圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和典型例題-閱讀頁(yè)
2025-07-07 15:45本頁(yè)面
【正文】 1. 已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則圓C的方程為( )A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1【解析】 由已知圓(x－1)2＋y2＝1得圓心C1(1,0)，半徑長(zhǎng)r1＝(1,0關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱的點(diǎn)為(a，b)，則解得所以圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝1.12. 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在圓x2＋y2＝2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)A(3,1)連線中點(diǎn)Q的軌跡方程為________．【解析】 設(shè)Q(x，y)，P(a，b)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所以點(diǎn)P(2x－3,2y－1)滿足圓x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，化簡(jiǎn)得2＋2＝，即為點(diǎn)Q的軌跡方程．13. （1）△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圓的方程；（2）△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的內(nèi)切圓的方程．【解答】解：（1）設(shè)所求圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，①因?yàn)锳（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①，于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，所以△ABC的外接圓的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25．（2）∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，0），B（5，0），C（0，12），∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，∴△ABC內(nèi)切圓的半徑r==2，圓心（2，2），∴△ABC內(nèi)切圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．14. 已知圓C：x2+（y+1）2=5，直線l：mx﹣y+1=0（m∈R）（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為120176。直線l：﹣ x﹣y+1=0，圓心到直線的距離d==1，∴|AB|=2=4．15. 過(guò)點(diǎn)(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程．【解】 由題意，直線與圓要相交，斜率必須存在，＋2＝k(x＋1)．又圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1，所以圓心到直線的距離d＝＝＝.解得k＝＋2＝x＋1或y＋2＝(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.
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