【正文】 c 是方程的通解.3)由積分因子的定義，只要證明= 0即可.ay ox求導(dǎo)得= —YU (My — N。)，試求出其通解：1) y39。2?yQ? = 1 — 0?? ip(?x39。解：令y = e174。 = e?,積分得u = e” + c，因此原方程的通解為y = e” + (e” + c)?2) y39。 + ?z_i，代入方程得未知函數(shù)??的方程= 1，積分得= a: + c，因此原方程的通解為y = sina。2(y — y2) = 1’ 165。 = x?u 1，積分得u = xln(cx),因此原方程的通解為y = —{2x)~? — {xln{cx))~?.11ay4) x?y39。2/2)，因此原方程的通解為y = x?+x{c+x39。 = {x l)y2 + (1 2x)y + x, ip{x) = 1.M令y = 1 + ui,代入。數(shù)U的方程= W + 1 a。)?.H T T= rx(l), a。?/是常數(shù)）at Xf解a:⑴，并算出+lim x{t)的值和說明其實際意義.解：這是n = 2時的Bernoulli方程，除了平凡解a: = 0外，其解可寫成形式x{t) = ~、——\ XoJ故可見IhjiOO x{t) = Xf,說明了只要。(fcoo(S)) = p的正確性.解：這是n = /3時的Bernoulli方程，除了無實際意義的平凡解A:三0外為k{t，s) = ki。 // \ ifCoo{s) = (1 — s)f {koo{s)) = a(l — s) J .求它的最大值可得,當(dāng)s = /?時取最大值maxcoo(s) = a{lf3) i_，容易驗證資本積累的黃金準(zhǔn)則/39。=工+ ?/2,?/(0) = 0的第三次近似解(?3 0?)..11(、 — ~1~ ~1~ 2 20 160 4400 Bellman 不等式：設(shè)常數(shù) k 0, f (x) 0,和(a。 = f(x,yb(xoVo的右行解是惟一的.證：，則存在初值問題的兩個解:(x), ?2 (a；),使得在這兩個解的共同區(qū)間[；C(),6]上是不恒等的.令(5 (x) = [ip2 (x) (fi (a。o S a：； S…所以0) = 0，. /(。 = f{x,y),y{xo) = yo的If在整個區(qū)間[a,/3]上惟一存在.證：在解的存在惟一性定理的證明中稍作修改就可證明在本題的條件下，解的存在區(qū)間是在整個區(qū)間[171。,y)GR樣，可得逐次逼近序列{(/9r?⑷}，它是有界的，并且 |yo| +M (eU 1) /L,.,y)在R2上連續(xù)，求證：對Vrr。 = (y /(x,y) ,y(xo) = y。,十oo).證：對于Va:o e R，取M e、我們證明，這時初值問題的解的右行解vOk)的積分曲線始終位于兩曲線：y= 177。0)之，再由延拓定理可知，右行解一直可以向右延拓：（由于在a； = a。i，y (2；1)是從D外進(jìn)入1)內(nèi)的，. y39。的解為 y = (/?(x,xq,yo),試求Xoxo dyodxQ dyo別是微分方程d. — cos (〒） X ?分別滿足初始條件?2(1) = 0和；?(1) = |?(a:,l,0) = 0，cos (等、(x, 1,0) = expdt由于1，0) = 0，代入上式得乾{x, 1,0) = X.(x,y)在G上連續(xù)可微，試證初問?y39。）= 0的解，由解的惟一性，z{x) = 0.15? {x,xo,yo)和》(x,a。= l,y。o,yo)當(dāng) a。= 0 時的表達(dá)式分證：因為$0,。? + 2y39。 = p，y = a。 = 1，得p = a。/2 + c)?l.2) y = xy39。39。tant + sect在這點相切).3) y39。 y39。3解：引進(jìn)參數(shù)P = y39。 = P, y = x + 務(wù)y39。/9 1) = 0,由8pp39。r = 1，積分得P = 177。y/x + c 1],由p 1 = 0，iXAy的表達(dá)式得特解：y = x 4/27.9)利用Clairaut方程構(gòu)造一個以y = ip{x)為奇解的一階方程，這里假設(shè)中e Ci[a,6],且中‘⑷為的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).解：令p = (?39。f{x)是這個Clairaut方程的一個奇解. Riccati 方程 = cosx — {y — sinx)? 有解 y = sin:以y = 一工,卻,?/?)記該方程滿足初始條件yOo) = yo的解，試求出—?(x, 0,1)和 0,1).5x0 dyo16解：引進(jìn)新的未知函數(shù)U，滿足y = sinx+,代入方程得；= 1，積分得W = X + C,從而該Riccati方程的通解為y = sinxH——|一，滿足X C初始條件y(0) = 1的特解為y = sinx+ ?―,于是，所求的兩個偏導(dǎo)數(shù)都是線性齊次微分方程 = ?z的解，分別滿足初始條件2：(0) = (cosx (y sinx)?) I = 0，和2；(0) = 1，由線性方程的通V / lx=0,y=l解是工=由初始條件，分別得C = 0及C = 1，故[x + ly0, 1) = 0，0, 1) = (x + 1) 2.oxo dyo11*.假設(shè)函數(shù)fix, y)在區(qū)域G C R2中關(guān)于y滿足以L為Lpschitz常數(shù)的Lipschitz條件，（/？⑷和■！/；⑷為方程y39。r, y)在[a, 6]上的兩個解，；tq e [a,b]，試證：|(/9(。 = (2 ii)u 1，解得u = 1/(2 ?) + cexp((2 /x)x),再由初值條件y(0) = 1得到方程的精確解為 165。o = fl 1，165。1 = + 1，（?1(0) = 0,f39。??0?2 + ?1 + /?2(0) = 0.解得：例=1, v?i(x) = exp(2x) — 1, (P2(x) = exp(2x)(exp(2x) 2x l)/2.(2)是變量分離方程，精確解是[yiitan(y/Jx), 當(dāng)“2 0。re [a, 6)有/(。 = f{x,y)和y39。)上的惟一解，由題意?39。)。r),。) ip{x).證：若不然，則存在區(qū)間C/，在此區(qū)間上？/⑷ (/？⑷，且y{xi) = ?{xi),但 g{x,ip{x)) = F{x,y) = y39。c)是在區(qū)間J上初值問題y39。)E ?⑷，再由于y = y(。)上VKW 證畢對于是初始問題在區(qū)間[a，amp。 = / ? + c, (y在0與a之間）確定的函數(shù)是解工= A(t)|f(t)|,即a。 = f{t,x) , x{to) = Xo,的解與矢量Volterra積分方程x{t) = xo+ [ f{s,x{s)) dsJto的連續(xù)解的等價性.證：設(shè)至=⑷是Cauchy問題的解，即???? = /0，盧0))， （?(to) = fo，方程兩邊從to到t積分，得Jto即列t)是Volterra方程的解.反之，若⑴是Volterra方程的解，即Jtn190 if) = 0 (to) + [ f {3,0 (s)) ds(p{t) = X0+ [ f{s,(p{s)) ds則= 4且因連續(xù)，積分是t的可微函數(shù)，從而m可微，對兩邊求導(dǎo)得39。2! n!的收斂性，其中/為n階單位方陣.證：利用|/| = 1，I i?r,則級數(shù)1 + 1*|2 + …+ 士11+ …J?l為題中級數(shù)的強(qiáng)級數(shù)，從而該級數(shù)收斂.：?39。=似+/⑷的形式，其中40 0(23 ~?2：[1/Ride/dt? 0,0]了.，求出初值問題dxdt的第3次近似解(?3.0 4—1 0f (0)?3l2t?(注：精確解為:2 sin 2tcos2t，I為n階單位陣，我們稱A的n次代數(shù)方程det(A/…=0為方程組f = Ax的特征方程，試寫出n階常系數(shù)方程 + + a?x = 0 的特征方程.答:特征方程為A + aiA39。 = A?，驗證:20d?h丄d72丄廠 ,有解⑷cost—s39。mtcost對VC1,C2，它滿足初始條件：?(0) = (Ci,C2)T的解為X (t) = ClU (t) + C2V (t).將下列二階方程化成二維一階方程組（其中a, /U, ，e均為參數(shù)）、u_ u 2,9 , dx(水星進(jìn)動的Einstein方程):(Van der Pol 方程):X\ u x\ ax39。x — ax=X n{l y?)y,首先利用Li6nard變換把二階擬線性方程工石+工=39。iard 變換：=/ x?dx = , y =——h F(x),得二維Jo 3 dt一階方程組a/= y譬，= 。 = 2 2 x + t L」f⑴=I答：= (At)T‘$(i)的列矢量在[a,6]上線性無關(guān)，找出在什么條件下才存在齊次方程組= （其中4⑷在上連續(xù)）使得少⑷為它的基解陣？若這樣的方程組存在,是否惟一？答：當(dāng)且僅當(dāng)n階方陣$(i)的行列式在[a，amp。 = 乂i)f的基解陣，而⑷：⑴對于方程組守=A?⑷y的任一解每⑷必有(t) 0 {t)=常數(shù)：(ii) *⑴為方程組甘=—AT咖的基解陣的充要條件為存在非異的常方陣C，使得⑷=a證：⑴因為 + 研039。, (1)22再對恒等式少1少=I兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得：（$1)、+ $1$39。= —（2)代入⑴式得屯‘了 = C($i)39。=—屯，即屯是7 = A?{t)y的.，①⑴為方程組至39。11有$(力）$1(力0)=少（€ —力0).證：由于$(t)$i(to) = ?{t to)的兩邊都是基解陣，且在t = to，畢.⑷和fit)分別為在[a, 6]上連續(xù)的n階方陣和n維矢量，證明方程組定39。j = 0,1,2,... ,n,使得 ci?j{f} = 0，即 HJJoV⑷=SicVjW,由J = 0,1,2,...,n的線性無關(guān)性，可知SR/0，所以m是對應(yīng)的齊次方程組的解，與假設(shè)例t)為非齊次方程組的特解矛盾.再證非齊次方程組最多存在1個線性無關(guān)解，用反證法，若乂i)，j = 0,l,2,...,n+l是非齊次方程組的n +2個線性無關(guān)解，則可見側(cè)=石⑷Mt), j = 1, 2,…,n + 1是齊次方程組的n + 1個.。=A{t) X+fi⑷和f = A{t) X + f2{t)的解，則fi {t) + X2⑴是方程組f 4⑷f + /1⑷+ /2⑷的解.證明：直接代入驗證即得.39。是= 的基解陣：(ii)試求方程組f + fit)滿足初始條件f (0) = 的(5驗證略.(ii)解為：⑴=(藉一譽亡)嘉 cost — 藉 sint =Ax + fix)的每一個解在[0, +oo)上肴界： — —(iii)若當(dāng)t — +00時，/⑴4 0，則f =似+/⑴的每一個解0(t)滿足：當(dāng)i 4 +00時，If⑷0.⑴直接驗證可得：少‘⑷7t—et —49e7亡而：7 8—e—e7e7t7t7t—e七—49e7f所以屯,(t) = ⑷，即$⑷為= A?的基解陣：(ii)設(shè)1/⑷I = max(|/,|) M,由常數(shù)變易公式，解可表示為⑷=$ ⑴ 5+ ?{t s) f (s)則l?(?) I I少⑴ P+ / l?(?s)||/(5)|d