【正文】 2 . , , , , , ,( ) ( ) 。ssVf f f U? ? ?? ? ???? ?若 線性相關(guān)，則 線性相關(guān)95 12124 . ( , , ) ,( ) ( ( ) , ( ) , ( ) ) 。96 例 24 定義為：其中：和維數(shù)：的值域及核子空間的基求線性映射][][: 33 xFxFff?)(39。 : ( 39。 ( )f f V U f f x f x f x? ? ? ? ? , 39。f f H o m V U g H o m U W k Fk f f f g f? ? ?? ? ? ?? ???假 設(shè)定 義 如 下 ：: ( ) ( ) ( ( ) )g f V W g f x g f x?? 它們都是線性映射。().(1 ghfhfg ?。,: 21 sV ??? ? nU ??? ,: 21 ?Afff ns ),())(,),(),(( 2121 ?????? ?? ?若Af則稱 是 在選定 基偶下的矩陣 。101 例 26 1. 假設(shè) snAC ?? ， 定 義 : nsf F F? 為 ()f x A x? 。 102 例 27 2 2 2 22211 12 21 22( , )32( ) ,34., , , .f Hom F Fa b b cfXa b c a b c dabXFcdf E E E E?????????????? ? ??? ? ? ? ?????????? ? ?????定義為：其中，求 在基 下的矩陣103 定理 8 1 2 1 21212( , ): , , , 。,: 21 sV ??? ? nU ??? ,: 21 ?。39。1 ?????? ?? ?Qnn ),(),( 2139。239。39。1 ?????? ?? ?下的矩陣是 .1 APPB ??105 例 28 333221 2 3: [ ] [ ]( ( ) ) 39。.1 kAkf 的矩陣是。.3 ABfg 的矩陣是。 107 第五節(jié) 線性映射的值域及核子空間 (.11 . , )f H o m V U?假設(shè)定理 則。,:),( 2121AUVUVH omf ns ?????? ???Afff ns ),())(,),(),(( 2121 ?????? ?? ?))(),(),(()( 21 sfffLVf ??? ??于是).()(d i m ArfR ?從而，109 核子空間的計算 1 2 1 21212( , ) : , , , 。)( ?? ??? AXfK因此，1212, , , , , ( )n r j jnrX X X A X XV K f??? ? ????從而，若 是 的基礎(chǔ)解系， 是以 為坐標(biāo)的 中的向量，則 是 的基。（反例） 112 例 29 2 2 2 2( , ), ( )( ) ( )f H o m F Fa b a b b cX f Xc d c d d aR f K f?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?設(shè) 定義為：對求 及 的一組基及維數(shù)。的不變子空間。 116 例 30 2( , ) , ..f Hom V V f fIOfVOO? ? ??? ????????設(shè) 且 證明：在 的任意基下的矩陣均相似于117 線性空間的同構(gòu) 定義：假設(shè),UV都是數(shù)域 F 上的線性空間。 如果,UV之間存在同構(gòu) 映 射，則稱,UV是 同構(gòu)的 ，記為 VU? 。則12, , , s? ? ?線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)12( ) , ( ) , , ( )sf f f U? ? ? ?線性相關(guān)。 121 第二章 內(nèi)積空間、等距變換 122 第一節(jié) 基本概念 本章的目的：將內(nèi)積推廣到抽象的線性空間 約定：數(shù)域 F指實數(shù)域 R或復(fù)數(shù)域 C , ,1 . , , 0 。3 . , , , , , 。定義了內(nèi)積的線性空 內(nèi)積 內(nèi)積空間歐基里德空間稱為 。123 例 1 .,.1 ???? TnRV ????.,.2 At r BBARV Tnn ???? ?.)()()(),(],[.3 1 13 ?????? dxxgxfxgxfxRV.,.4 ???? HnCV ????124 內(nèi)積的性質(zhì) 。,.2 ????? ???? kk。則稱若 ?? 1?性質(zhì)：；且 ????? ?????? 0,0,.1 V。而且，等號成立 ???128 三角不等式 ?????? ????? , V??定義：向量 ， 間的 距離 定義為???? ??)( ，d：三角不等式的距離形式),(),(),(, ????????? dddV ????129 正交性 ? ? ? ?定義：若向量 ， 的內(nèi)積為零，則稱 ， 是 正交 的。記 ?? ?222 ?????? ???? ，則勾股定理：若130 標(biāo)準(zhǔn)正交基 定義： 由 兩 兩 正 交 的 非 零 向 量 組 成 的 向 量 組 。 作 為 正 交 向 量 組 的 基 稱 為 是 。標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基131 標(biāo)準(zhǔn)正交基下的內(nèi)積 XYYXVVHnn??????????????, 2121則，的坐標(biāo)是下在的標(biāo)準(zhǔn)正交基，是設(shè) ??nCYX ??? ,明顯地， V 的一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)相應(yīng)的度量矩陣是單位陣。設(shè) Vs ???? , 21 ?正交化：:令11111111111132222333111122211,,,??????????????????????????????????????????????????????????????????? ssssssss???????單位化：siiii,2,11??? ???133 例 2 121225VV????????假 設(shè) 在 基 ， 下 的 度 量 矩 陣 是 。134 例 3 311[]( ) , ( ) ( ) ( ).V R xf x g x f x g x dxV??? ? ? ?在 中 定 義 內(nèi) 積 ：求 的 一 組 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基135 酉矩陣 .Hn A A A I?定 義 ： 階 復(fù) 矩 陣 稱 為 是 ， 若酉 矩 陣1 HAAA????????????? ? ?命題： 是酉矩陣的標(biāo)準(zhǔn)正交基。是標(biāo)準(zhǔn)正交基則， Un ???? , 21 ?137 性質(zhì) 1 . 若,AB是同階酉矩陣，則 1A ? ， AB 都是酉矩陣。 Schmidt正交化方法的應(yīng)用 138 注 使得的基，則有標(biāo)準(zhǔn)正交基是如果 nn V ?????? , 2121 ??Tnn ),(),( 2121 ?????? ?? ?對角元均大于零。 140 例 4 假設(shè)矩陣1 1 21 0 11 1 1A????? ?????，求 A 的 UT 分解。142 第二節(jié) 正交補空間 , . .W V V W W? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?定 義 ： 設(shè) 若 ， ， 稱。,.4 W V V W W ?? ? ?：若 則定理, , .V W U W U U W ?? ? ? ?而 且 ， 若 且 則? ? ., WWVW ?? ??則推論：若144 正交補空間的計算 .:s n n sA C f C C???假 設(shè) 定 義 線 性 映 射 為 ：( ) , nf x Ax x C? ? ?？和問題：如何計算 ?? )()( AKARf 的值域和核空間分別記為 ( ) , ( )R A K A 。147 一個幾何問題 空間中點到直線的距離： 150 例 6 中的正投影。 152 應(yīng)用 Fourier系數(shù) 在線性空間[ , ]C ???上定義內(nèi)積( ) , ( ) ( ) ( )f x g x f x g x dx???? ?? ?。記子空間 ( 1 , c o s , sin , , c o s , sin )nW L x x n x n x? 求[ , ]()f x C ????在nW中的正投影。154 第三節(jié) 等距變換 ( , ) .V f H o m V V?定 義 ： 設(shè) 是 內(nèi) 積 空 間 ， 若,)(),( ?? ? ?? ???? ff V?? ?? ,f稱是 等距變換 。F R f?若 稱 是 正交變換 ,.F C f??若是 酉變換稱155 例 8 定義為：是酉矩陣。157 ?()f ??關(guān)于直線的反射 ()f???158 歐氏空間中的反射 假設(shè) V 是一個歐氏空間， V? ? 是一個單位向量。 1. 證明：f是 V 上的正交 變換。于是，3[]Rx成為歐氏空間。 162 第三章 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 163 矩陣與線性變換 本章的目的： ? 對給定的矩陣，找一最簡單的矩陣與之相似。 164 第一節(jié) 特征值與特征向量 假設(shè) A 是 n 階方陣，0?是數(shù)，若存在 n 維列向量?，使得 ???， 且 0A ? ? ?? 則稱0?是 A 的 特征值 ， ?是 A 的屬于特征值0?的 特征向量 。 166 線性變換的特征值、特征向量 設(shè) f 是線性空間 V 上的線性變換，假設(shè)0 F? ?，V????。 167 線性變換的可對角化問題 設(shè) V 是 n 維線性空間， f 是線性空間 V 上的線性變換， 則存在 V 的基使得 f 的矩陣 是 對角陣當(dāng)且僅當(dāng) f 有 n 個線性無關(guān)的 特征向量 。求 f169 線性變換的特征值、特征向量的計算 設(shè)f在V的基12, , , n? ? ?下的矩陣是 A ，若0 F? ?，V? ?在基12, , , n? ? ?下的坐標(biāo)是0x，則()f ?在基12, , , n? ? ?下的坐標(biāo)是0Ax。 170 例 2 ,),( 222222 ??? ??? CXCCH o mf 定義為：XXf ???????????1111)(的特征值、特征向量。172 特征多項式的計算 定義：假設(shè)矩陣? ?ij nnAa ??，第121 ki i i n? ? ? ? ?行，則 A 的第12, , , ki i i行，第12, , , ki i i列交叉處的元素構(gòu)成的 k 階子式稱為 A 的一個 k 階主子式 。求設(shè) AAbbbaaaHnn.,2121???? ?????????????????????????????????178 化零多項式 ( ) ( ) ,( ) 0 .f x f A OA f x??設(shè) 是多項式。179 第二節(jié) HamiltonCayley定理 , ( ) . ( ) .nnA F C I A C A O???? ? ? ?：則定理3 設(shè)( , ) , ( ) ( ) .f H o m V V C f C f O???：設(shè) 是 的特征多項式，則定理4是上三角矩陣。2)1)(1()( ??? ???C182 最小多項式 .AA????????????定 義 ： 矩 陣 的 次 數(shù) 最 低 的 、 最 高 次 項 系 數(shù) 為 一 的 化 零 多 項 式稱 為 的 最 小 多 項 式1 ( ) , ( )( ) | ( ) .m x x Am x x????????????????性 質(zhì) ： 若 分 別 是 矩 陣 的 最 小 多 項 式 、 化 零 多 項 式 ，則式是唯一的：任意矩陣的最小多項性質(zhì) 2有相同的最小多項式。184 例 6 ?????