【正文】 q和 q的電荷，由于電荷分布具有球 面對(duì)稱(chēng)，由高斯定理可得兩導(dǎo) 體之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為 UqC ?rrq eE24???圖 211 球形電容器 a b ? 則內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 故球形電容器的電容量為 ? ? ????? C baab ab abqdrrqdU ???? 44 2lEababUqCab ??? ??4 二、部分電容 ? 有兩個(gè)以上導(dǎo)體的系統(tǒng)稱(chēng)為 多導(dǎo)體系統(tǒng) 。在線(xiàn)性媒質(zhì)中，應(yīng)用疊加原理，可得到每個(gè)導(dǎo)體的電位和各導(dǎo)體所帶電量的關(guān)系如下： （ 264） ? 式中， 稱(chēng)為 電位系數(shù) 。電位系數(shù)只與導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相對(duì)位置及介質(zhì)特性有關(guān)，而與導(dǎo)體所帶電量無(wú)關(guān)。電容系數(shù)也只與導(dǎo)體的幾何參數(shù)及系統(tǒng)中介質(zhì)的特性有關(guān)，且 。 ? 互部分電容也具有互易性， iniiiiC ??? ???? ?21)( jiC ijij ??? ? 一、靜電能 ? 電場(chǎng)的最基本特征是對(duì)場(chǎng)域中的電荷有力的作用，說(shuō)明靜電場(chǎng)中儲(chǔ)存有能量，稱(chēng)為 靜電能 。靜電能是勢(shì)能，其總能量只與靜電系統(tǒng)最終的電荷分布有關(guān)，與形成這種分布的過(guò)程無(wú)關(guān)。 ? 則當(dāng) 0到 1時(shí)，對(duì)于某一體積元，新增加的微分電荷 ??Vdd ?)( ?? 為，則新增加的電能為 ，所以整個(gè)空間增加的能量為 ? 整個(gè)充電過(guò)程增加的能量就是系統(tǒng)的總能量，即電荷系統(tǒng)總的靜電能為 （ 267） ? 是指包含所有的電荷空間。其中點(diǎn)電荷系和帶電導(dǎo)體的靜電能也可寫(xiě)為 （ 268） 實(shí)際上靜電能是彌散于整個(gè)場(chǎng)空間，即凡是電場(chǎng)不為零的空間，均儲(chǔ)存有電場(chǎng)能量。10 39。V??? Ni iie qW 121 ?? 首先將式（ 267）的積分范圍擴(kuò)展到整個(gè)場(chǎng)空間，因?yàn)橹挥杏须姾傻目臻g才對(duì)積分有貢獻(xiàn)，即式（ 267）可改寫(xiě)為 （ 269） ? 將 代入式（ 269），則 ? 在等式右邊第一項(xiàng)中，當(dāng)體積無(wú)限擴(kuò)大時(shí)，包圍這個(gè)體積的表面也隨之?dāng)U大。所以有 （ 270） 式中： v是指整個(gè)場(chǎng)域空間。 【 解法 1】 ：由高斯定理可得球內(nèi)外的電場(chǎng)為 所以 raqr eE304??? )( ar ?rrq eE204??? )( ar ??? Ve dVEW 2021 ?? ? ??a a drrrqdrraqr0 2220202300 4)4(214)4(21 ????????aq02203??? 二、靜電力 ? 根據(jù)庫(kù)侖定律或電場(chǎng)強(qiáng)度的定義可以計(jì)算電荷所受的電場(chǎng)力。這時(shí)就需要用虛位移法來(lái)計(jì)算電場(chǎng)力。根據(jù)能量守恒原理應(yīng)有：電場(chǎng)力所做的功 +電場(chǎng)儲(chǔ)能的增量 =外電源所提供的能量，即 （ 273） ? 由于各帶電體與電源相連，所以它們的電位是不變的，即有 dWdWd e ??? rF 而電場(chǎng)儲(chǔ)能的增量為 說(shuō)明外電源所提供的能量一半使得電場(chǎng)儲(chǔ)能增加，另一半提供給電場(chǎng)力做功，亦即 （ 274） 或 （ 275） ? 如果帶電體系統(tǒng)是與外電源斷開(kāi)的隔離系統(tǒng)，則外電源對(duì)系統(tǒng)不提供能量，此時(shí)各帶電體上的電量不變，式（ 271）變?yōu)? ??? Ni ii dqdW 1 ???? Niiie dqdW121 ?edWd ?? rFc o ns terWF?????0??? edWd rF? 即 （ 276） 或 （ 277） ? 由于計(jì)算的是沒(méi)有位移（虛位移）時(shí)的力，故不論是那一種情況，其計(jì)算結(jié)果是一致的。 ? 電流（強(qiáng)度）是指單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某導(dǎo)體截面的電流量，即 （ 278） 電流可分為傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流。 dtdqtqIt ?????? 0lim? 電流密度是一個(gè)矢量，它的方向與導(dǎo)體中該點(diǎn)正電荷運(yùn)動(dòng)的方向相同，大小等于與正電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直的單位面積上的電流強(qiáng)度，即 （ 279） 電流密度的單位為：安培每平方米（ ）。電流場(chǎng)可用電流線(xiàn)來(lái)描繪。任意一點(diǎn)面電流密度的方向是該點(diǎn)正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，大小等于通過(guò)垂直與電流方向的單位長(zhǎng)度上的電流，即 nnJ dSdISIS ???? ?? 0l i m2/mA? ?? S dI SJ （ 281） ? 可以從面電流密度求出流過(guò)電流曲面上任意線(xiàn)段的電流，即 （ 282） 式中： 是指垂直于線(xiàn)段的單位矢量。若運(yùn)動(dòng)電荷的密度和速度分別為 和 ，則線(xiàn)電流為 （ 283） nnJ???????? dldIlIlS 0l i m? ??? S dlI eJ?evI vl??vl?v 二、歐姆定律與焦耳定律 ? 1. 歐姆定律 對(duì)于各向同性的、線(xiàn)性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，其中任意一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，即 （ 284） ? 上式稱(chēng)為 歐姆定律的微分形式 。積分形式的歐姆定律是描述一段導(dǎo)線(xiàn)上的導(dǎo)電規(guī)律，而微分形式的歐姆定律是描述導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，它比積分形式更能細(xì)致地描述導(dǎo)體的導(dǎo)電規(guī)律。這就是 電流的熱效應(yīng) ，這種由電能轉(zhuǎn)換來(lái)的熱能稱(chēng)為 焦耳熱 。 ? 對(duì)于整個(gè)導(dǎo)體消耗的總功率為 （ 286） d V d tdtdVdqdA v JEvElE ?????? ?dqJE ???? dV dtdAdVdPP /0dVdVPP V V? ? ??? JE0? 三、電荷守恒定律 電荷守恒定律表明，任一封閉系統(tǒng)內(nèi)的電荷總量不變。 所以 （ 288） ? 這就是電荷守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式，亦稱(chēng)為 電流連續(xù)性方程的積分形式 。 ? 在恒定電場(chǎng)中，電荷在空間的分布是不隨時(shí)間變化的，所以恒定電場(chǎng)中的電流連續(xù)性方程為 （ 290） （ 291） ? 上式表明： 恒定電流必定是連續(xù)的，電流線(xiàn)總是閉合曲線(xiàn)，恒定電場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)。故由該分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)（電源外）必定與靜電場(chǎng)的性質(zhì)相同，也是保守場(chǎng)，即 （ 292） （ 293） 因此，電源外部的恒定電場(chǎng)的基本方程可歸納如下： 微分形式 （ 294） 積分形式 0??? lE dc0??? E?????????00JE （ 295） ? 由于恒定電場(chǎng)的旋度為零，因此也可引入電位，且 。 ? 法向邊界條件 （ 2101） ? 切向邊界條件 （ 2102） ? 設(shè)分界面兩側(cè)的電場(chǎng)線(xiàn)與法線(xiàn)的夾角為和，則分界面上電流線(xiàn)的折射關(guān)系為 （ 2103） nn ????? 2211????21 ?? ?2121ta nta n???? ? 五、恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 把電源以外的恒定電場(chǎng)與不存在電荷區(qū)域的靜電場(chǎng)加以比較。且兩者都滿(mǎn)足拉普拉斯方程，若處在相同的邊界條件下，根據(jù)唯一性定理，這兩個(gè)場(chǎng)的電位函數(shù)必有相同的解。這種方法稱(chēng)為 靜電比擬法。一個(gè)球形電容器的電容為 其中： a是內(nèi)球半徑， b是外球殼半徑。 【 解 】 先求半徑為 a的球形電容 根據(jù)對(duì)偶關(guān)系知，對(duì)應(yīng)的球形電導(dǎo)為 故半球電阻為 ? ?ababG????4aarEErddUqCrraS ?????4/422????????? lESEaG ??4?aGR ??212 ?