概率論習(xí)題解答(第4章)-閱讀頁
2025-04-09 04:53本頁面
【正文】 E(XY)= 1/41/2+1/4=0，E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=11/4=3/4，D(Y)=11/4=3/4，Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=24. 設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)與方差存在，且有，證明．證明：首先證明E（Y）存在(1) 若隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量，分布律為：則由E(X)存在知，絕對收斂，且記,則絕對收斂，所以E（Y）存在，,(2) 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),則：5. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為，且E(X)，E(X 2)，D(X)都存在，試證明：函數(shù)在時取得最小值，且最小值為D(X)．證明：令，則，所以，又，所以時，取得最小值，此時 6. 隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，且X的分布律為X12pi2/31/3記， (1) 求(U，V)的分布律；(2) 求U與V的協(xié)方差Cov(U，V).解：(1) (X ,Y)的分布律 Y X1214/92/922/91/9(X ,Y)（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）pij4/92/92/91/9U1222V1112 V U1214/9024/91/9(2) E(U)= 4/9+25/9=14/9，E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 21/9=10/9，E(UV)= 4/9+24/9+41/9=16/9,Cov(U，V)=16/9140/81=4/81 7. 隨機(jī)變量X的概率密度為令為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求Cov(X，Y)．解： 8. 對于任意二事件A和B，0 P(A) 1，0 P(B) 1，稱作事件A和B的相關(guān)系數(shù)． (1) 證明事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零． (2) 利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明．證明: (1) ,即(2) 考慮隨機(jī)變量X和Y X服從01分布:X01pi1P(A)P(A)Y服從01分布:X01pi1P(B)P(B)可見, 隨機(jī)變量Ｘ和Ｙ的相關(guān)系數(shù)由兩隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)有
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