【正文】 素是惟一的對 V。,::對對定義新的運算39 線性空間的性質(zhì) 則上的線性空間是數(shù)域假設 ,FV。7 . , , , ( ) 。5 . , 1 。3 . , , 。 1 . , , 。 30 例 10 若 nn? 矩陣 A 滿足 2AA? ，證明： ( ) ( )r A r I A n? ? ? 31 矩陣的等價標準形 sn?矩陣 A 的秩等于 r ? A 與矩陣 rIOOO??????等價 ? 存在可逆矩陣 ,s s n nPQ??，使得rIOA P QOO??? ???? 32 .11 s n A r s r Br n C A B C????????????? ? ?：假設 矩陣 的秩為 ，證明存在 矩陣及 矩陣 ，使得 （矩陣的滿秩分解）例33 例 12： 1 1 1 2 12 2 3 0 4.1 1 4 2 52 2 7 8 8A?????????????求 的滿秩分解1 1 1 2 10 0 5 4 60 0 0 0 00 0 0 0 0A??????????????初等行變換解：6 11 1 055640 0 1550 0 0 0 00 0 0 0 0??????????? ??????初等行變換34 線性空間和線性變換 第一章 35 第一節(jié) 線性空間的定義 用 F表示實數(shù)全體（ R）或復數(shù)全體（ C） . .: 數(shù)域?qū)嵒驈褪鞘欠强占显O定義 ）（，F(xiàn)V:上定義了兩種運算及在 FV: , , , , 。)()()(.4 nBrArBAr tnns ?????)。()()(.1 BrArBAr ???。 27 例 8 求給定向量組的極大無關組 并且將其余向量用所得極大線性無關組線性表示。26 ., 21向量均是其極大無關組個線性無關的，則其中任意的秩為量組若向 rrs??? ?設 向量組12, , , s? ? ?的 部分組12,ri i i? ? ?滿足 （ 1 ）12,ri i i? ? ?線性無關 ； （ 2 ）12, , , s? ? ?中 每個 向量 均 可 由12,ri i i? ? ?線性表示 則 稱12,ri i i? ? ?是12, , , s? ? ?的 一個 極大 無關組 。2.HHHA s n b sr A r A AA A x A b??? ?? ??? ? ?設 是 矩 陣 ， 是 維 列 向 量 。 22 續(xù)例 5 ???????????????????? ??00000022111000431100111111初等行變換增廣矩陣???????????????????? ??0000002211100026140100540011初等行變換23 Gauss消元法 陣化成階梯形矩陣；用初等行變換將增廣矩確定自由未知量；用回代法找出通解。 16 3. AB?? 按列分塊， 不分塊)(),()( BrArABr ??11 1121121 1 1( , , , ), , ,tnn ntn n ni i i i it ii i ibbABbbb b b? ? ??????? ? ? ?? ? ??????????????? ????? ? ?17 4. AB?? 將 視作一塊， 按列分塊。 nn? 矩陣A 滿足什么條件時與 D 可交換？ 9 （ 3）由此導致的一些問題 ? 乘法消去律不成立 ? 一些代數(shù)恒等式對矩陣不再成立 ? ? mmmmmmmmmm BABCBACBACABABA??????? ???? 1122211,?即相應的二項式定理成立可交換時與當10 例 3 ???????????????????11??Aknn 次冪：矩陣的計算下述解：kkkkkkkkkkkkk NCNICNICNICINIANINIA??????????????? 1122211 )()()()()( ????????? 可交換，與且kkkkkkkkkkkk NCNCNCNCIA ??????? ???? 1122211 ???? ?1 1 2 2 1 11122110000 0 0k k k n k nk k kkkkkkkkkkC C CCCC? ? ? ???????? ? ? ? ?????????????11 （ 4）分塊矩陣 設 ? ? ? ? tnijnsij bBaA ?? ?? ,??????????????????????????????qrqqrrpqppqqBBBBBBBBBBAAAAAAAAAA??????????????212222111211212222111211,在一定條件下， ABC ? 也可以寫成分塊矩陣 將這兩個矩陣分塊： ???????????????prpprrCCCCCCCCCC???????212222111211其中， 1 1 2 2ij i j i j iq q jC A B A B A B? ? ? ?12 條件：上式有意義 .的行的分法一致的列的分法與 BA?13 一些常見的分塊形式 1. ? ? ? ?nsijnsij bBaA ?? ?? ,均按行進行分塊BA ,)()()( BrArBAr ????14 ? ? ? ?,)ij ijs n n tA a B b????( 設2. 分成 4 塊 假設? ? ? ?,i j i js n n tA a B b????： 11 12 11 1221 22 21 2211 11 12 21 11 12 12 2221 11 22 21 21 12 22 22A A B BABA A B BA B A B A B A BA B A B A B A B??????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???????????? 15 例 4. 假設,AB分別mn?階、nm?階 方 陣，構造矩陣 ,mmnnE A E AMGB E O E?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?。1 工 程 矩陣理論 東南大學數(shù)學系 周建華 2 教材 工程矩陣理論 張明淳，東南大學出版社 參考書 ， 北京大學，高等教育出版社 Analysis, and , Cambridge University Press, 2022 (中譯本，楊奇譯，機械工業(yè)出版社） 3 要 求 1. 重點是基本理論，基本方法； 2. 結合授課內(nèi)容，熟悉課本； 3. 通過例題，理解概念； 4. 通過練習題，熟悉理論和方法。 4 本課程大致內(nèi)容 第 0章 復習與引深 第 1章 線性空間與線性變換 第 2章 內(nèi)積空間、等距變換 第 3章 矩陣的相似標準形 第 4章 Hermite二次型 第 5章 范數(shù)及矩陣函數(shù) 第 6章 矩陣的廣義逆 5 矩陣理論 1 . .kA計算2 . .討論矩陣序列的極限3 . .A x b?求線性方程組 的近似解6 第 0章 復習與引深 1. 矩陣運算 2. 線性方程組 3. 向量組的極大無關組和秩 4. 矩陣的秩 7 (1) 存在非零零因子 例 1 0101010nnN????????????????8 (2) 不可交換 例 2. 假設12nddDd?????????????，其中，12, , , nd d d互異。 1. 計算MG和GM； 2. 證明：mnE A B E B A? ? ?。.)()(, nBrArOAB ???? 則若假設 ? ? ? ?,i j i js n n tA a B b????： 1212( , , , )( , , , )ttA B AA A A? ? ??????? ? ? ??? 18 2. 線性方程組 1. ,bAx ? ? ? ? ?Tsnsij bbbbaA ?21, ?? ?其中，? ?bArAr ?? )(有解2. ? ? .,)( nrrbArAr ???? 則有唯一解若3. ? ?( ) ,.r A r A b r n n r? ? ? ?若 則 通 解 中 含 有 個自 由 未 知 量19 齊次線性方程組的基礎解系 ,??Ax ? ?nsijaA ??其中，對于齊次線性方程組 1. 有非零解當且僅當 .)( nAr ?.,)(.2 個解向量則其基礎解系中含若 rnnAr ??3 . ( ) ,.r A n n r?????若 則其任意 個線性無關的解向量是其基礎解系20 ????????????????????????????15543423323322154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx：求下列線性方程組的解例 5 ???????????????????? ??00000022111000431100111111初等行變換增廣矩陣21 簡化階梯形矩陣 滿足下列條件的階梯形矩陣稱為 簡化階梯形矩陣 ： （ 1 ） 各個非零行的非零首元均為 1 ； （ 2 ） 除了非零首元外， 非零首元所在的列 其余元素都為 零。24 例 6 ???????????????????????????05540423303322054321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx礎解系：求齊次線性方程組的基?????????????????? ??000001110003110011111初等行變換增廣矩陣??????????????????? ??0000022100014010040011初等行變換25 例 7 1. ( ) ( ) 。 證 明 ：線 性 方 程 組 恒 有 解 。 稱 r 是12, , , s? ? ?的 秩 。 1 2 3 4 51 2 1 1 11 1 2 1 0, , , ,0 1 1 2 12 1 3 2 2? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?28 矩陣 A的秩 =A中非零子式的最高階數(shù) =A的行（列）向量組的秩 有關矩陣的秩的不等式： )。)()(,.3 nBrArOBA