【正文】 t the hyperbola describes a tradeoff between risk (as measured by ) and reward (as measured by ). Indeed, along the upper branch of the hyperbola, it is clear that to obtain a greater reward, we must invest in a portfolio with greater risk。.)One of the Assets Is Risk Free　Suppose that is a riskfree asset (., ) and put , the riskfree rate of return. Further, let denote and write , in place of , . Then the efficient set is given by, .This is a line in riskreward space with slope and intercept (see Figure ). Portfolios of Two Risky Securities and a RiskFree AssetSuppose now that we are to construct a portfolio from two risky securities and a riskfree asset. This corresponds to the problem of allocating assets among stocks, bonds, and shortterm moneymarket securities. Let , denote the returns on the risky securities and suppose that and . Further, let denote the riskfree rate.The Efficient SetFrom our discussion in 167。, we know that every portfolio consisting of the risky portfolio and the riskfree asset lies on the straight line through and (0,), and every portfolio consisting of the tangency portfolio and the riskfree asset lies on the tangent line through and (0,) (Figure ). Hence, from Figure , it is clear that every portfolio consisting of and the riskfree asset is dominated by a portfolio consisting of and the riskfree asset. Indeed, for any given risk level , there is a portfolio on the line through and (0,) with greater than the corresponding portfolio on the line through and (0,). Hence, given a choice between holding as the risky part of our portfolio and holding as the risky part, we should always choose .Consequently, the efficient portfolios lie on the line through (0,) and as claimed. Note, in particular, that the efficient portfolios all have the same risky part 。在最后一章里，我們討論基本理論的一種重要應(yīng)用：歸功于Harry?Markowitz的贏取諾貝爾獎(jiǎng)的投資組合選擇模型。Markowitz組合選擇模型已經(jīng)對(duì)投資產(chǎn)業(yè)有一個(gè)深刻作用。P 500和不試圖“擊打市場(chǎng)”的共同基金）可以被跟蹤成Markowitz模型的一個(gè)驚奇后果： 每個(gè)投資者，不考慮風(fēng)險(xiǎn)容忍，應(yīng)該拿著同樣風(fēng)險(xiǎn)保障的組合。我們對(duì)Markowitz模型的介紹用下面的方法組織。這種形式組合的一個(gè)重要例子是由一個(gè)股票共同基金和一個(gè)債券共同基金組成的組合。我們?nèi)缓罂紤]二個(gè)風(fēng)險(xiǎn)保障和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合，原型是股票共同基金、債券共同基金和貨幣市場(chǎng)基金的組合。我們由簡(jiǎn)要地談?wù)揗arkowitz模型的一個(gè)重要結(jié)果，即歸功于William Sharpe的諾貝爾獎(jiǎng)贏取資本資產(chǎn)定價(jià)模型結(jié)束本章。像Markowitz模型一樣，資本定價(jià)模型（CAPM）對(duì)組合管理實(shí)踐有著深刻的影響。這兩保證金可以是一個(gè)股票共同基金和一個(gè)債券共同基金, 在這種情形組合選擇問題相當(dāng)于資產(chǎn)分配, 或可能是其它別的。組合機(jī)會(huì)集合讓我們由描述可以被由和建立的可能的投資組合集合開始。讓和表示在和上在經(jīng)歷一個(gè)現(xiàn)在開始且在未來某固定點(diǎn)及時(shí)結(jié)束的這一未來時(shí)間段上簡(jiǎn)單的回報(bào)，并讓表示投資組合對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單回報(bào)。這時(shí)，在指定時(shí)期內(nèi)投資組合的回報(bào)是，其中是當(dāng)前被投資在中的組合比例。現(xiàn)在如果和是風(fēng)險(xiǎn)保障，本節(jié)我們都要這樣假設(shè)，那么、和都是隨機(jī)變量。這也許是一個(gè)條件強(qiáng)的假定。然后，從正態(tài)分布的性質(zhì)（見167。因此，由于是和的一個(gè)線性組合，由和組成的可能的投資組合集合可以由平面中的曲線所描述。注意到當(dāng)，保持不變時(shí)，和隨著改變。則前面關(guān)于的等式可以被寫為，其中，是只依賴和的參數(shù)，且。因此，可能的投資組合位于曲線，這是以為頂點(diǎn)的一個(gè)雙曲線的右邊一半（）。的確，沿雙曲線的上半支，明顯獲得一個(gè)更加巨大的收益，我們必須以更大的風(fēng)險(xiǎn)去投資一份組合投資；換句話說，“沒有痛苦，沒有取得。原因是對(duì)任一個(gè)選擇的風(fēng)險(xiǎn)水平， 具有標(biāo)準(zhǔn)差為的上半支的投資組合總比具有標(biāo)準(zhǔn)差為的下半支的投資組合有更高的期望回報(bào)（即有更高的收益）。結(jié)果，只需要被進(jìn)一步考慮的組合就是在上半分支的那些。一般地，一份有效資產(chǎn)組合是對(duì)一個(gè)給定的風(fēng)險(xiǎn)水平能提供最高收益的組合。要做到這點(diǎn)，我們需要考慮投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的承受力。我們很快看見這的確是實(shí)際情形。2. 當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)投資者對(duì)選擇以回報(bào)投資和以回報(bào)投資漠不關(guān)心。注意通常不同的投資者有不同的效用函數(shù)。簡(jiǎn)單起見，我們假設(shè)每個(gè)投資者有以下形式的效用函數(shù)，其中是一個(gè)測(cè)量投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平的值并且它對(duì)各個(gè)投資者是唯一的。對(duì)于假設(shè)一個(gè)這種形式的效用函數(shù)有真正的理論原因。注意到在假設(shè)一個(gè)效用函數(shù)具有這種形式時(shí)，我們暗含著假設(shè)在具有同樣風(fēng)險(xiǎn)水平的投資組合中，您是選擇期望收益更大的，而在具有同樣期望收益的投資組合中，選擇風(fēng)險(xiǎn)較少的?；蛘哌@個(gè)優(yōu)化問題也可用多元微積分中的拉格朗日乘子法方法解決。最優(yōu)的投資組合在這個(gè)圖用表示）。詳細(xì)進(jìn)行最優(yōu)化，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)和都是兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)保障時(shí)（即和)，最優(yōu)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益坐標(biāo)是。評(píng)述 我們已經(jīng)假設(shè)，沒有保證金的短期銷售是可能的（即我們已經(jīng)假設(shè)可以是任一個(gè)實(shí)數(shù)值，包括在區(qū)間[0,1]之外的值）。例1: 設(shè)債券基金的收益期望值為5%和標(biāo)準(zhǔn)差為12%，股票基金的收益期望值為10%和標(biāo)準(zhǔn)差為20%。假設(shè)沒有保證金的短期銷售是可能的，確定投資者在股票和債券之間的最優(yōu)份額。因此，如果，分別代表在證券和股票基金上的收益，則。由已推出的公式，最優(yōu)組合的期望收益是，這里， 和 。 這樣，對(duì)一個(gè)$1000的投資組合，對(duì)賣出空頭$$。從頭到尾，我們假設(shè)和是滿足和的保證金（且的情況不使人感興趣，因?yàn)橹罂偸潜群茫ＹY產(chǎn)是完全正相關(guān)的　假設(shè)（即和完全正相關(guān)的）。資產(chǎn)是完全負(fù)相關(guān)的　假設(shè)（即和完全負(fù)相關(guān)的）。資產(chǎn)是不相關(guān)的　假設(shè)。因此，即使具有低風(fēng)險(xiǎn)承受力水平的投資者也應(yīng)該讓他們投資組合的一部分投資在高風(fēng)險(xiǎn)保證金里（也可參見在167。資產(chǎn)之一是無風(fēng)險(xiǎn)的　假設(shè)是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（即），令，無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率。則有效集如下給出。 兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)保證金和一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合現(xiàn)在假設(shè)，我們要從兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)保證金和一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)造一個(gè)投資組合。讓，表示在風(fēng)險(xiǎn)保證金的收益并且假設(shè)和。有效集從我們?cè)?67。我們主張當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)也可利用時(shí)，有效集由過(0,)點(diǎn)的切線上的投資組合組成（）。為看清為什么是這樣，考慮一份只包括和的投資組合，并且讓是切觸投資組合（既在雙曲線上又在切線上的投資組合）。我們知道，由風(fēng)險(xiǎn)投資組合和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的每一投資組合位于過和(0,)點(diǎn)的直線上，由切觸投資組合和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的每一投資組合位于過和(0,)的切線上（）。的確，對(duì)任意給定的風(fēng)險(xiǎn)水平，在過和(0,)的直線上都有一投資組合比在過和(0,)的切線上的相應(yīng)投資組合具有更大的。因此，如前所述有效資產(chǎn)投資組合位于過(0,)和的直線上。這個(gè)驚奇的結(jié)果，它為每個(gè)投資者對(duì)指數(shù)共同基金的使用提供了一個(gè)理論的辯解，這是著名的共同基金分離定理。當(dāng)效用函數(shù)具有形式時(shí)，這是一個(gè)直接的問題（)。細(xì)節(jié)留給讀者。因此，確定的坐標(biāo)的一個(gè)方法是解以下最優(yōu)化問題：最大化： 滿足： ?；仡櫼幌掠行У耐顿Y組合是對(duì)于給定期望收益的一個(gè)水平，具有最少風(fēng)險(xiǎn)（即最小的）的組合。讓，分別是被分配到，和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)額。注意不含的任何項(xiàng)！因此，最優(yōu)化問題可以被寫成最小化： 滿足： 。（將代入第一個(gè)條件）。事實(shí)上，因?yàn)樵趦蓚€(gè)優(yōu)化問題中要求，是相同的，所以仍然能被最小化。一般地，我們將有和，這里，是拉格朗日乘子。進(jìn)行必要的微分，我們獲得，或者等價(jià)地，其中?，F(xiàn)在切觸投資組合位于有效集上并且有的性質(zhì)（即切觸投資組合的任何部份都不被投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上）。的確，因?yàn)槲挥谟行Ъ?，我們必須?,)=(,)，并且因?yàn)?，我們必須有?