數(shù)列習(xí)題課(一)-閱讀頁(yè)
2025-04-09 02:51本頁(yè)面
【正文】 數(shù)列、等比數(shù)列為基礎(chǔ).，對(duì)無(wú)窮數(shù)列來(lái)說(shuō)只能算是一種猜想，是否對(duì)所有項(xiàng)都適用還需論證.，其本質(zhì)是猜想所給遞推公式可以變形為某種等差數(shù)列或等比數(shù)列，只是其系數(shù)還不知道，一旦求出系數(shù)，即意味著猜想成立，從而可以借助等差數(shù)列或等比數(shù)列求得通項(xiàng).，要注意n的取值范圍.一、選擇題{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，則a100的值是( ) 900 902 904 000考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an＋1＝pan＋f(n)型答案 B解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2＋2＝9 902.{an}中，a1＝1，an＋1＝，則這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)為( )－1 ＋1C. D.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列答案 C解析 ∵an＋1＝，∴＝＋2.∴為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)＝1.∴＝1＋(n－1)a1＝…＝n.{an}滿足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，則an＝________.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列答案 23n－1－1解析 設(shè)an＋1＋A＝3(an＋A)，化簡(jiǎn)得an＋1＝3an＋2A.又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.∴數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋1＝2，公比為3.則an＋1＝23n－1，即an＝23n－1－1.{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式是an＝________.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 (－2)n－1解析 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.三、解答題{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)解 (1)由題設(shè)可知a1a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得或(舍去).由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.(2)Sn＝＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.＝4－an－，求an與Sn.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)解 ∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.∴an＝an－1＋n－1.∴－＝2，∴2nan－2n－1an－1＝2，∴{2nan}是等差數(shù)列，d＝2，首項(xiàng)為2a1.∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.∴an＝n－＝4－.四、探究與拓展{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整數(shù))，則它的通項(xiàng)公式an為________________.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 其他遞推數(shù)列問(wèn)題答案 解析 由題意知an0，將an＋1＝a兩邊取對(duì)數(shù)得lg an＋1＝2lg an，即＝2，所以數(shù)列{lg an}是以lg a1＝lg 3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，lg an＝(lg a1)
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