16725無窮小量與無窮大量-閱讀頁
2024-10-19 19:15本頁面
【正文】 無窮小 ,然后再求極限 . 兩個相同類型的無窮小量，它們的和 、 差 、 ? ?? ? ? ? ? ?1. li m 0xafx x a f x g xgx? ??若 ， 則 稱 時 是 關 于? ? ? ?,.x a f x g x?設 當 時 ， 均 是 無 窮 小 量給 出如下定義 . 察 兩個無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我 們 定的 .這與它們各自趨于零的速度有關 .為了便于 考 積仍 是無窮小量，但是它們的商一般來說是不 確 三、無窮小的比較 高 階 無 窮 小的 量 ， 記 作( ) ( ( ) ) ( ) .f x o g x x a??( ) ( 1 ) ( ) .f x o x a??.)0,0()(1 ???? kxxox kk。)0()(c os1 ??? xxox()f x x a?當 為 時 的 無 窮 小 量 時 ， 我 們 記2. 若存在正數(shù) K 和 L，使得在 a 的某一空心鄰域 ()Ua內，有 (),()fxLMgx??根據函數(shù)極限的保號性，特別當 ()l i m 0()xafx cgx? ??時，這兩個無窮小量一定是同階的 . 例如 : ,0 時當 ?x xcos1 ? 與 2x 是同階無窮小量 。)0(~sin ,1sinlim0???xxxx xx所以因為。x a x af x h x A g x h x A?? ??若 則( ) ( )( 2 ) l i m , l i m .( ) ( )x a x ah x h xAAf x g x?? ??若 則()l i m ( ) ( ) l i m ( ) ( ) .()x a x agxg x h x f x h x Afx?? ??證 ()( 1 ) l i m ( ) ( ) , l i m 1 ,()x a x afxf x h x Agx?? ??因 為 所以 上述定理 告訴我們，在求極限時，乘積中的因子 例 5 .2si na r ct a nlim0 xxx ?計算.212l i m2s i na r c t a nl i m00???? xxxxxx解 ),0(2~2sin,~arcta n ?xxxxx因為 所以 (2) 可以類似地證明 . 可用等價無窮小量代替，這是一種很有用的方法 . 例 6 .si n si nta nlim 30 x xxx ??計算解 3030 sinta nlimsin sinta nlim x xxx xx xx ??? ??30)1c o s1(s i nl i mxxxx??? xxxxx co s)co s1(si nlim30???3202limxxxx??? .21?
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