高等數(shù)學練習答案-閱讀頁
2025-06-23 00:17本頁面
【正文】 Y=C1ex+C2ex. 因為f(x)=4xex, l=1是特征方程的單根, 故原方程的特解設(shè)為 y*=xex(Ax+B), 代入原方程得 (4Ax+2A+2B)ex=4xex, 比較系數(shù)得A=1, B=1, 從而y*=xex(x1). 因此, 原方程的通解為 y*=C1ex+C2ex+xex(x1). 由y|x=0=0, y162。162。=5, y|x=0=1, y162。|x=0=0得, . 因此滿足初始條件的特解為 . 3. 大炮以仰角a、初速度v0發(fā)射炮彈, 若不計空氣阻力, 求彈道曲線. 解 取炮口為原點, 炮彈前進的水平方向為x軸, 鉛直向上為y軸, 彈道運動的微分方程為 , 且滿足初始條件 . 易得滿足方程和初始條件的解(彈道曲線)為 . 4. 在R、L、C含源串聯(lián)電路中, 電動勢為E的電源對電容器C充電. 已知E=20V, C=(微法), L=(亨), R=1000W, 試求合上開關(guān)K后電流i(t)及電壓uc(t). 解 (1)列方程. 由回路定律可知 , 即 , 且當t=0時, u c=0, uc162。103177。103i. 因此對應(yīng)的齊次方程的通解為 . 由觀察法易知y*=20為非齊次方程的一個特解. 因此非齊次方程的通解為 . 由t=0時, u c=0, uc162。 解 設(shè)在時刻t時, 鏈條上較長的一段垂下xm, 且設(shè)鏈條的密度為r, 則向下拉鏈條下滑的作用力 F=xrg(20x)rg=2rg(x10). 由牛頓第二定律, 有 20rx162。=2rg(x10), 即. 微分方程的特征方程為 , 其根為, 故對應(yīng)的齊次方程的通解為 . 由觀察法易知x*=10為非齊次方程的一個特解, 故通解為 . 由x(0)=12及x162。162。(0)=0得. 因此特解為 . 當x=20, 即鏈條完全滑下來時有, 解之得所需時間 s. 6. 設(shè)函數(shù)j(x)連續(xù), 且滿足 , 求j(x). 解 等式兩邊對x求導得 , 再求導得微分方程 j162。(x)=exj(x), 即j162。(x)+j(x)=ex. 微分方程的特征方程為 r2+1=0, 其根為r1, 2=177。(0)=1, 由此得. 因此 .
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