【正文】 (3) 將積分區(qū)間分為四等分,用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式.12. ,:第五章 常微分方程數(shù)值解法1. 就初值問(wèn)題分別導(dǎo)出尤拉方法和改進(jìn)的尤拉方法的近似解的表達(dá)式，并與準(zhǔn)確解相比較。2. 用改進(jìn)的尤拉方法解初值問(wèn)題取步長(zhǎng)h=，并與準(zhǔn)確解相比較。3. 用改進(jìn)的尤拉方法解取步長(zhǎng)h=，并與準(zhǔn)確解相比較。4. 用梯形方法解初值問(wèn)題證明其近似解為并證明當(dāng)時(shí)，它原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解。5. 利用尤拉方法計(jì)算積分在點(diǎn)的近似值。6. 取h=，用四階經(jīng)典的龍格－庫(kù)塔方法求解下列初值問(wèn)題： 1） 2）7. 證明對(duì)任意參數(shù)t，下列龍格－庫(kù)塔公式是二階的：8. 證明下列兩種龍格－庫(kù)塔方法是三階的：1） 2） 9. 分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問(wèn)題：取計(jì)算并與準(zhǔn)確解相比較。10. 證明解的下列差分公式是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。11. 導(dǎo)出具有下列形式的三階方法：12. 將下列方程化為一階方程組：1）2）3） 13. 取h=，用差分方法解邊值問(wèn)題14. 對(duì)方程可建立差分公式試用這一公式求解初值問(wèn)題驗(yàn)證計(jì)算解恒等于準(zhǔn)確解15. 取h=第六章 方程求根1. 用二分法求方程的正根，要求誤差。2. 用比例求根法求在區(qū)間[0,1]內(nèi)的一個(gè)根，直到近似根滿(mǎn)足精度時(shí)終止計(jì)算。3. 為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫(xiě)成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。1），迭代公式；2），迭代公式；3），迭代公式。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。4. 比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量；1）在區(qū)間[0,1]內(nèi)用二分法；2) 用迭代法，取初值。5. 給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切存在且，證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù)λ，迭代過(guò)程均收斂于的根。6. 已知在區(qū)間[a,b]內(nèi)只有一根，而當(dāng)axb時(shí)，試問(wèn)如何將化為適于迭代的形式？將化為適于迭代的形式，并求x=（弧度）附近的根。7. 用下列方法求在附近的根。根的準(zhǔn)確值＝…，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。1) 用牛頓法；2）用弦截法，?。?）用拋物線(xiàn)法，取。8. 用二分法和牛頓法求的最小正根。9. 研究求的牛頓公式證明對(duì)一切且序列是遞減的。10. 對(duì)于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。11. 試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：1) 2) 12. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。13. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。14. 應(yīng)用牛頓法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求15. 證明迭代公式是計(jì)算的三階方法。假定初值充分靠近根，求第七章 解線(xiàn)性方程組的直接方法1. 考慮方程組：(a) 用高斯消去法解此方程組（用四位小數(shù)計(jì)算），(b) 用列主元消去法解上述方程組并且與(a)比較結(jié)果。2. (a) 設(shè)A是對(duì)稱(chēng)陣且，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A約化為證明A2是對(duì)稱(chēng)矩陣。 (b)用高斯消去法解對(duì)稱(chēng)方程組：4. 設(shè)A為n階非奇異矩陣且有分解式A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，求證A的所有順序主子式均不為零。5. 由高斯消去法說(shuō)明當(dāng)時(shí)，則A=LU，其中L為單位下三角陣，U 為上三角陣。6. 設(shè)A 為n階矩陣，如果稱(chēng)A為對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣。證明：若A是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A具有形式。7. 設(shè)A是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A約化為，其中證明 （1）A的對(duì)角元素（2）A2是對(duì)稱(chēng)正定矩陣；（3）（4）A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線(xiàn)上；（5）（6）從（2），（3），（5）推出，如果，則對(duì)所有k8. 設(shè)為指標(biāo)為k的初等下三角陣，即（除第k列對(duì)角元下元素外，和單位陣I相同）求證當(dāng)時(shí)，也是一個(gè)指標(biāo)為k的初等下三角陣，其中為初等排列陣。9. 試推導(dǎo)矩陣A的Crout分解A=LU的計(jì)算公式，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣。10. 設(shè)，其中U為三角矩陣。(a) 就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫(xiě)出算法。(b) 計(jì)算解三角形方程組的乘除法次數(shù)。(c) 設(shè)U為非奇異陣，試推導(dǎo)求的計(jì)算公式。11. 證明（a）如果A是對(duì)稱(chēng)正定陣，則也是正定陣；（b）如果A是對(duì)稱(chēng)正定陣，則A可唯一寫(xiě)成,其中L是具有正對(duì)角元的下三角陣。12. 用高斯－約當(dāng)方法求A的逆陣：13. 用追趕法解三對(duì)角方程組，其中14. 用改進(jìn)的平方根法解方程組15. 下述矩陣能否分解為L(zhǎng)U（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一？16. 試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組.17. 如果方陣A 有，則稱(chēng)A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè)A滿(mǎn)足三角分解條件，試推導(dǎo)的計(jì)算公式，對(duì)1） ；2） .18. 設(shè)，計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2范數(shù)及F范數(shù)。19. 求證(a) ，(b) 。20. 設(shè) 且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。試證明是上的一種向量范數(shù)。21. 設(shè)為對(duì)稱(chēng)正定陣，定義，試證明為上向量的一種范數(shù)。22. 設(shè)，求證。23. 證明：當(dāng)且盡當(dāng)x和y線(xiàn)性相關(guān)且時(shí)，才有。24. 分別描述中（畫(huà)圖）。25. 令是（或）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實(shí)（或復(fù)）矩陣，定義范數(shù)，證明。26. 設(shè)為上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)，使對(duì)一切滿(mǎn)足27. 設(shè)，求證與特征值相等，即求證。28. 設(shè)A為非奇異矩陣，求證。29. 設(shè)A為非奇異矩陣，且，求證存在且有估計(jì)30. 矩陣第一行乘以一數(shù)，成為。證明當(dāng)時(shí)，有最小值。31. 設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，且其分解為，其中，求證(a) (b) 32. 設(shè)計(jì)算A的條件數(shù)。33. 證明：如果A是正交陣，則。34. 設(shè)且為上矩陣的算子范數(shù)，證明。第八章 解方程組的迭代法1. 設(shè)方程組 (a) 考察用雅可比迭代法,高斯塞德?tīng)柕ń獯朔匠探M的收斂性。(b) 用雅可比迭代法,高斯塞德?tīng)柕ń獯朔匠探M,要求當(dāng)時(shí)迭代終止．2. 設(shè), 證明:即使級(jí)數(shù)也收斂．3. 證明對(duì)于任意選擇的A, 序列收斂于零．４. 設(shè)方程組 迭代公式為 求證: 由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是5. 設(shè)方程組(a) (b) 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?. 求證的充要條件是對(duì)任何向量x，都有7. 設(shè)，其中A對(duì)稱(chēng)正定，問(wèn)解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？試考察習(xí)題5(a)方程組。8. 設(shè)方程組(a) 求解此方程組的雅可比迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(b) 求解此方程組的高斯－塞德?tīng)柕ǖ牡仃嚨淖V半徑；(c) 考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯－塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?. 用SOR方法解方程組（分別取松弛因子）精確解要求當(dāng)時(shí)迭代終止，并且對(duì)每一個(gè)值確定迭代次數(shù)。10. 用SOR方法解方程組（?。剑┮螽?dāng)時(shí)迭代終止。11. 設(shè)有方程組，其中A為對(duì)稱(chēng)正定陣，迭代公式 試證明當(dāng)時(shí)上述迭代法收斂（其中）。12. 用高斯－塞德?tīng)柗椒ń猓糜浀牡趇個(gè)分量，且。(a)