【正文】 思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了相應(yīng)的分解和重構(gòu)快速算法 — Mallat算 法，從而統(tǒng)一了以前所有具體正交小波基的構(gòu)造。從此，小波變換越來越 受到 人們的重視，其應(yīng)用領(lǐng)域來越來越廣泛，如：信號(hào)處理、圖像處理、模式識(shí)別、語音識(shí)別等，并取得了可喜成果。它說明了基本小波在其頻域內(nèi)具有較好的衰減性。因此，一個(gè)允許的基本小波的幅度頻譜類似于帶通濾波器的傳26 遞函數(shù)。 將母函數(shù) ??t? 經(jīng)過伸縮和平移后得到： ? ? 0。其中 a為伸縮因子， b 為平移因子?；拘〔???t? 被伸縮為 ? ?at? ( 1?a 時(shí)變 寬，而 1?a 時(shí)變窄 )可構(gòu)成一組基函數(shù)。 對(duì)于任意的函數(shù) ?? ? ?RLtf 2? 的連續(xù)小波變換為： ? ? ? ? dta bttfafbaW Rbaf ?????? ??? ? ?? 2, (34) 當(dāng)此小波為正交小波時(shí)，其重構(gòu)公式為： ? ? ? ? dadba btbaWaCtf f ?????? ?? ? ????? ???? ?? ,11 2 (35) 在小波變換過程中必須保持能量成比例，即 ? ? ? ? dxxfCdbbaWada RR fR 222 , ??? ? ? (36) 由于基小波 ??t? 生成的小波 ??tba,? 在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以 ??t? 還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： ? ? ??????? dtt? (37) 27 故 ??w^? 是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這意味著，為了滿足重構(gòu)條件式 (32)， ??w^? 在原點(diǎn)必須等于零，即 ? ? ? ? 00^ ?? ????? dtt?? (38) 此即說明 ??t? 具有波動(dòng)性。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)： （ 1） 線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。 （ 3） 伸縮共變性：若 ??tf 的小波變化為 ? ?baWf , ，則 ? ?ctf 的小波變換為),(1 cbcaWc f ， 0?c （ 4） 自 相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度參數(shù) a和不同平移參數(shù) b的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。也就是說，信號(hào) ??tf 的小波變換與小波重構(gòu) 不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。 小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。另外，它還要滿足平均值為零。 連續(xù)小波變換式 (34)是用內(nèi)積來表示的，而數(shù)學(xué)上的內(nèi)積表示 ??tf 與??tba,? 的相似程度，所以由式 (34)， 當(dāng)尺度 a增加時(shí)，表示以伸展了的 ??tba,? 波形去觀察整個(gè) ??tf ；反之，當(dāng)尺度 a減小時(shí)，則以壓縮的 ??tba,? 波形去衡量 ??tf局部。因此，有人對(duì)小波變換特性作如下形象比喻：人們希望既看到森林，又看清樹木。小波 變換就能達(dá)到這個(gè)目的，它既是望遠(yuǎn)鏡，又是顯微鏡，是一架變焦鏡頭。因此有必要討論連續(xù)小波 ??tba,? ）和連續(xù)小波變換 ? ?baWf , 的離散化。這一點(diǎn)與我們以前的習(xí)慣不同。 a≠0 是容許的。通常，把 連續(xù)小波變換中尺度參數(shù) a和平移參數(shù) b的離散化公式分別取作 jj bbaa 00 , ?? ，這里 Zj? ，擴(kuò)展步長(zhǎng) 10?a 是固定值，為方便起見，總是假定 10?a 。如何選擇 0a 和 0b ，才能保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢 ?顯然，網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)應(yīng)盡可能 密 (即 0a 和 0b 盡可能的小 )，因?yàn)槿绻W(wǎng)絡(luò)點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù) ??tkj,? 和離散小波系數(shù)kjC,就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。令 ? ?21,xxf 表示一個(gè)二維信號(hào)， 21,xx 分別是其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)， ? ?21,xx? 表示二維的基本小波，對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)為 ? ?21,xx? 。令 ? ?1x? 是與 ? ?1x? 對(duì)應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二維的二進(jìn)小波可表示為以下三個(gè)可分離的正交小波基函數(shù)： ? ? ? ? ? ?21211 , xxxx ??? ? （ 313） ? ? ? ? ? ?21212 , xxxx ??? ? （ 314） ? ? ? ? ? ?21213 , xxxx ??? ? （ 315） 這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進(jìn)行。如果把 ? ?1x? 和 ? ?1x? 的對(duì)應(yīng)頻譜 ??w? ， ??w? 設(shè)想成理想的半帶低通濾波器 h 和高通濾波器 g ，則 ? ?211 , xxfA 反映的是 1x , 2x 兩個(gè)方向的低頻分量， ? ?2111 ,xxfD 反映的是水平方向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，? ?2121 ,xxfD 反映的是水平方向的高頻分量和垂直方向的低頻分量， ? ?2131 ,xxfD 反30 映的是兩個(gè)方向的高頻分量。這樣進(jìn)行一次小波變換的結(jié)果便將圖像分解為一個(gè)低頻子帶（水平方向和垂直方向均經(jīng)過低通濾波） LL 和三個(gè)高頻子帶，即用 HL 表示水平高通、垂直低通子帶，用 LH 表示水平低通、垂直高通子帶，用 HH 表示水平高通、垂直高通子帶。第二次小波變換時(shí)只對(duì) LL 子帶進(jìn)行，進(jìn)一步將 LL 子帶分解為 1LL ， 1LH ， 1HL 和 1HH ，分辨率為原來的 1/4,頻率范圍進(jìn)一步減半，以此類推。 3LL 3HL 2HL 3HL 3LH 3HH 2LH 2HH 3LH 1HH 圖 31 圖像的三級(jí)小波分解圖 第四章 小波閾值去噪及 MATLAB 仿真 31 小波閾值去噪概述 閾值去噪法簡(jiǎn)述 1992年，斯坦福大學(xué)的 Donoho D L和 Johnstone教授提出一種具有良好的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化特性的去噪方法，稱作“ Wavelet Shrinkage”（即閾值收縮法）。根據(jù)該特征 ，設(shè)置一個(gè)閾值門限，認(rèn)為大于該閾值的小波系數(shù)的主要成份為有用的信號(hào)，給予收縮后保留；小于該閾值的小波系數(shù)，主要成份為噪聲，予以剔除，這樣就可以達(dá)到去噪的目的。因此，一次閾值去噪并不能完全去除噪聲，還需要對(duì)未作處理的低頻部分（ LL ）再次進(jìn)行小波分解和閾值去噪，直到實(shí)際圖像與估計(jì)圖像的偏差達(dá)到最小值。一般來說，進(jìn)行 34層小波分解和去噪就可以達(dá)到滿意的去噪效果。 Donoho 提出了一種非常簡(jiǎn)潔的方法對(duì)小波系數(shù) kjW, 進(jìn)行估計(jì)。因此，通常的去噪辦法是尋找一個(gè)合適的數(shù) ? 作為閾值（門限），把低于λ的小波函數(shù) kjW, （主要由信號(hào) ??kn 引起），設(shè)為零，而對(duì)于高于 ? 的小波函數(shù) kjW, （主要由信號(hào) ??ks 引起），則予以保留或進(jìn)行收縮，從而得到估計(jì)小波系數(shù) kjW,^ ，它可理解為基本由信號(hào) ??ks 引起的，然后對(duì) kjW,^ 進(jìn)行重構(gòu)，就可以重構(gòu)原始信號(hào)。一般軟閾值估計(jì)定義為 ? ?? ?????? ? ??? ? ??kjkjkjkj W WkWjWs ig nW,^ ,0 , （ 43） 基于 MATLAB 的小波去噪函數(shù)簡(jiǎn)介 常用的圖像降噪方式是小波閾值降噪方法。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計(jì)方法。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真等現(xiàn)象：而軟閾值處理相對(duì)較光滑，但可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為 此人們提出了半軟閾值函數(shù)。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲：相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。 MATLAB中實(shí)現(xiàn)圖像的降噪，主要是閾值獲取和圖像降噪實(shí)現(xiàn)兩個(gè)方面。這里主要介紹函數(shù) ddencmp。該函數(shù)是降噪和 壓縮的導(dǎo)向函數(shù)，它給出一維或二維信號(hào)使用小波或小波包進(jìn)行降噪和壓縮一般過程的所有默認(rèn)值。這里主 要介紹函數(shù) wdencmp。gbl39。wname39。lvd39。wname39。lvd39。wname39。該函數(shù)是二維小波降噪 的導(dǎo)向函數(shù)。 wname 是所用的小波函數(shù)。 lvd表示每層用不同的閾值進(jìn)行處理。 THR 為閾值向量，長(zhǎng)度為 N。參數(shù) KEEPAPP取值為 1是，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進(jìn)行閾值量化。如果 [C， L]是 x 的小波分解結(jié)構(gòu) ，則 PERFL2=100?（ CXC向量的范數(shù) /C向量的范數(shù)） 2 ；如果 X 是一維信號(hào)，小波 wname 是一個(gè)正交小波，則PERFL2= 22 /XC100 X 。該節(jié)首先產(chǎn)生一個(gè)實(shí)驗(yàn)信號(hào)，然后對(duì)小波去噪時(shí)各種參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了詳細(xì)的對(duì)比研究，最后用 MATLAB語言對(duì)小波去噪進(jìn)行仿真。 MATLAB 工具箱提供了函數(shù) wnoise 以實(shí)現(xiàn)為檢驗(yàn)小波去噪性能產(chǎn)生測(cè)試噪聲。 （ 3） [X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR,INIT)使用初始值 INIT產(chǎn)生含噪信號(hào)。 init = 2055615866。 subplot(221), plot(xref), axis([1 2048 10 10])。Original signal39。 subplot(223), plot(x), axis([1 2048 10 10])。Noisy signal Signal to noise ratio = 39。 圖 41所示就是以上語句為產(chǎn)生的測(cè)試信號(hào)圖形 。其語法格式為： [XD,CXD,LXD] = wden(X,TPTR,SORH,SCAL,N,39。) [XD,CXD,LXD] = wden(C,L,TPTR,SORH,SCAL,N,39。) （ 1） [XD,CXD,LXD] = wden(X,TPTR,SORH,SCAL,N,39。)對(duì)輸入信號(hào) X進(jìn)行去36 噪處理，返回經(jīng)過處理的信號(hào) XD，以及 XD 的小波分解結(jié)構(gòu) [CXD,LXD]。wname39。 各參數(shù)的選擇對(duì)比如下： 1．四種閾值選取方式的對(duì)比（ TPTR的設(shè)置） 根據(jù)基本的噪聲 模型，程序中使用四種規(guī)則來選取閾值，每一種規(guī)則的選取有參數(shù) TPTR決定。對(duì)一個(gè)給定的閾值 t，得到他的似然估計(jì)，再將非似然 t最小化，就得到了所選的閾值，它是一種軟件閾值估計(jì)器。 （ 3） TPTR=‘ heursure’事前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預(yù)測(cè)變量閾值選擇 。 （ 4） TPTR=‘ minimaxi’采用的是一種極大極小原理，它產(chǎn)生一個(gè)最小均方誤差值，而不是無誤差。因?yàn)楸幌氲男盘?hào)可以看作與未知回歸函數(shù)的估計(jì)式相似，這種極值估計(jì)器可以在一個(gè)給定的函數(shù)集中實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化。 init = 2055615866。 lev = 5。rigrsure39。s39。sln39。sym839。 subplot(221), plot(xd), axis([1 2048 10 10])。 rigrsure 39。 xd = wden(x,39。,39。,39。,lev,39。)。 title(39。)。sqtwolog39。s39。sln39。sym839。 subplot(223), plot(xd), axis([1 2048 10 10])。 sqtwolog 39。 xd = wden(x,39。,39。,39。,lev,39。)。 title(39。)。sym839。 xd = wden(c,l,39。,39。,39。,lev,39。)。 圖 42 MATLAB中的 4種閾值選取方式對(duì)比 可以看出，固定閾值形式（ sqtwolog）和啟發(fā)式閾值（ heuesure）的去噪更徹底，而由于 rigrsure 和 minimaxi 閾值選取規(guī)則較為保守（閾值較小），導(dǎo)致只有部分系數(shù)置零噪聲去除不徹底。在硬閾值處理中，由于收縮函數(shù)的不連續(xù)性，會(huì)在恢復(fù)的信號(hào)中產(chǎn)生一些人為的“噪聲點(diǎn)”。 在 MATLAB語句中， SORH=‘ s’，則為軟閾值處理 ,向量 X為待處理的信號(hào)。一般來說，用硬閾值處理后的信號(hào)比用軟閾值處理后的信號(hào)更為粗糙。 init = 2055615866。 thr = 。h39。 % 作用軟閾值 xtsoft = wthresh(x,39。,thr)。 title(39。)。 title(39。)。 圖 43 軟門限閾值和硬門限閾值處理比較 實(shí)驗(yàn)表明，軟門限閾值處理方式一般能夠取得更為平滑和理想的去噪效果。具體選擇可以根據(jù)實(shí)際需要決定，在我們的實(shí)驗(yàn)中選擇的是 sym8(光滑的緊支撐雙正交小波