【正文】 值為對(duì)角元的對(duì)角陣（不唯一） . （ 7） 定理： n 階矩陣 A 和對(duì)角陣 相似（即 A 能對(duì)角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 ． （ 4） 推論： 如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值，則 A 和對(duì)角陣 相似． 說(shuō)明：當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí)，就不一定有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān) 的特征向量，從而不一定能對(duì)角化． 定理： n 階矩陣 A 和對(duì)角陣 相似（即 A 能對(duì)角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 ． （ 4） 推論： 如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值，則 A 和對(duì)角陣 相似． 說(shuō)明：當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí)，就不一定有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān) 的特征向量，從而不一定能對(duì)角化． 推論： 設(shè) A 為 n 階對(duì)稱陣， l 是 A 的特征方程的 k 重根，則 ? 矩陣 A ?lE 的秩等于 n ? k， ? 恰有 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量與特征值 l 對(duì)應(yīng)． 例： 設(shè) ，求 正交陣 P，使 P?1AP = L對(duì)角陣 . 解： 因?yàn)? A 是 對(duì)稱陣，所以 A 可以對(duì)角化． 求得 A 的特征值 l1 = ?2， l2 = l3 = 1 ． 0 1 11 0 11 1 0A???????????211| | 1 1 ( 1 ) ( 2 )11AEll l l ll??? ? ? ? ? ? ? ??當(dāng) l1 = ?2 時(shí)， 解方程組 (A + 2E) x = 0． ，得基礎(chǔ)解系 ． 當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)， 解方程組 (A?E) x = 0． ，得 ． 令 ，則 . 問(wèn)題：這樣的解法對(duì)嗎？ 2 1 1 1 0 12 1 2 1 ~ 0 1 11 1 2 0 0 0rAE?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1111??????????????1 1 1 1 1 11 1 1 ~ 0 0 01 1 1 0 0 0rAE? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?23111 , 001???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 31 1 1( , , ) 1 1 01 0 1P ? ? ???????? ? ?????1000000211P A P?????? L ??????? 當(dāng) l1 = ?2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ； ? 當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 . 顯然，必有 ?1⊥ ?2 ， ?1⊥ ?3 ，但 ?2⊥ ?3 未必成立． 于是把 ?2, ?3 正交化： 此時(shí) ?1⊥ h2 ， ?1⊥ h3 ， h2⊥ h3 ． 1111??????????????23111 , 001???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?322 2 3 3 22211[ , ] 11 , 1[ , ] 202?hh ? h ? hhh?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?單位化： ? 當(dāng) l1 = ?2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ； ? 當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 . 1111??????????????231111 , 1202hh?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?111131p?????????????2311111 , 12602pp?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 當(dāng) l1 = ?2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ； ? 當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 于是 p1, p2, p3 構(gòu)成正交陣 從而 ． 111131p?????????????2311111 , 12602pp?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 31 1 13 2 61 1 1( , , )3 2 612036P p p p??????????? ? ???????????1000000211P A P?????? L ??????把對(duì)稱陣 A 對(duì)角化的步驟為： 1. 求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, …, ls ，它們的重?cái)?shù)依次為 k1, k2, …, ks （ k1 + k2 + … + ks = n）． 2. 對(duì)每個(gè) ki 重特征值 li ，求方程組 | A?li E | = 0 的基礎(chǔ)解系，得 ki 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量． 把這 ki 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化、單位化，得到 ki 個(gè)兩兩正交的單位特征向量． 因?yàn)?k1 + k2 + … + ks = n ，總共可得 n 個(gè)兩兩正交的單位特征向量． 3. 這 n 個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣 P，便有 P ?1AP = L ． L 中對(duì)角元的排列次序應(yīng)于中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng) . 例： 設(shè) ，求 An . 分析： ? 數(shù)學(xué)歸納法 2112A?????????222222 1 2 1 5 4 1 3 1 311 2 1 2 4 5 2 1 3 1 3A? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ???3332335 4 2 1 1 4 1 3 1 3 1 314 5 1 2 1 3 1 4 2 1 3 1 3A A A? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ???11111211 3 1 3 1 3 1 3112 1 2 21 3 1 3 1 3 1 3n n n nnnn n n nA A A??????? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?定理： 若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項(xiàng)式相同 , 從而 A 和 B 的特征值也相同． 推論： 若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的 多項(xiàng)式 j (B) 相似． 若 n 階矩陣 A 和 n 階對(duì)角陣 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似，則 從而通過(guò)計(jì)算 j (L) 可方便地計(jì)算 j (A). 若 j (l) = | A?lE |，那么 j (A) = O（零矩陣） . 1 211()()( ) ( )()nA P P P Pjjjjlllj??????? L ?????例： 設(shè) ，求 An . 分析： ? 數(shù)學(xué)歸納法 ? 因?yàn)? A 是 對(duì)稱陣，所以 A 可以對(duì)角化． 求得 A 的特征值 l1 = 1， l2 = 3． 下面求滿足 P ?1AP = Λ 的可逆矩陣 P ． 2112A?????????221| | ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 3 )12AE l l ll ll?? ? ? ? ? ? ? ????1003??L?????1003nn??L?????下面求滿足 P ?1AP = Λ 的可逆矩陣 P ． 當(dāng) l1 = 1 時(shí)， 解方程組 (A?E) x = 0 ． ，得基礎(chǔ)解系 ． 當(dāng) l2 = 3 時(shí)， 解方程組 (A?3E) x = 0． ，得基礎(chǔ)解系 ． 問(wèn)題：是否需要單位化？ 于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即 ． 若 ，則 ． 1 1 1 1~1 1 0 0rAE ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?111p???????1 1 1 13~1 1 0 0rAE ??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ?211p????????1 2 1 210( , ) ( , )03A p p p p???????1211( , )11P p p????????? 11003P A P? ??? ????1 1112 1 1P? ??? ?????于是 ，即 11()1 1 1 0 1 112 1 1 0 3 1 11 1 1 0 1 1 1 3 1 3112 1 1 0 3 1 1 2 1 3 1 3n n nnnnnn nA P P P P??? L ? L? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ??1 1003P AP? ??? ? L????1A P P ??L167。 2 + ny