高等代數(shù)教案第一章基本概念-閱讀頁
2025-05-02 12:57本頁面
【正文】 余除法) 設(shè),且；那么使得 .2. 最大公因數(shù)、互素（1）最大公因數(shù)A）定義2. 設(shè),若滿足：1）且（即是與的一個(gè)公因數(shù)）；2）若且（即能被與的任一個(gè)公因數(shù)整除）.則稱為與的一個(gè)最大公因數(shù).最大公因數(shù)的概念可推廣至有限個(gè)整數(shù).B）最大公因數(shù)的存在性（及求法） 任意個(gè)整數(shù)都有最大公因數(shù)；若為的一個(gè)最大公因數(shù),則也是；的兩個(gè)最大公因數(shù)至多相差一個(gè)符號.C）性質(zhì) 設(shè)為的一個(gè)最大公因數(shù),那么使得.略證：若,則,從而對都有；若不全為0,由證明過程知結(jié)論成立. （2）互素定義3. 設(shè),若,則稱互素；一般地設(shè),若,則稱互素. 個(gè)整數(shù)互素使得.3. 素?cái)?shù)及其性質(zhì)（1）定義4. 一個(gè)正整數(shù)叫做一個(gè)素?cái)?shù),若除外沒有其他因數(shù).（2）性質(zhì)1）若是一個(gè)素?cái)?shù),則對有或.（注意轉(zhuǎn)換為語言敘述,證易；略）2）且；則可被某一素?cái)?shù)整除.3） 設(shè)是一個(gè)素?cái)?shù),若,則或.1．5 數(shù)環(huán)和數(shù)域一 教學(xué)思考1. 數(shù)環(huán)、數(shù)域是本章引入的兩個(gè)新概念,其是鑒于很多數(shù)學(xué)問題不僅與所討論的范圍（數(shù)集）有關(guān),引入了數(shù)環(huán)、數(shù)域的概念.2. 數(shù)環(huán)、數(shù)域簡而言之是分別關(guān)于加、減、乘和加、減、乘、除封閉的非空數(shù)集,這可知之聯(lián)系與區(qū)別,且由于對于不同的運(yùn)算的封閉性,可討論各自具有的簡單性質(zhì).3. 本節(jié)內(nèi)容簡潔,不難理解,需要注意的是：一、“任意數(shù)域都包含有理數(shù)域”的證法——?dú)w謬法；二、給定一個(gè)數(shù)集驗(yàn)證是否是數(shù)環(huán)、數(shù)域；三、關(guān)于數(shù)環(huán)、數(shù)域的深入的問題——因數(shù)環(huán)、數(shù)域都是數(shù)集,而集合有所謂的運(yùn)算：交、并,那么問題是數(shù)環(huán)、數(shù)域的交、并是否仍是之？從中體會“從定義出發(fā)加以驗(yàn)證”以及舉例證明的方法.二 教學(xué)過程1. 概念定義1. 設(shè)且,若對都有,則稱是一個(gè)數(shù)環(huán).定義2. 設(shè)是一個(gè)數(shù)環(huán),若1）含有一個(gè)非0數(shù)；2）若且,.例子：1）整數(shù)集為數(shù)環(huán),有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集為數(shù)域. 2）取定,令,為數(shù)環(huán). 3） 是數(shù)環(huán). 4） 是數(shù)域.2. 性質(zhì)1）設(shè)是一個(gè)數(shù)環(huán),則.2）設(shè)F是一個(gè)數(shù)域,則.3）有理數(shù)域是最小的數(shù)域（在集合包含意義下） 任何數(shù)域都包含有理數(shù)域. 5
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