【正文】 碎片與破盤之間的內力變?yōu)榱悖珒攘Σ挥绊懴到y(tǒng)的總角動量，碎片與破盤的總角動量應守恒，即 RmvII 0???? ?? 式中 ?? 為破盤的角速度．于是 RmvmRMRMR 0222 )21(21 ???? ?? ?? ???? )21()21( 2222 mRMRmRMR 得 ???? (角速度不變 ) 圓盤余下部分的角動量為 ?)21( 22 mRMR ? 轉動動能為 題 231 圖 222 )21(21 ?mRMRE k ?? 231 一質量為 m 、半徑為 R的自行車輪，假定質量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉動．另一質量為 0m 的子彈以速度 0v 射入輪緣(如題 231圖所示方向 )． (1)開始時輪是靜止的，在質點打入后的角速度為何值 ? (2)用 m , 0m 和 ? 表示系統(tǒng) (包括輪和質點 )最后動能和初始動能之比． 解 : (1)射入的過程對 O 軸的角動量守恒 ?? 2022 )(s in RmmvmR ?? ∴ Rmmvm )( sin000?? ?? (2) 020200200020 s i n21])( s i n][)[(210 mmmvmRmmvmRmmEEkk????? ?? 232 彈簧、定滑輪和物體的連接如題 232圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為 N178。 m2，半徑為 ，問當 kg質量的物體落下 時，它的速率為多大 ? 假設開始時物體靜止而彈簧無伸長． 解 : 以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng)， 2022614 編輯 16 重物下落的過程中，機械能守恒，以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則有 222 212121 khImvm gh ??? ? 又 Rv/?? 故有 ImR kkhm ghv ??? 222 )2( 1222)(???????????? 題 232 圖 題 233 圖 233 空心圓環(huán)可繞豎直軸 AC 自由轉動，如題 233 圖所示，其轉動慣量為 0I ，環(huán)半徑為R ，初始角速度為 0? ．質量為 m 的小球，原來靜置于 A 點，由于微小的干擾，小球向下滑動．設圓環(huán)內壁是光滑的，問小球滑到 B 點與 C 點時，小球相對于環(huán)的速率各為多少 ? 解 : (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當小球滑至 B 點時，有 ?? )( 2022 mRII ?? ① 該系統(tǒng)在轉動過程中，機械能守恒，設小球相對于圓環(huán)的速率為 Bv ，以 B 點為重力勢能零點，則有 2220200 21)(2121 BmvmRIm gRI ???? ?? ② 聯(lián)立①、② 兩式，得 2022022mRI RIgRv B ??? ? (2)當小球滑至 C 點時，∵ 0IIc? ∴0?? ?c 故由機械能守恒，有 221)2( cmvRmg ? ∴ gRvc 2? 請讀者求出上述兩種情況下，小球對地速度． 第三章 31 慣性系 S′相對慣性系 S 以速度 u 運動．當它們的坐標原點 O 與 O? 重合時，t =t? =0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測者觀測該光波的波陣面形狀如何 ?用直角坐標系寫出各自觀測的波陣面的方程． 解 : 由于時間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變原理，光訊號為球面波．波陣面方程為： 2222 )(ctzyx ??? 2222 )( tczyx ??????? 題 31圖 32 設圖 34中車廂上觀測者測得前后門距離為 2l ．試用洛侖茲變換計算地面上的觀測者測到同一光信號到達前、后門的時間差． 解 : 設光訊號到達前門為事件 1，在車廂 )(S?系時空坐標為 ),(),( 11 clltx ??? ，在車站 )(S系： )1()()( 21211 cucllcuclxcutt ???????? ??? 光信號到達后門為事件 2 ，則在車廂 )(S? 系坐標為 ),(),( 22 clltx ???? ，在車站 )(S 系： )1()( 2222 cuclxcutt ?????? ?? 于是 212 2 clutt ???? 或者 lxxxtttt 2,0 2121 ????????????? 2022614 編輯 17 )2()( 22 lcuxcutt ?? ???????? 33 慣性系 S′相對另一慣性系 S 沿 x 軸作勻速直線運動，取兩坐標原點重合時刻作為計時起點．在 S系中測得兩事件的時空坐標分別為 1x =6179。 104s，以及 2x =12179。 104s．已知在 S′系中測得該兩事件同時發(fā)生．試問： (1)S′系相對 S系的速度是多少 ? (2) S? 系中測得的兩事件的空間間隔是多少 ? 解 : 設 )(S? 相對 S 的速度為 v ， (1) )( 1211 xcvtt ??? ? )( 2222 xcvtt ??? ? 由題意 012 ???? tt 則 )( 12212 xxcvtt ??? 故 812122 ???????? cxx ttcv1sm?? (2) 由 洛 侖 茲 變 換 )(),( 222111 vtxxvtxx ?????? ?? 代入數(shù)值， 412 ????? xx 34 長度 0l =1 m S′系中，與 x ′ 軸的夾角 39。 S′系相對 S系沿 x軸運動，在 S系中觀測者測得米尺與 x 軸夾角為 ?? 45? ． 試求： (1)S′系和 S系的相對運動速度 .(2)S系中測得的米尺長度． 解 : (1)米尺相對 S? 靜止，它在 yx ??, 軸上的投影分別為： o s0 ???? ?LL x ， ???? ?LL y 米尺相對 S 沿 x 方向運動，設速度為 v ，對 S系中的觀察者測得米尺在 x 方向收縮，而 y 方向的長度不變，即 yyxx LLcvLL ????? ,1 22 故 221t a ncvLLLLLLxyxyxy???????? 把 ο45?? 及 yx LL ??, 代入 則得 22 ??cv 故 cv ? (2)在 S 系中測得米尺長度為 ??? yLL 35 一門寬為 a ，今有一固有長度 0l (0l ＞ a )的水平細桿，在門外貼近門的平面內沿其長度方向勻速運動．若站在門外的觀察者認為此桿的兩端可同時被拉進此門，則該桿相對于門的運動速率 u 至少為多少 ? 解 : 門外觀測者測得桿長為運動長度，20 )(1 cull ?? ，當 a?1 時，可認為能被拉進門，則 20 )(1 cula ?? 解得桿的運動速率至少為：20)(1 lacu ?? 題 36圖 36兩個慣性系中的觀察者 O 和 O? 以 (c表示真空中光速 )的相對速度相互接近，如果O 測得兩者的初始距離是 20m，則 O? 測得兩者經過多少時間相遇 ? 解 : O 測得相遇時間為 t? cvLt ??? O? 測得的是固有時 t?? ∴ vLtt20 1 ?? ?????? 8??? ， 2022614 編輯 18 ??cv? ， ?? ， 或者， O? 測得長度收縮， vLtLLLL ???????? , 02020 ? 880 ????? ???? cLt? 37 觀測者甲乙分別靜止于兩個慣 性參考系S 和 S? 中，甲測得在同一地點發(fā)生的兩事件的時間間隔為 4s，而乙測得這兩個事件的時間間隔為 5s．求： (1) S? 相對于 S 的運動速度． (2)乙測得這兩個事件發(fā)生的地點間的距離． 解 : 甲測得 0,s4 ?? xt ?? , 乙測得s5?t? ，坐標差為 12 xxx ?????? ′ (1) ∴ tcvtxcvtt ??????????22 )(11)( ?? ? 541 22 ?????? ttcv 解出 ccttcv 53)54(1)(1 22 ???????? ?? 1sm?? (2) ? ? 0,45, ???? ????????? xtttvxx ?? ∴ m109345345 8???????????? cctvx ??? 負號表示 012 ???? xx ． 38 一宇航員要到離地球為 5光年的星 球去旅行．如果宇航員希望把這路程縮短為 3光年，則他所乘的火箭相對于地球的速度是多少 ? 解 : 2220 153,1513 ??? ???????? 則ll ∴ ccv 542591 ??? 39 論證以下結論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同地點，在有相對運動的其他慣性系中，這兩個事件一定不同時． 證 : 設在 S 系 BA、 事件在 ba, 處同時發(fā)生，則 BAab tttxxx ?????? , ，在 S? 系中測得 )( 2 xcvtttt AB ?????????? ? ? 0,0 ???? xt ， ∴ 0???t 即不同時發(fā)生． 310 試 證明： (1)如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短． (2)如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性關系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短． 解 : (1)如果在 S? 系中，兩事件 BA、 在同一地 點 發(fā) 生 ， 則 0???x ，在 S 系 中 ，ttt ??????? ? ，僅當 0?v 時，等式成立，∴ t?? 最短． (2)若在 S? 系中同時發(fā)生，即 0???t ，則在 S系中， xxx ??????? ? ，僅當 0?v 時等式成立，∴ S? 系中 x?? 最短． 311 根據(jù)天文觀測和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠離我們而去．假定地球上觀察到一顆 脈沖星 (發(fā)出周期無線電波的星 )的脈沖周期為 ，且這顆星正沿觀察方向以速度 ．問這顆星的固有周期為多少 ? 解 : 以脈沖星為 S? 系， 0???x ，固有周期0????t . 地球為 S 系 ， 則 有 運 動 時tt ???? ?1 ，這里 1t? 不是地球上某點觀測到的周期，而是以地球為參考系的兩異地鐘讀數(shù)之差．還要考慮因飛行遠離信號的傳遞時間，ctv1? ∴ 2022614 編輯 19 tcvtc tvtt ?????????? ??11 ′ )1( cvt ??? ?? 1)(112???cc? 則 ??? )()1(0 c ccvtt???????? 1)( ???? 312 6000m 的高空大氣層中產生了一個 ?介子以速度 v =．假定該 ? 介子在其自身靜止 系中的壽命等于其平均壽命2179