數(shù)值分析第四版習(xí)題與答案-閱讀頁(yè)
2025-07-09 21:25本頁(yè)面
【正文】 ，即其中誤差限為。同理可證，當(dāng)為上的偶函數(shù)時(shí)，最佳逼近多項(xiàng)式也是偶函數(shù)。18. (a)，c為常數(shù)，但當(dāng)時(shí)，,不滿足定義，所以不構(gòu)成內(nèi)積。19. ，其中，則，由此可知用積分中值定理估計(jì)比許瓦茲不等式估計(jì)更精確。在時(shí)，值為，時(shí)，值為1，時(shí)，值為，時(shí)最小。22. 上均為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則最小，由拉格朗日乘子法可解得。24. 由積分區(qū)間的對(duì)稱性及勒讓德多項(xiàng)式的奇偶性可知，將原函數(shù)在此積分區(qū)間上按勒讓德多項(xiàng)式三次展開就可以求得，代入可得，均方誤差為。26. ，解方程得，均方誤差。28. 經(jīng)驗(yàn)公式為，最小二乘法解得，濃度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為。，計(jì)算。是否令29.輸入初始數(shù)組，等分點(diǎn)數(shù)。判斷計(jì)算。令否是判斷判斷否是否是30.31. ， 。2) ，具有3次代數(shù)精度。4) ，具有3次代數(shù)精度。4. ＝，所以。 2) 3) 6. 梯形公式和辛甫森公式的余項(xiàng)分別為其中，所以當(dāng)時(shí)，即兩公式均收斂到積分，且分別為二階和四階收斂。8. 首先算出，然后逐次應(yīng)用3個(gè)加速公式計(jì)算結(jié)果如下表k0123所以，積分。10. 由泰勒展開式有 由于，用外推算法，令，則 ， 。2) ，令三點(diǎn)高斯公式五點(diǎn)高斯公式 ＝。此積分精確值為。， ， 的誤差 的誤差 的誤差 。誤差分別為。2．近似解準(zhǔn)確解近似解準(zhǔn)確解3．近似解準(zhǔn)確解4． ，即，又由，則有。5． 取步長(zhǎng)h=，f()=，f(1)=，f()=，f(2)=。(2) 類似(1)展開可得，同理有， 代入龍格庫(kù)塔公式可得。10． ，代入得，截?cái)嗾`差首項(xiàng)為。12． (1)，其中。(3)，其中。14． ，初值條件等于準(zhǔn)確解，由數(shù)學(xué)歸納法代入差分公式中可得，即差分法求出的解恒等于準(zhǔn)確解。第六章 方程求根1. 令，則符號(hào)0021－112－22＋3＋4－5－2. 3. 1) ，在附近，迭代公式收斂。 3) ，迭代公式發(fā)散。5. 迭代函數(shù)， ，由已知，有，所以即迭代過程收斂。7. 1) 牛頓法迭代格式 。 3) 拋物線法 ，故 ，則。9. ，即。10. 迭代函數(shù)為，且有， . 其中介于與之間。將上式兩邊取極限，及，得。 2) ，迭代格式收斂，且收斂到。12. 令，迭代公式為。13. ，取，迭代三次得。2． (a)，故對(duì)稱。3． (a)，(b)由及(a)的結(jié)論可得, 。5． 高斯消去法第步等價(jià)于左乘單位下三角矩陣，而順序主子式均不為零保證所得矩陣對(duì)角元不為零，可進(jìn)行第步消元。7． (1)，(2)，又有當(dāng)時(shí)，故是對(duì)稱正定矩陣，(3) ，(4)若，令，由于和也是對(duì)稱正定矩陣，代入得，矛盾，故的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上，(5)，(6)對(duì)所有均有對(duì)稱正定。9． 對(duì)施行初等列變換，進(jìn)行次初等列變換后，令即為所求。11． (a)， 由此可知也是對(duì)稱矩陣，由此可知也是對(duì)稱正定矩陣，(b)，得出唯一正對(duì)角元的下三角陣使得。13． 。15． 按高斯消去法，無法進(jìn)行第二次消去，換行后可以分解，第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，可唯一分解。17． 高斯消去法公式中去掉即可推出該公式。19． (a),(b)。21． ，故，故是上的向量范數(shù)。23． 充分性：若有和線性相關(guān)且， 即，代入得；唯一性：若有，由于 ，兩邊同時(shí)平方可得出，消去共同項(xiàng)可得，當(dāng)且僅當(dāng)和線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立。25． 。27． 若，則就有，可推出即，同理可以推出，綜合這兩點(diǎn)即可得。29． ，則，故存在。31． (a) ，(b),。33． 。第八章 解線性方程組的迭代法習(xí)題參考答案1. (a) Jacobi迭代矩陣特征方程為 特征根均小于1，Jacobi迭代法收斂。(b) Jacobi迭代格式為其中B如上，迭代18次得，GaussSeidel迭代格式為其中G如上，迭代8次得。3. 證： 設(shè)，一方面，另一方面，因此，即序列收斂于零。5. (a) 譜半徑，Jacobi迭代法不收斂； 矩陣A對(duì)稱正定，故GaussSeidel迭代法收斂。充分性 因?qū)θ魏蜗蛄浚加?，令，則即當(dāng)時(shí)，的任一列向量的極限為A的對(duì)應(yīng)的列向量，因而有。8. (a) Jacobi迭代矩陣的譜半徑；(b) GaussSeidel迭代矩陣的譜半徑；(c) 兩種方法的譜半徑均小于1，所以兩種方法均收斂。9. 取，迭代公式為使當(dāng)時(shí)迭代終止，取時(shí)，迭代5次達(dá)到；取時(shí)，迭代6次達(dá)到；取時(shí)，迭代6次達(dá)到。11. 證：所給迭代公式的迭代矩陣為，其n個(gè)特征值分別為，當(dāng)時(shí)，有，因而，迭代法收斂。 (b) 由及，可得；其中。 (b) 由已知可推得，所以迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。14. 證：由于，當(dāng)時(shí)，所以A正定。15. 取排列陣，則A為可約矩陣。17. 用SOR方法解方程組，其中A對(duì)稱正定，數(shù)組x用來存放解向量，用控制迭代終止，k表示迭代次數(shù)。|P0|ε輸出x, k。A不可約則G也不可約，又A為弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，則當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，G為不可約弱對(duì)角占優(yōu)，于是有，故，SOR方法收斂。 (b) 因?yàn)闉閷?duì)稱陣，所以左右左。第九章 矩陣的特征值與特征向量計(jì)算習(xí)題參考答案1．(a)取初始值(1,1,1)得13578(b)取初始值(1,1,1)得15913142．，使得，即，一定存在使得，則，反之，故。4．設(shè)特征向量為，則有，解得對(duì)應(yīng)的特征向量為。6．(a) ，正交，則第一列，又是對(duì)稱矩陣，的第一行和第一列除外均為零。7．由豪斯荷爾德方法得。10．(a)令，帶位移QR方法計(jì)算可得 ，(b) 令，帶位移QR方法計(jì)算可得。1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫
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