【正文】 所求概率分別為： （ 1） P(B)＝ )P(B|A3) 第 16 頁 共 62 頁 ＝ ＋ ＋ ＝ ＝＝ ＋ ＋ 3個(gè)設(shè)有紅綠燈的十字路口。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標(biāo)準(zhǔn)差。 設(shè)途中遇到紅燈的次數(shù)＝ X，因此， X～ B(3， )。保險(xiǎn)費(fèi)每人 50 元。試求未來一年該保險(xiǎn)公司將在該項(xiàng)保險(xiǎn)中（這里不考慮保險(xiǎn)公司的其它費(fèi)用）： （ 1）至少獲利 50萬元的概率； （ 2）虧本的概率； （ 3）支付保險(xiǎn)金額的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 （ 1）收入＝ 2022050（元）＝ 100萬元。所求概率為： P(X ≤10)＝ 。所求概率為： P(X20)＝ 1－ P(X≤20)＝ 1－ ＝ （ 3）支付保險(xiǎn)金額的均值＝ 50000E(X) ＝ 5000020220（元）＝ 50（萬元） 支付保險(xiǎn)金額的標(biāo)準(zhǔn)差＝ 50000σ(X) ＝ 50000(20220)1/2＝ 158074（元） ，試問： （ 1）可否利用泊松分布來近似計(jì)算？ （ 2）可否利用正態(tài)分布來近似計(jì)算？ （ 3）假如投保人只有 5000人，可利用哪種分布來近似計(jì)算？ 解 : （ 1）可以。本例中，λ= np=20220=10，即有 X～ P(10)。 （ 2）也可以。 本例中， np=20220=10， np(1p)=20220()=， 即有 X ～ N(10,)。 可見誤差比較大（這是由于 P太小，二項(xiàng)分布偏斜太嚴(yán)重）。 （ 3）由于 p＝ ，假如 n=5000，則 np＝ 5，二項(xiàng)分布呈明顯的偏態(tài)，用正態(tài)分 第 17 頁 共 62 頁 布來計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)非常大的誤差。 ，且均值為 200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為 30小時(shí)。試求該企業(yè)生產(chǎn)的電池的：（ 1）合格率是多少？（ 2）電池壽命在 200左右多大的范圍（取整數(shù)） （ 2） ＝ ＝ 第 4章 抽樣與抽樣分布 ——練習(xí)題 (全免 ) 1. 一個(gè)具有 個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本抽自于均值等于 標(biāo)準(zhǔn)差等于 16 的總體。你的回答依賴于樣本容量嗎？ ⑶ 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) z統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)于 的值。 解 : 已知 n=64，為大樣本， μ=20， σ=16， ⑴ 在重復(fù)抽樣情況下，的抽樣分布的均值為 a. 20, 2 b. 近似正態(tài) c. d. 2 . 參考練習(xí) 。 解 : a. b. c. d. e. 3. 一個(gè)具有 個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本選自于 、 的總體。 ⑴ 你預(yù)計(jì)的最大值和最小值是什么？ ⑵ 你認(rèn)為至多偏離 多么遠(yuǎn)？ ⑶ 為了回答 b你必須要知道 嗎？請(qǐng)解釋。假設(shè) x的取值的可能性是相同的。對(duì)于每一個(gè)樣本容量，構(gòu)造的 500個(gè)值的相對(duì)頻率直方圖。 解 :趨向正態(tài) 6. 美國汽車聯(lián)合會(huì)（ AAA）是一個(gè)擁有 90個(gè)俱樂部的非營利聯(lián)盟，它對(duì)其成員提供旅行、 金融、保險(xiǎn)以及與汽車相關(guān)的各項(xiàng)服務(wù)。假設(shè)這個(gè) 花費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)差是 15美元，并且 AAA所報(bào)道的平均每日消費(fèi)是總體均值。 ⑴ 描述（樣本家庭平均每日餐飲和住宿的消費(fèi)）的抽樣分布。每袋的平均重量標(biāo)準(zhǔn)為 克、標(biāo)準(zhǔn)差 為 克?，F(xiàn)考慮這 36袋奶粉所組成樣本的平均重量。每一種股 票月收益率的均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差 。投資者的每月收益率的方差是 它是 ， 投資者所面臨風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)度量。 解： a. 增加 b. 減少 9. 某制造商為擊劍運(yùn)動(dòng)員生產(chǎn)安全夾克，這些夾克是以劍鋒刺入其中時(shí)所需的最小力量（以 牛頓為單位）來定級(jí)的。國際擊劍管理組織（ FIE）希望這些夾克的最低級(jí)別不小于 800 牛頓。她假設(shè)這個(gè)過程的標(biāo)準(zhǔn)差是固定的，但是擔(dān)心級(jí)別均值可能已經(jīng)發(fā)生變化。在這種情況下 x的抽樣分布是什么？當(dāng) x具有這種分布時(shí)，則 x≤830牛頓的概率是多少？ 解： a. 正態(tài) b. 約等于 0 c. 不正常 d. 正態(tài) , 10. 在任何生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品質(zhì)量的波動(dòng)都是不可避免的。 一個(gè)去除了質(zhì)量變化的所有特殊原因的生產(chǎn)過程被稱為是穩(wěn)定的或者是在統(tǒng)計(jì)控 制中的。假如隨機(jī)變化太大，則管理部門不能接受，但只要消除變化的共同原因，便可減少變化（ Deming,1982,1986。 通常的做法是將產(chǎn)品質(zhì)量的特征繪制到控制圖上，然后觀察這些數(shù)值隨時(shí)間如何變 動(dòng)。假設(shè)這個(gè)過程是在統(tǒng)計(jì)控制中的，則 x的分布將具有過程的均值 ，標(biāo)準(zhǔn)差具有過程的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的平方根， 。假如 x落在界限的外面，則有充分的理由說明目前存在變化的特殊原因，這個(gè)過程一定是失 控的。 ⑴ 假設(shè) 則上下控制極限應(yīng)距離 多么遠(yuǎn)？ ⑵ 假如這個(gè)過程是在控制中，則落在控制極限之外的概率是多少？ ⑶ 假設(shè)抽取樣本之前，過程均值移動(dòng)到 ，則由樣本得出這個(gè)過程失控的（正 確的）結(jié)論的概率是多少？ 解： a. b. c. . 參考練習(xí) 。特 別地，當(dāng)加工過程在控制中時(shí)，公司愿意接受落在控制極限外面的概率是 。 若 ，則落在控制極限外面的概率是多少？若 呢？ 解： a. (, ) b. , . 參考練習(xí) 。 第 20 頁 共 62 頁 警戒限一般被設(shè)定為 。 ⑴ 假設(shè)肥皂加工過程是在控制中（即，它遵循 和 的正態(tài)分布），則的下一個(gè)值落在警戒限之外的概率是什么？ ⑵ 假設(shè)肥皂加工過程是在控制中，則你預(yù)料到畫在控制圖上的的這 40個(gè)值中有多 少個(gè)點(diǎn)落在上控制極限以上？ ⑶ 假設(shè)肥皂加工過程是在控制中，則的兩個(gè)未來數(shù)值落在下警戒線以下的概率是多 少？ 解： a. b. 1 c. 第 5章 參數(shù)估計(jì) ●1. 從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為 5的總體中抽出一個(gè)容量為 40的樣本，樣本均值為 25。 ●，在為期 3周的時(shí)間里選取 49名顧客組成了一個(gè)簡單隨機(jī)樣本。 解：（ 1）已假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為 σ=15元， 則樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 σ 15= （ 2）已知置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 于是，允許誤差是 E =Zα/26=。 第 21 頁 共 62 頁 ●，在全校 7500名學(xué)生中采取不重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取 36人，調(diào)查他們每天上網(wǎng)的時(shí)間，得 到下面的數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）： 求該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間，置信水平分別為 90%、 95%和 99%。 ⑶ 計(jì)算樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差： 已知樣本容量 n=36，為大樣本， 得樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 σ s ⑷ 分別按三個(gè)置信水平計(jì)算總體均值的置信區(qū)間： ① 置信水平為 90%時(shí)： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=90%，通過 2β－ 1= 布的置信水平 β=，查單側(cè)正態(tài)分布表得 Zα/2=， 計(jì)算得此時(shí)總體均值的置信區(qū)間為 可知，當(dāng)置信水平為 90%時(shí)，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間為（ ， ）小時(shí)； ② 置信水平為 95%時(shí)： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 計(jì)算得此時(shí)總體均值的置信區(qū)間為 177。 4. 從一個(gè)正態(tài)總體中隨機(jī)抽取容量為 8 的樣本，各樣本值分別為： 10,8,12,15,6,13,5,11。 解：（ ,）。 解：（ ,）。其中擁有該品牌電視機(jī)的家庭占 23%。 解：已知樣本容量 n =200，為大樣本，擁有該品牌電視機(jī)的家庭比率 p =23%， 擁有該品牌電視機(jī)的家庭比率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 σ p ⑴ 雙側(cè)置信水平為 90%時(shí)，通過 2β－ 1= 換算為單側(cè)正態(tài)分布的置信水平 β=，查單側(cè)正態(tài)分布表得 Zα/2=， 此時(shí)的置信區(qū)間為 可知，當(dāng)置信水平為 90%時(shí)，擁有該品牌電視機(jī)的家庭總體比率的置信區(qū)間為（ %， %）。 第 23 頁 共 62 頁 ● 500 戶，小區(qū)管理者準(zhǔn)備采取一項(xiàng)新的供水設(shè)施，想了解居民是否贊成。 （ 1）求總體中贊成該項(xiàng)改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間，置信水平為 95%； （ 2）如 果小區(qū)管理者預(yù)計(jì)贊成的比率能達(dá)到 80%，應(yīng)抽取多少戶進(jìn)行調(diào)查？ 解： 已知總體單位數(shù) N=500，重復(fù)抽樣，樣本容量 n =50，為大樣本， 樣本中，贊成的人數(shù)為 n1=32，得到贊成的比率為 p = n132==64% n50 （ 1）贊成比率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 =% 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 計(jì)算得此時(shí)總體戶數(shù)中贊成該項(xiàng)改革的戶數(shù)