【正文】 (3) ，(4)若，令，由于和也是對稱正定矩陣，代入得，矛盾，故的絕對值最大的元素必在對角線上，(5)，(6)對所有均有對稱正定。10. 迭代函數(shù)為，且有， . 其中介于與之間。(3)，其中。此積分精確值為。令否是判斷判斷否是否是30.31. ， 。在時，值為，時，值為1，時，值為，時最小。7. ，故由可以解得，則有，故所求最佳一次逼近多項式為。 I(xc,x[i],x[i+1])。16. 17. 即均為的二重零點。11. 試用初等反射陣A分解為QR，其中Q為正交陣，R為上三角陣。15. 設(shè)，試說明A為可約矩陣。33. 證明：如果A是正交陣，則。(c) 設(shè)U為非奇異陣，試推導求的計算公式。9. 研究求的牛頓公式證明對一切且序列是遞減的。4. 用梯形方法解初值問題證明其近似解為并證明當時，它原初值問題的準確解。的函數(shù)表,步長h =1′=(1/60)176。 (4).3. 直接驗證柯特斯公式()具有5次代數(shù)精度.4. 用辛普森公式求積分并計算誤差.5. 推導下列三種矩形求積公式:(1)。4. 比較求的根到三位小數(shù)所需的計算量；1）在區(qū)間[0,1]內(nèi)用二分法；2) 用迭代法，取初值。6. 設(shè)A 為n階矩陣，如果稱A為對角優(yōu)勢陣。24. 分別描述中（畫圖）。12. 用高斯－塞德爾方法解，用記的第i個分量，且。5. 用雅可比方法計算的全部特征值及特征向量，用此計算結(jié)果給出例3的關(guān)于p的最優(yōu)值。10． ，故t增加時S的絕對誤差增加，相對誤差減小。 for(i=1。第三章 函數(shù)逼近與計算習題參考答案1. (a) 區(qū)間變換公式為，代入原公式可得新區(qū)間里的伯恩斯坦多項式為。15. ，取為的近似，誤差限為，再對冪級數(shù)的項數(shù)進行節(jié)約就可以得到原函數(shù)的3次逼近多項式，其誤差限為，即為所求16. 當為上的奇函數(shù)時，設(shè)為原函數(shù)的最佳逼近多項式，則，對有，所以也是最佳逼近多項式，由最佳逼近多項式的唯一性，即是奇函數(shù)。輸入初始節(jié)點，權(quán)函數(shù)及正交多項式次數(shù)n。7. 設(shè)將積分區(qū)間分成n等分則應有其中，解得。6．(1)近似解(2)近似解7． ，則8． (1)令，泰勒展開可得，同理有， 代入龍格庫塔公式可得。6. 將轉(zhuǎn)化為，此時在附近，所以迭代格式為。14. 求的迭代公式分別為， 設(shè)迭代函數(shù)為 ，則，.15. 記迭代函數(shù) ，則，由上 ①兩邊求導得 則可得 對①式兩邊求二階導數(shù)得 則可得 對①式兩邊求二階導數(shù)得 則可得 所以迭代公式是三階方法，且.第七章 解線性方程組的直接方法習題參考答案 1． (a)高斯消去法解得；(b)列主元消去法解得。16． ，解得。32． 。10. 迭代公式為取，迭代8次達到精度要求。19. 證：(a) ，設(shè)，則，為對稱正定陣。用一些事情，總會看清一些人。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。20. 證：A為嚴格對角占優(yōu)，則存在。12. 證：(a) 即為GaussSeidel迭代格式。34． 。18． 。(b) 高斯消去法解得。 2) 弦截法迭代格式 。9． 二階顯式公式為，代入得，二階隱式公式為，代入得，真解為。9. ， ，所以 ＝4 ＝48728（可任選一種數(shù)值積分方法，如柯特斯公式）。判斷計算。17. ，為使均方誤差最小，則有，解得。2. ，故，當時。i++) { x[i]=x[i1]+1。12． ，如果令，則，的結(jié)果最好。 (b)對于矩陣,λ=9是其特征值，是相應于9的特征向量，試求一初等反射陣P，使，并計算。(c) 設(shè)A是對稱的，二次型證明 。26. 設(shè)為上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)，使對一切滿足27. 設(shè)，求證與特征值相等，即求證。7. 設(shè)A是對稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為，其中證明 （1）A的對角元素（2）A2是對稱正定矩陣；（3）（4）A的絕對值最大的元素必在對角線上；（5）（6）從（2），（3），（5）推出，如果，則對所有k8. 設(shè)為指標為k的初等下三角陣，即（除第k列對角元下元素外，和單位陣I相同）求證當時，也是一個指標為k的初等下三角陣，其中為初等排列陣。6. 已知在區(qū)間[a,b]內(nèi)只有一根，而當axb時，試問如何將化為適于迭代的形式？將化為適于迭代的形式，并求x=（弧度）附近的根。(3).6. 證明梯形公式()和辛普森公式()當時收斂到積分.7. 用復化梯形公式求積分,問要將積分區(qū)間分成多少等分,才能保證誤差不超過(設(shè)不計舍入誤差)?8. 用龍貝格方法計算積分,要求誤差不超過.9. 衛(wèi)星軌道是一個橢圓,橢圓周長的計算公式是,這里是橢圓的半長軸,是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記為近地點距離,為遠地點距離,公里為地球半徑,遠地點距離公里,試求衛(wèi)星軌道的周長.10. 證明等式試依據(jù)的值,用外推算法求的近似值.11. 用下列方法計算積分并比較結(jié)果.(1) 龍貝格方法。,證明當t增加時S的絕對誤差增加,而相對誤差卻減小.11. 序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,…),若(三位有效數(shù)字),計算到時誤差有多大?這個計算過程穩(wěn)定嗎?12. 計算,取,利用下列等式計算,哪一個得到的結(jié)果最好?13. ,求f(30),問求對數(shù)時誤差有多大?若改用另一等價公式 計算,求對數(shù)時誤差有多大?14. 試用消元法解方程組假定只用三位數(shù)計算,問結(jié)果是否可靠?15. 已知三角形面積其中c為弧度,且測量a ,b ,c 的誤差分別為證明面積的誤差滿足第二章 插值法 1. 根據(jù)()定義的范德蒙行列式,令 證明是n次多項式,它的根是,且.2. 當x= 1 , 1 , 2 時, f(x)= 0 , 3 , 4 ,求f(x)的二次插值多項式.3. 給出f(x)=ln x 的數(shù)值表用線性插值及二次插值計算ln 的近似值.xlnx4. 給出cos x,0176。2. 用改進的尤拉方法解初值問題取步長h=，并與準確解相比較。1) 用牛頓法；2）用弦截法，?。?）用拋物線法，取。(a) 就U為上及下三角矩陣推導一般的求解公式，病寫出算法。證明當時，有最小值。(a) 找出下列迭代方法收斂的充要條件(b) 找出下列迭代方法收斂的充要條件比較兩個方法的收斂速度。9. 設(shè)是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設(shè)y是的一個特征向量。15．第二章 插值法習題參考答案1. ；.2. .3. 線性插值：取，則； 二次插值：取，則