同的 FIR 濾波器，那么對稱和精確重建是不可能同時滿足的（ Haar 小波除外）。然而 Haar 小波過于簡單，多數(shù)應(yīng)用場合其性能不佳。 盡管用正交濾波器實現(xiàn)的正交小波變換得到了廣泛的引用，并在圖像處理（如圖像降噪、圖像邊緣檢測、圖像紋理分析、圖像壓縮編碼等）中取得了良好的效果；同時正交濾波器組也有許多優(yōu)點，例如分解的正交性、實現(xiàn)簡單――分解和重構(gòu)濾波器相同等；但是由于用于正交小波變換的正 交濾波器不具有線性相位特性，其產(chǎn)生的相位失真將會引起圖像中邊緣的失真。為了彌補(bǔ)這一缺點，于是就出現(xiàn)了雙正交小波的理論。和彼此對偶且相互正交（雙正交）。與之對應(yīng)，雙正交小波分解和重構(gòu)的濾波器可以有四個：分解低通濾波器、分解高通濾波器、重構(gòu)低通濾波器和重構(gòu)高通濾波器。雙正交小波對正交作出了“讓步”，以求得對稱性和緊支性，并且使用 FIR濾波器可以進(jìn)行精確重構(gòu)。關(guān)于雙正交小波濾波器的構(gòu)造設(shè)計方法、完全重構(gòu)條件等問題，文獻(xiàn) [1719]等均作了詳細(xì)闡述。自產(chǎn)生以來，就一直與傅里葉分析密切相關(guān)。兩者相比較主要有以下 不同： （ 1）傅里葉變換的實質(zhì)是把能量有限信號分解到以為正交基的空間上去；而小波變換的實質(zhì)是把能量有限的信號分解到由小波函數(shù)所構(gòu)成的空間上去。 （ 2）傅里葉變換用到的基本函數(shù)只有 ， 或，具有唯一性；小波分析用到的小波函數(shù)則不是唯一的，同一個工程問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析時有時結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。一個重要的經(jīng)驗就是根據(jù)待分析信號和小波函數(shù)的相似性選取，而且此時要考慮小波的消失矩、正則性、支撐長度等參數(shù)。因此，小波變換在對瞬態(tài)信號分析中擁有更大的優(yōu)勢。 （ 5）在短時傅里葉變換中，變換系數(shù)主要依賴于信 號在時間窗內(nèi)的情況，一旦時間窗函數(shù)確定，則分辨率也就確定了。因此，小波變換也可以看成是信號局部奇異性分析的有效工具。我們希望在對低頻信號分析時，頻域用高分辨率，在對高頻信號分析時，頻域用低分辨率，該等 Q 結(jié)構(gòu)恰好符合該要求。 本章小結(jié) 本章主要介紹了小波變換、圖像小波變換及其與傅立葉變換的關(guān)系等的基本原理，著重介紹了圖像和信號的多分辨率分析，因為它是對信號和圖像進(jìn)行分析的關(guān)鍵，也是本文后續(xù)章節(jié) 研究的理論基礎(chǔ)。去噪既可以在空域進(jìn)行也可以在頻域（變換域）進(jìn)行，前者即是在原圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運算，對像素的灰度值進(jìn)行處理。傳統(tǒng)的圖像去噪是在空域?qū)崿F(xiàn)的。線性方法提出較早，具有較完備的理論基礎(chǔ) ，均值濾波是其典型代表（均值濾波適合于噪聲為零均值的高斯噪聲）。 空域濾波 （ 1）均值濾波 對一些圖像進(jìn)行線性濾波可以去除圖像中某些類型的噪聲，如采用鄰域平均法的局部均值濾波器就非常適合用于去除掃描圖像中的顆粒噪聲。 均值濾波的思想是：對于給定一幅的圖像，圖像中的每個像素點，去噪后的圖像，去噪后圖像中 的每個像素的灰度級由包含鄰域的幾個像素的灰度級的平均值所決定。即用下式得到處理后的圖像： （ ） 式中 是以點為中心的鄰域的集合，是內(nèi)坐標(biāo)的總數(shù)。半徑越大，則圖像的模糊程度也越大。 另外，從實現(xiàn)難易程度上看，線 性平滑濾波器比較容易實現(xiàn)，在信號頻譜和噪聲頻譜具有顯著不同特征時，表現(xiàn)出較好的性能。因此在許多應(yīng)用場合，選用中值濾波來克服這些問題。中值濾波首先是被應(yīng)用在一維信號處理技術(shù)中，后來被二維圖像信號處理技術(shù)所引用。但是對一些細(xì)節(jié)多，特別是 點、線、尖頂細(xì)節(jié)多的圖像不宜采用中值濾波的方法。 對于給定的個數(shù)值，將它們按大小順序排列。當(dāng)為偶數(shù)時，則將位于中間位置的兩個數(shù)值的平均值稱為這個數(shù)值的中值，記作。對于二維信號進(jìn)行中值濾波時，濾波窗口也是二維的，但這種二維窗口可以有各種不同的形狀，例如線狀、方形、圓形、十字形、圓環(huán)形等。與平均濾波器相比，中值濾波器從總體上來說，它能夠較好地保留原圖像中的躍變部分。在有些情況下，中值濾波在降低了噪聲的同時也抑制了信號。但是對于大面積的噪聲污染，例如高斯分布的白噪聲，在均方誤差準(zhǔn)則下，中值濾波的能力卻不及均值濾波。 （ 3）均值濾波與中值濾波結(jié)合 均值濾波與中值濾波結(jié)合會產(chǎn)生混合濾波器。級聯(lián)的方法有兩種：一種是中值濾波級聯(lián)線性濾波，簡稱 ML 型，如式 所示： （ ） 另一種是線性濾波級聯(lián)中值濾波，簡稱 LM 型，如式 33 所示： （ ） 如果圖像是由許多灰度值相近的小塊組成，采用 ML 型濾波效果較好。 混合型濾波器與均值濾波器和中值濾波器相比較，無論是 ML 型還是 LM 型濾波器的濾波效果都比使用單純的中值濾波器和均值濾波器的濾波效果要明顯。 頻域低通濾波法 [23] 對于一幅圖像來說在分析其頻率特性時，它的邊緣，突變部分以及顆粒噪聲往往代表圖像信號的高頻分量，而大面積的圖像背景區(qū)則代表圖像信號的低頻分量。由卷積定理知識可知空間域的卷積就等于變換域里信號和濾波器的頻域形式相乘，即有： （ ） 其中，是含噪聲圖像的傅里葉變換是平滑后圖像的傅里葉變換，是低通濾波器傳遞函數(shù)。下面簡單介紹一下頻域中常見的低通濾波器。代表從點到頻率平面的原點的距離，有： （ ） 理想低通濾波器在處理過程中會產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn)象。越小，同心環(huán)半徑越大，模糊程度愈厲害。 （ 2）巴特沃思低通濾波器（ BLPF） 巴特沃思低通濾波器又稱作最大平坦濾波器。一個階為，截止頻率為的巴特沃思低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為： （ ） 與理想低通濾波器相比，巴特沃思低通濾波器保留有較多的高頻分量，所以對噪聲的平滑效果不如理想低通濾波器。 綜上所述，圖像的經(jīng)典去噪方法主要有兩大類，一類是基于空間域的處理方法，一類是基于頻域的處理方法。這兩類消噪方法造成了顧此失彼的局面，雖然抑制了噪聲，卻損失了圖像邊緣細(xì)節(jié)信息，造成圖像模糊。小波分析由于在時域頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)和多分辨率分析的特點，能有效地把信號和噪聲區(qū)別開來，與傳統(tǒng)的去噪方法相比較，有著無可比擬的優(yōu)點，成為信號分析的一個強(qiáng)有力的工具。如果一個信號的能量在小波變換域集中于少數(shù)系數(shù)上，那么，這些系數(shù)的取值大于在小波變換域內(nèi)能量分散在大量系數(shù)上的信號或噪聲的小波系數(shù)值。這一特性為基于小波變換的圖像去噪 提供了依據(jù)。從信號學(xué)的角度看，小波去噪是一個信號濾波的問題，由于在去噪后，還能夠成功地保留圖像特征，所以小波去噪實際上也是特征提取和低通濾波功能的綜合。 圖 小波去噪過程 由圖 可知，尋求基于小波變換的去除噪聲最佳方法的過程，實際上也就是尋求最佳的小波系數(shù)處理方法的過程。 （ 1）模極大值檢測法 [25] 信號的奇異性是指信號某處有間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。奇異點也就是信號的突變點通常包含信號的重要特性。 1992 年， 將 Lipschitz 指數(shù)與小波變換后系數(shù)模的局部極大值聯(lián)系起來，通過小波變換后局部極大值在不同尺度上的衰減速度來衡量信號的局部奇異性，具體來說，就是利用有用信號與噪聲小波變換的模極大值在多尺度分 析中呈現(xiàn)不同的奇異性來剔除由噪聲產(chǎn)生的模極大值點，保留信號產(chǎn)生的模極大值點。其算法的基本過程為： ① 對原始信號進(jìn)行小波分解，并計算每一尺度上小波變換系數(shù)的模極大值； ② 從最大尺度開始進(jìn)行閾值處理。 利用模極大值檢測法去噪時 去噪效果對噪聲的依賴性較小并且性能穩(wěn)定，無需知道較多的噪聲的先驗數(shù)值，特別是對低信噪比的信號有較明顯的去噪效果。同時使用該方法時還應(yīng)注意尺度、閾值的選取以及小波系數(shù)估計計算方法。信號經(jīng)小波變換之后，其小波系數(shù)在各尺度上有較強(qiáng)的相關(guān)性，尤其是在信號的邊緣附近 [26， 27]，其相關(guān)性更加明顯，而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)在尺度間卻沒有這種明顯的相關(guān)性。由于噪聲的小波變換主要集中在小尺度各層次中，因此經(jīng)上述處理后，噪聲基本被剔除而邊沿信息則得以較好的保留。此時把該點處的小波系數(shù)值賦給該點的歸一化后的系數(shù)，同時將該點的小波系數(shù)置為。然后在每一尺度上重新計算歸一化后的系數(shù)值； ④ 重復(fù)②、③，直到小波系數(shù)的方差小于某一特定的閾值。如果小波分解出現(xiàn)誤差，可能導(dǎo)致相關(guān)系數(shù)不能真實地反映該點處的相關(guān)性情況，從而也就不能對該點正確賦值。因此，如何高效正確地計算相關(guān)系數(shù)及如何選擇地選擇閾值大小仍是一個需要探討的 問題。因為信號對應(yīng)的小波系數(shù)包含有重要的信息，其數(shù)據(jù)較少，幅值變化較大，而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)的分布則恰好相反，通過設(shè)定特定的閾值對小波系數(shù)進(jìn)行取舍，就可以得到小波系數(shù)估計值，最后通過估計小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，就得到去噪后的圖像[30]。 閾值去噪法實現(xiàn)簡單，計算量小，在實際中有著廣泛的應(yīng)用。閾值處理的方法有兩種：一種是硬閾值法，定義為 （ ） 硬閾值法得到的小波系數(shù)的連續(xù)性較差，重構(gòu)信號可能出現(xiàn)突變或振蕩現(xiàn)象；如圖 （ a）所示。如圖 （ b）所示。因此合理選擇閾值可以在去噪的同時保留圖像細(xì)節(jié)和邊緣信息。其中全局閾值是對各層所有的小波系數(shù)或同一層內(nèi)不同方向的小波系數(shù)都選用同一個閾值；而局部閾值是根據(jù)不同層不同方向分別選取閾值 [31]。這是斯坦福大學(xué)的 Donoho 和 Johnstone 教授提出的，在正態(tài)高 斯噪聲模型下，針對多維獨立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨向無窮時的研究得出的結(jié)論，即大于該閾值的系數(shù)含有噪聲信號的概率趨于零。 ②基于零均值正態(tài)分布的置信區(qū)間閾值； ③最小最大化閾值；采用的也是一種固定的閾值，它產(chǎn)生一個最小均方誤差的極值。 ④ TOP 閾值。此種方法需要作者多次選擇不同的來進(jìn)行多次實驗恢復(fù)圖像，從而從中選出較好的閾值。 ⑥ BayesShrink 閾值。但通常閾值是根據(jù)實際應(yīng)用的需要，通過確定合適的準(zhǔn)則，以及對可能的閾值進(jìn)行尋優(yōu)來選擇的。 基于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法 算法介紹 設(shè)是大小為原始無噪聲圖像，是一個在空間平穩(wěn)、獨立同分布、方差為的零均值高斯白噪聲，是一個 被噪聲“污染”的噪的圖像信號。在變換域，圖像的空間相關(guān)性降低，能量更加集中，而噪聲的能量分布情況則不變。 實驗結(jié)果與分析 為說明該方法的有效性，這兒對含有高斯白噪聲的 woman 圖像進(jìn)行消噪處理，其中噪聲方差為 10。圖像分解層數(shù)為三層，對重構(gòu)圖像進(jìn)行濾波時選擇的濾波窗口，對小波系數(shù)進(jìn)行閾 值處理時采用逐點 Bayes 軟閾值門限處理。 圖 不同算法的圖像去噪比較 由圖可以看出本算法能夠較好地去除噪聲，且去噪后圖像清晰、明了，有較好的視覺效果。 表 不同噪聲大小、不同方法去噪后的 PSNR 結(jié)果 噪聲方差 噪聲 模極大值 系數(shù)相關(guān)法 小波閾值 本算法 10 15 20 25 30 基于小波變換的圖像去噪有關(guān)問題的分析 在基于小波變換的圖像去噪過程中，不同的圖像分解層數(shù)對圖像去噪效果會產(chǎn)生怎樣的影響？不同的小波基對圖像去噪效果又會產(chǎn)生怎樣的影響呢 ？我們借助圖像去噪效果的主觀和客觀評價準(zhǔn)則來評價圖像去噪仿真實驗結(jié)果，并對上述問題進(jìn)行深入的比較研究和分析。在實際的圖像去噪過程中不同信號、不同信噪比、不同去噪方法下都存在一個去噪效果最好或接近最好的分解層數(shù)。因此在去噪方法一定的情況下，如何確定圖像的小波變換的分解層數(shù)的問題是圖像去噪的一個需要解決的核心問題。本文仍選擇了 小波，圖像中仍含有高斯白噪聲，分別作了 2,， 3， 4， 5 層分解進(jìn)行了小波變換去噪實驗，綜合考慮去噪效果，當(dāng)分 解層數(shù)為 3 時效果較好。這兒客觀評價采用兩個標(biāo)準(zhǔn)：最小均方誤差 MSE和信噪比 SNR 兩個性能指標(biāo) :，即： （ ） （ ） Woman 圖像 含噪圖像 1 2 3 4 信噪比（ db） 最 小 均 方 誤 差 其中表示重建恢復(fù)后圖像像素的灰度值，表示原始圖像各點的灰度值；表示重建恢復(fù)后圖像灰度值的方差。 小波變換去噪算法中小波基對去噪效果的影響 基于小波變換的多分辨圖像去噪技術(shù)中，小波基的選擇 是影響圖像效果的一個重要因