【正文】 S′系相對(duì) S系沿 x軸運(yùn)動(dòng)，在 S系中觀測(cè)者測(cè)得米尺與 x 軸夾角為 ?? 45? ． 試求： (1)S′系和 S系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度 .(2)S系中測(cè)得的米尺長度． 解 : (1)米尺相對(duì) S? 靜止，它在 yx ??, 軸上的投影分別為： o s0 ???? ?LL x ， ???? ?LL y 米尺相對(duì) S 沿 x 方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為 v ，對(duì) S系中的觀察者測(cè)得米尺在 x 方向收縮，而 y 方向的長度不變，即 yyxx LLcvLL ????? ,1 22 故 221t a ncvLLLLLLxyxyxy???????? 把 ο45?? 及 yx LL ??, 代入 則得 22 ??cv 故 cv ? (2)在 S 系中測(cè)得米尺長度為 ??? yLL 35 一門寬為 a ，今有一固有長度 0l (0l ＞ a )的水平細(xì)桿，在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長度方向勻速運(yùn)動(dòng)．若站在門外的觀察者認(rèn)為此桿的兩端可同時(shí)被拉進(jìn)此門，則該桿相對(duì)于門的運(yùn)動(dòng)速率 u 至少為多少 ? 解 : 門外觀測(cè)者測(cè)得桿長為運(yùn)動(dòng)長度，20 )(1 cull ?? ，當(dāng) a?1 時(shí)，可認(rèn)為能被拉進(jìn)門，則 20 )(1 cula ?? 解得桿的運(yùn)動(dòng)速率至少為：20)(1 lacu ?? 題 36圖 36兩個(gè)慣性系中的觀察者 O 和 O? 以 (c表示真空中光速 )的相對(duì)速度相互接近，如果O 測(cè)得兩者的初始距離是 20m，則 O? 測(cè)得兩者經(jīng)過多少時(shí)間相遇 ? 解 : O 測(cè)得相遇時(shí)間為 t? cvLt ??? O? 測(cè)得的是固有時(shí) t?? ∴ vLtt20 1 ?? ?????? 8??? ， 2022614 編輯 18 ??cv? ， ?? ， 或者， O? 測(cè)得長度收縮， vLtLLLL ???????? , 02020 ? 880 ????? ???? cLt? 37 觀測(cè)者甲乙分別靜止于兩個(gè)慣 性參考系S 和 S? 中，甲測(cè)得在同一地點(diǎn)發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔為 4s，而乙測(cè)得這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為 5s．求： (1) S? 相對(duì)于 S 的運(yùn)動(dòng)速度． (2)乙測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的地點(diǎn)間的距離． 解 : 甲測(cè)得 0,s4 ?? xt ?? , 乙測(cè)得s5?t? ，坐標(biāo)差為 12 xxx ?????? ′ (1) ∴ tcvtxcvtt ??????????22 )(11)( ?? ? 541 22 ?????? ttcv 解出 ccttcv 53)54(1)(1 22 ???????? ?? 1sm?? (2) ? ? 0,45, ???? ????????? xtttvxx ?? ∴ m109345345 8???????????? cctvx ??? 負(fù)號(hào)表示 012 ???? xx ． 38 一宇航員要到離地球?yàn)?5光年的星 球去旅行．如果宇航員希望把這路程縮短為 3光年，則他所乘的火箭相對(duì)于地球的速度是多少 ? 解 : 2220 153,1513 ??? ???????? 則ll ∴ ccv 542591 ??? 39 論證以下結(jié)論：在某個(gè)慣性系中有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在不同地點(diǎn)，在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的其他慣性系中，這兩個(gè)事件一定不同時(shí)． 證 : 設(shè)在 S 系 BA、 事件在 ba, 處同時(shí)發(fā)生，則 BAab tttxxx ?????? , ，在 S? 系中測(cè)得 )( 2 xcvtttt AB ?????????? ? ? 0,0 ???? xt ， ∴ 0???t 即不同時(shí)發(fā)生． 310 試 證明： (1)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性系來說這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔，只有在此慣性系中最短． (2)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同時(shí)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性關(guān)系來說這兩個(gè)事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短． 解 : (1)如果在 S? 系中，兩事件 BA、 在同一地 點(diǎn) 發(fā) 生 ， 則 0???x ，在 S 系 中 ，ttt ??????? ? ，僅當(dāng) 0?v 時(shí)，等式成立，∴ t?? 最短． (2)若在 S? 系中同時(shí)發(fā)生，即 0???t ，則在 S系中， xxx ??????? ? ，僅當(dāng) 0?v 時(shí)等式成立，∴ S? 系中 x?? 最短． 311 根據(jù)天文觀測(cè)和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠(yuǎn)離我們而去．假定地球上觀察到一顆 脈沖星 (發(fā)出周期無線電波的星 )的脈沖周期為 ，且這顆星正沿觀察方向以速度 ．問這顆星的固有周期為多少 ? 解 : 以脈沖星為 S? 系， 0???x ，固有周期0????t . 地球?yàn)?S 系 ， 則 有 運(yùn) 動(dòng) 時(shí)tt ???? ?1 ，這里 1t? 不是地球上某點(diǎn)觀測(cè)到的周期，而是以地球?yàn)閰⒖枷档膬僧惖冂娮x數(shù)之差．還要考慮因飛行遠(yuǎn)離信號(hào)的傳遞時(shí)間，ctv1? ∴ 2022614 編輯 19 tcvtc tvtt ?????????? ??11 ′ )1( cvt ??? ?? 1)(112???cc? 則 ??? )()1(0 c ccvtt???????? 1)( ???? 312 6000m 的高空大氣層中產(chǎn)生了一個(gè) ?介子以速度 v =．假定該 ? 介子在其自身靜止 系中的壽命等于其平均壽命2179。 104s，以及 2x =12179。處． (1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速 0v的值； (2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量 ? 解 : (1)設(shè)小球的初速度為 0v ，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為 ? ，而小球的速度變?yōu)?v ，按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式： mvlIlmv ?? ?0 ① 2220 212121 mvImv ?? ? ② 上兩式中 231MlI? ，碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為 棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度 o30?? ，按機(jī)械能守恒定律可列式： )30c os1(221 2 ??? lMgI? ③ 由③式得 2121)231(3)30c o s1( ?????? ???????? ??? lgIM g l? 由①式 mlIvv ??? 0 ④ 由②式 2022614 編輯 15 mIvv 2202 ??? ⑤ 所以 2200 1)( 2 ?? mvmlIv ??? 求得 glm MmmMlmlIlv???????31232(6)311(2)1(2 20 ?? (2)相碰時(shí)小球受到的沖量為 ? ???? 0d mvmvmvtF 由①式求得 ?? MllImvmvtF 31d 0 ??????? glM6 )32(6 ??? 負(fù)號(hào)說明所受沖量的方向與初速度方向相反． 題 230 圖 230 一個(gè)質(zhì)量為 M、半徑為 R 并以角速度 ?轉(zhuǎn)動(dòng)著的 飛 輪 (可看作勻質(zhì)圓盤 )，在某一瞬時(shí)突然有一片質(zhì)量為 m 的碎片從輪的邊緣上飛出，見題 230圖．假定 碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上． (1)問它能升高多少 ? (2)求余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能． 解 : (1)碎片離盤瞬時(shí)的線速度即是它上升的初速度 ?Rv ?0 設(shè)碎片上升高度 h 時(shí)的速度為 v ，則有 ghvv 2202 ?? 令 0?v ，可求出上升最大高度為 2220 212 ?RggvH ?? (2)圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 221MRI ? ，碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2221 mRMRI ??? ，碎片脫離前，盤的角動(dòng)量為 ?I ，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱悖珒?nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動(dòng)量，碎片與破盤的總角動(dòng)量應(yīng)守恒，即 RmvII 0???? ?? 式中 ?? 為破盤的角速度．于是 RmvmRMRMR 0222 )21(21 ???? ?? ?? ???? )21()21( 2222 mRMRmRMR 得 ???? (角速度不變 ) 圓盤余下部分的角動(dòng)量為 ?)21( 22 mRMR ? 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 題 231 圖 222 )21(21 ?mRMRE k ?? 231 一質(zhì)量為 m 、半徑為 R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)．另一質(zhì)量為 0m 的子彈以速度 0v 射入輪緣(如題 231圖所示方向 )． (1)開始時(shí)輪是靜止的，在質(zhì)點(diǎn)打入后的角速度為何值 ? (2)用 m , 0m 和 ? 表示系統(tǒng) (包括輪和質(zhì)點(diǎn) )最后動(dòng)能和初始動(dòng)能之比． 解 : (1)射入的過程對(duì) O 軸的角動(dòng)量守恒 ?? 2022 )(s in RmmvmR ?? ∴ Rmmvm )( sin000?? ?? (2) 020200200020 s i n21])( s i n][)[(210 mmmvmRmmvmRmmEEkk????? ?? 232 彈簧、定滑輪和物體的連接如題 232圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為 N178。 102m178。則由功能原理，有 ?????? ????? 37s i n2121 22 m gsmvkxsf r 222137s in21kxsfm g smvk r???? 式中 ???s ， ?x ，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得 1mN1390 ??k 題 218 圖 再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度 h? 2o 2137s in kxsmgsf r ????? 代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 ??s , 則木塊彈回高度 in o ???? sh 2022614 編輯 11 題 219圖 219 質(zhì)量為 M 的大木塊具 有半徑為 R 的四分之一弧形槽，如題 219圖所示．質(zhì)量為 m的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度． 解 : m 從 M 上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以 m ， M ，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有 22 2121 MVmvm gR ?? 又下滑過程，動(dòng)量守恒，以 m ,M 為系統(tǒng)則在 m 脫離 M 瞬間，水平方向有 0??MVmv 聯(lián)立，以上兩式，得 ? ?MmMgRv ?? 2 220 一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向互相垂直． 證 : 兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有 222120 212121 mvmvmv ?? 即 222120 vvv ?? ① 題 220 圖 (a) 題 220圖 (b) 又碰撞過程中，動(dòng)量守恒，即有 210 vmvmvm ??? ?? 亦即 210 vvv ??? ?? ② 由②可作出矢量三角形如圖 (b)，又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以 0v? 為斜邊，故知 1v? 與 2v? 是互相垂直的． 221 一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)位 于 ( 11,y