【正文】 問(wèn)題證明其近似解為并證明當(dāng)時(shí)，它原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解。(2) 三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式。(3)。(2)。的函數(shù)表,步長(zhǎng)h =1′=(1/60)176。. .. . ..第四版數(shù)值分析習(xí)題第一章 緒 論1. 設(shè)x0,x的相對(duì)誤差為δ,求的誤差.2. 設(shè)x的相對(duì)誤差為2％,求的相對(duì)誤差.3. 下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似數(shù),即誤差限不超過(guò)最后一位的半個(gè)單位,試指出它們是幾位有效數(shù)字:4. 利用公式()求下列各近似值的誤差限:其中均為第3題所給的數(shù).5. 計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1％,問(wèn)度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少?6. 設(shè)按遞推公式 ( n=1,2,…)≈(五位有效數(shù)字),試問(wèn)計(jì)算將有多大誤差?7. 求方程的兩個(gè)根,使它至少具有四位有效數(shù)字(≈).8. 當(dāng)N充分大時(shí),怎樣求?9. 正方形的邊長(zhǎng)大約為100㎝,應(yīng)怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過(guò)1㎝?10. 設(shè)假定g是準(zhǔn)確的,而對(duì)t的測(cè)量有177。,若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線性插值求cos x 近似值時(shí)的總誤差界.5. 設(shè),k=0,1,2,3,求.6. 設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)(j=0,1,…,n),求證:i)ii)7. 設(shè)且,求證8. 在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表,若用二次插值求的近似值,要使截?cái)嗾`差不超過(guò),問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)取多少?9. 若,求及.10. 如果是次多項(xiàng)式,記,證明的階差分是次多項(xiàng)式,并且為正整數(shù)).11. 證明.12. 證明13. 證明14. 若有個(gè)不同實(shí)根,證明15. 證明階均差有下列性質(zhì):i) 若,則。(3)。 (4).3. 直接驗(yàn)證柯特斯公式()具有5次代數(shù)精度.4. 用辛普森公式求積分并計(jì)算誤差.5. 推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:(1)。(3) 將積分區(qū)間分為四等分,用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式.12. ,:第五章 常微分方程數(shù)值解法1. 就初值問(wèn)題分別導(dǎo)出尤拉方法和改進(jìn)的尤拉方法的近似解的表達(dá)式，并與準(zhǔn)確解相比較。5. 利用尤拉方法計(jì)算積分在點(diǎn)的近似值。2. 用比例求根法求在區(qū)間[0,1]內(nèi)的一個(gè)根，直到近似根滿足精度時(shí)終止計(jì)算。4. 比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量；1）在區(qū)間[0,1]內(nèi)用二分法；2) 用迭代法，取初值。根的準(zhǔn)確值＝…，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。10. 對(duì)于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。假定初值充分靠近根，求第七章 解線性方程組的直接方法1. 考慮方程組：(a) 用高斯消去法解此方程組（用四位小數(shù)計(jì)算），(b) 用列主元消去法解上述方程組并且與(a)比較結(jié)果。6. 設(shè)A 為n階矩陣，如果稱A為對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣。10. 設(shè)，其中U為三角矩陣。11. 證明（a）如果A是對(duì)稱正定陣，則也是正定陣；（b）如果A是對(duì)稱正定陣，則A可唯一寫成,其中L是具有正對(duì)角元的下三角陣。試證明是上的一種向量范數(shù)。24. 分別描述中（畫圖）。29. 設(shè)A為非奇異矩陣，且，求證存在且有估計(jì)30. 矩陣第一行乘以一數(shù)，成為。34. 設(shè)且為上矩陣的算子范數(shù)，證明。8. 設(shè)方程組(a) 求解此方程組的雅可比迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(b) 求解此方程組的高斯－塞德爾迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(c) 考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯－塞德爾迭代法的收斂性。12. 用高斯－塞德爾方法解，用記的第i個(gè)分量，且。13. 設(shè)A與B為n階矩陣，A為非奇異，考慮解方程組其中。16. 給定迭代過(guò)程，其中，試證明：如果C的特征值，則迭代過(guò)程最多迭代n次收斂于方程組的解。(a) 求證為對(duì)稱正定陣；(b) 求證。5. 用雅可比方法計(jì)算的全部特征值及特征向量，用此計(jì)算結(jié)果給出例3的關(guān)于p的最優(yōu)值。8. 設(shè)，且不全為零，為使的平面旋轉(zhuǎn)陣，試推導(dǎo)計(jì)算第行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的計(jì)算公式。數(shù)值分析習(xí)題答案第一章 緒論習(xí)題參考答案1． ε（lnx）≈。5． 。10． ，故t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加，相對(duì)誤差減小。14． 方程組的真解為，而無(wú)論用方程一還是方程二代入消元均解得，結(jié)果十分可靠。因而有形式：作輔助函數(shù)則 由羅爾定理，存在使得類似再用三次羅爾定理，存在使得 又 可得 即 18. 采用牛頓插值，作均差表：一階均差二階均差012011101/2又由 得 所以 19. 記 則因?yàn)椋栽谏弦恢逻B續(xù)。}void main(){ int i。 for(i=1。 } for(i=0。 printf(I[%d]=%f\n,i+1,I(xc,x[i],x[i+1]))。 f(xx)。第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算習(xí)題參考答案1. (a) 區(qū)間變換公式為，代入原公式可得新區(qū)間里的伯恩斯坦多項(xiàng)式為。4. 設(shè)所求為，由47頁(yè)定理4可知在上至少有兩個(gè)正負(fù)交錯(cuò)的偏差點(diǎn)，恰好分別為的最大值和最小值處，故由可以解得即為所求。8. 切比雪夫多項(xiàng)式在上對(duì)零偏差最小，所求函數(shù)必為切比雪夫多項(xiàng)式的常數(shù)倍，解得唯一解 。12. 用的4個(gè)零點(diǎn)做插值節(jié)點(diǎn)可求得三次近似最佳逼近多項(xiàng)式為。15. ，取為的近似，誤差限為，再對(duì)冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行節(jié)約就可以得到原函數(shù)的3次逼近多項(xiàng)式，其誤差限為，即為所求16. 當(dāng)為上的奇函數(shù)時(shí)，設(shè)為原函數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式，則，對(duì)有，所以也是最佳逼近多項(xiàng)式，由最佳逼近多項(xiàng)式的唯一性，即是奇函數(shù)。（b），且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足定義，所以構(gòu)成內(nèi)積。21. 要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，前者誤差小。25. ，其中。輸入初始節(jié)點(diǎn)，權(quán)函數(shù)及正交多項(xiàng)式次數(shù)n。，計(jì)算。第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題參考答案1. 1) 公式可對(duì)均準(zhǔn)確成立，即解得 ，具有3次代數(shù)精度。2. 1) ＝ ＝ ＝ 2) 3) 4) 3. 柯特斯公式為.其中.驗(yàn)證對(duì)于，均成立，但時(shí)不成立。7. 設(shè)將積分區(qū)間分成n等分則應(yīng)有其中，解得。11. 1) 計(jì)算結(jié)果如下表k0123即積分I＝。12. 三點(diǎn)公式：。第五章 常微分方程數(shù)值解法習(xí)題參考答案1． 尤拉法表達(dá)式，誤差，改進(jìn)尤拉法表達(dá)式，無(wú)誤差。6．(1)近似解(2)近似解7． ，則8． (1)令，泰勒展開可得，同理有， 代入龍格庫(kù)塔公式可得。11． ，代入待定系數(shù)的公式中可得系數(shù)之間的關(guān)系式為。13． 用差商逼近導(dǎo)數(shù)的方法把原邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)差分法方程組可得，解此方程組可得。 2) ，在附近，迭代公式收斂。6. 將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)在附近，所以迭代格式為。8. 。將上式兩邊除以，