【正文】 給予證明，若不相等，說(shuō)明理由。（原創(chuàng)）（2011杭州模擬26）已知：二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線(xiàn)段OB、OC的長(zhǎng)（OBOC）是方程x2－10x＋16＝0的兩個(gè)根，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（－6，0）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)E是線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8┄┄┄┄┄┄┄………1分 ∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC, ∴B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是B（2，0）、C（0，8） ┄┄┄┄┄…………3分將A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表達(dá)式y(tǒng)＝ax2＋bx＋8，　解得 ∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2－x＋8 ┄┄┄┄┄┄┄┄………5分2）∵AB＝8，OC＝8，依題意，AE＝m，則BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10.∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄………6分∴＝ .　　即＝ . ∴EF＝. ┄┄┄┄…………7分過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝ .∴＝ .　 ∴FG＝答案：解：（1）作AF⊥x軸與F∴OF=OAcos60176。=∴點(diǎn)A（1，）………………………………………………………1分代入直線(xiàn)解析式，得，∴m=∴當(dāng)y=0時(shí)，得x=4， ∴點(diǎn)E（4，0）……………………………………………3分（2）設(shè)過(guò)A、O、E三點(diǎn)拋物線(xiàn)的解析式為∵拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)∴c=0 ∴ ∴∴拋物線(xiàn)的解析式為…………………………………………6分（3）作PG⊥x軸于G，設(shè) ………………………………………8分 當(dāng)xOyACB22. (2011浙江省杭州市10模)（本題8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出向下平移3個(gè)單位的像；（2）若一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（1）中的三個(gè)頂點(diǎn)，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．（1） ?。?）由題意得的坐標(biāo)分別是（0，1），（3，1），（2，0）設(shè)過(guò)點(diǎn)的二次函數(shù)的關(guān)系式為，則有 解得 ∴二次函數(shù)的關(guān)系式為 2（2011年浙江杭州五模）如圖，設(shè)拋物線(xiàn)交x軸于兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．以為直徑作半圓，圓心為，半圓交y軸負(fù)半軸于．　?。?）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；　?。?）將繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，如圖．求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）有一動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，的周長(zhǎng)在不斷變化時(shí)是否存在最小值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．答案：（1）對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1 2’ (2) A (1,0) ， B (3,0) ，M(1,0)所以圓M的半徑為2 1’ 1’ （3） 頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，1） D（1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D‘（1，1） 1’ 則直線(xiàn)CD‘為 1’ 則CD‘與X軸的交點(diǎn)即為所求的Q點(diǎn)為 2’B組1．（2011 天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校 二模）已知：如圖，直線(xiàn)：經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,)，一組拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（為正整數(shù)）依次是直線(xiàn)上的點(diǎn)，這組拋物線(xiàn)與軸正半軸的交點(diǎn)依次是：A1（x1,0）, A2（x2,0）, A3（x3,0）,……An+1（xn+1,0）（為正整數(shù)），設(shè) （1）求的值； （2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式（用含的代數(shù)式表示） （3）定義：若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線(xiàn)就稱(chēng)為：“美麗拋物線(xiàn)”．yOMxnl123…探究：當(dāng)?shù)拇笮∽兓瘯r(shí)，這組拋物線(xiàn)中是否存在美麗拋物線(xiàn)？若存在，請(qǐng)你求出相應(yīng)的的值．答案： ⑴∵M(jìn)(0,在直線(xiàn)y=x+b上，∴b= ⑵由⑴得y=x+,∵B1(1,y1)在直線(xiàn)l上，∴當(dāng)x=1時(shí)，y1=1+=∴B1(1,)又∵A1(d,0) A2(2d,0)設(shè)y=a(xd)(x2+d),把B1(1,)代入得：a=∴過(guò)ABA2三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為y=(xd)(x2+d)(或?qū)懗鲰旤c(diǎn)式為y= (x1) +) ⑶存在美麗拋物線(xiàn)。∵當(dāng)x=1時(shí)，y1=1+=1。2. （2011浙江慈吉 模擬）已知如圖, 四邊形ABCD是平行四邊形, A、B均在軸上, 點(diǎn)C的坐標(biāo)是(6, 3), AD所在的直線(xiàn)的解析式為. (1)求A、B、D的坐標(biāo)；(2)以D為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B, 若將拋物線(xiàn)向上平移()個(gè)單位后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, 求原拋物線(xiàn)的解析式及的值.答案：（1）當(dāng)時(shí)，得 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（） 四邊形ABCD是平行四邊形 AB∥CD，AB=CD 得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（） AB=CD= 點(diǎn)B的坐標(biāo)是（） （2）設(shè)原拋物線(xiàn)的解析式為 把點(diǎn)B的坐標(biāo)（）代入得 原拋物線(xiàn)的解析式為 設(shè)原拋物線(xiàn)向上平移個(gè)單位后的解析式為 把點(diǎn)A（）代入得 3．（ 2011年杭州三月月考）如圖，已知拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線(xiàn)交軸于點(diǎn)．在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；ABCOxy（3）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，將拋物線(xiàn)沿其對(duì)稱(chēng)軸平移，使拋物線(xiàn)與線(xiàn)段總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線(xiàn)向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？向下最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？答案： （1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，把代入得．，　頂點(diǎn) （2）假設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，依題意設(shè)，由求得直線(xiàn)的解析式為，它與軸的夾角為，設(shè)的中垂線(xiàn)交于，則．則，點(diǎn)到的距離為．又． ．平方并整理得：．存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為． （3）由上求得．①若拋物線(xiàn)向上平移，可設(shè)解析式為．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．ABCOxyDFHPE或．． ②若拋物線(xiàn)向下移，可設(shè)解析式為．由，有．，．向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)，向下最多可平移個(gè)單位長(zhǎng)． ４．（2011年三門(mén)峽實(shí)驗(yàn)中學(xué)3月模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POＰC， 那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POＰC為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.答案：解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 解得： 所以二次函數(shù)的表達(dá)式為： ． （2）存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PC＝PO．連結(jié)PP 則PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴=．∴= 解得=，=（不合題意，舍去）∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，） （3）過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線(xiàn)與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，），易得，直線(xiàn)BC的解析式為則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x－3）. = 當(dāng)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積．5.（2011浙江杭州義蓬一模）如圖①， 已知拋物線(xiàn)（a≠0）與軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B (－3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．(1) 求拋物線(xiàn)的解析式；(2) 設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)N ，問(wèn)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△CNP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3) 如圖②，若點(diǎn)E為第三象限拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).圖①圖②答案：如圖①， 已知拋物線(xiàn)（a≠0）與軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B (－3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．(1) y=x+2x3 (2)P(1,),P(1, ),P(1,6),P(1,) (3) S=1/23(x2x+3)+ 1/23(x)S=3/2(x+3/2)+63/8X=3/2 , S=63/8 E(3/2,15/4) 6. （2011廣東南塘二模）已知拋物線(xiàn)y＝（1）求拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）不列表畫(huà)出大致圖象，根據(jù)圖象求當(dāng)y＜0時(shí)自變量x的取值范圍。(1)求k的取值范圍；(2)當(dāng)k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程3x＝kx－1的解是負(fù)數(shù)時(shí)，求拋物線(xiàn)的解析式；(3)在(2)的條件下，若在拋物線(xiàn)和x軸所圍成的封閉圖形內(nèi)畫(huà)出一個(gè)最大的正方形，使得正方形的一邊在x軸上，其對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，試求出這個(gè)最大正方形的邊