【正文】 器，并比較觀察其各自特點。當僅有比例控制時系統(tǒng)輸出存在穩(wěn)定誤差。 對于單位反饋系統(tǒng)， 0 型系統(tǒng)響應實際階躍信號的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益 K 近視成反比。 P 控制只改變系統(tǒng)的增益而不影響相位，它對系統(tǒng)的影響主要反映在系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性上，增大比例系數(shù)可提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，從而提高系統(tǒng)的控制精度，但這會降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，甚至可能造成閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因此，在系統(tǒng)校正和設計中 P 控制一般不單獨使用。 PI 控制器在與被控對象串聯(lián)時，相當于在系統(tǒng)中增加了一個位于原點的開環(huán)極點，同時也增加了一個位于 s 左半平面的開環(huán)零點。 比例積分微分 (PID)控制 具有比例 +積分 +微分控制規(guī)律的控制稱為比例積分微分控制，即 PID 控制。與 PI 控制器相比， PID 控制器除了同樣具有提高系統(tǒng)穩(wěn)定性能的優(yōu)點外，還多提供了一個負實部零點。在實際過程中， PID 控制器被廣泛應用。從頻域角度看， PID 控制通過積分作用于系統(tǒng)的低頻段，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而微分作用于系統(tǒng)的中頻段，以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。它是根據(jù)被控過程的特性確定PID 控制器的比例系數(shù)、積分時間和微分時間的大小。它主要是依據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學模型，經(jīng)過理論計算確定控制器參數(shù)。二是工程整定方法，它主要依賴工程經(jīng)驗，直接在控制系統(tǒng)的試驗中進行，且方法簡單、易于掌握，在工程實際中被廣泛采用。三 種方法各有其特點，其共同點都是通過試驗，然后按照工程 經(jīng)驗公式 對控制器參數(shù)進行整定?，F(xiàn)在一般采用的是臨界比例法。 PID 控制具有以下優(yōu)點 （ 1）原理簡單，使用方便， PID 參數(shù) Kp， Ki 和 Kd 可以根據(jù)過程動態(tài)特性變化，PID 參數(shù)就可以重新進行調(diào)整與設定。 PID 應用范圍廣，雖然很多 工業(yè)過程是非線性或時變的，但通過適當簡化，也可以將其變成基本線性和動態(tài)特性不隨時間變化的系統(tǒng)，就可以進行 PID 控制了。 41 但不可否認 PID 也有其固有的缺點。 詳細設計 P 控制器 P 控制器的傳遞函數(shù)為： Pp KsG ?)( 系統(tǒng)傳遞函數(shù)：Kpss KpsG ???? 252)( 2 Simulink 建立的仿真模型為： 圖 44 P 控制的仿真建模 控制器為 P 控制器時，改變比例帶或比例系數(shù)大小，分析對系統(tǒng)性能的影響并繪制相應曲線。 （ 1）運行程序： G=tf(1,[1,2,25])。 for i=1:length(p) G_c=feedback(p(i)*G,1)。p=[1:3000:6000]。 step(G_c),hold on End 運行結果： 圖 46 波形圖 2 43 實驗結果與分析： 仿真結果表明，隨著 Kp 值的增大，系統(tǒng)響應超調(diào)量加大，動作靈敏，系統(tǒng)的響應速度加快，閉環(huán)系統(tǒng)響應幅值增加。 PI 控制器 PI 控制器的傳遞函數(shù)為： sTKsG IPp 11)( ??? 系統(tǒng)傳遞函數(shù)KisKpss KiKpssG ???? ?? )25(2)( 23 Simulink 建立的仿真模型為： 圖 47 PI 控制的仿真建模 M 文件： kp=50。 for i=1:length(Ti) Gc=tf(kp*[1,1/Ti(i)],[1,0])。 step(G_c),hold on end axis([0,20,0,2]) axis([0,12,0,]) 仿真結果如圖 48 所示： 44 圖 48 波形圖 3 將圖 48放大 圖 49 波形圖 3 實驗結果與分析： Kp=50，隨著 Ti 值的加大，系統(tǒng)的超調(diào)量 減小，系統(tǒng)響應速度變慢。因此，積分環(huán)節(jié)的主要作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，其作用的強弱取決于 Ti 的大小。 PI 控制可以 消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的誤差度。主要應用于調(diào)節(jié)通道容量滯后較小、負荷變化不大、精度要求高的調(diào)節(jié)系統(tǒng)。 PID 控制 45 Simulink 建立的仿真模型為： 圖 410 PID 控制的仿真建模 將 Kp 和 Ti 的值固定，令 Kp=50， Ti= G=tf(1,[1,2,25])。Ti=。 for i=1:length(Td) Gc=tf(Kp*[Ti*Td(i),Ti,1]/Ti,[1,0])。step(G_c),hold on end 圖 411 PID 控制仿真結果 46 當 Kp 和 Ti 的值固定時， Td 增大，響應速度變快。該環(huán)節(jié)產(chǎn)生的控制量與信號變化速率有關，因此對于信號無變化或者變化緩慢的系統(tǒng)不起作用。 當 Kp=30。Td=。 Kp=30。Td=。 G_c=feedback(G*Gc,1)。均不滿足已知條件。 當 Kp=55。Td=。 Kp=55。Td=。 G_c=feedback(G*Gc,1)。Ti=。 設計總結 （ 1） P 控制器只改變系統(tǒng)的增益而不影響相位，它對系統(tǒng)的影響主要反映在系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性上，增大比例系數(shù)可提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，從而提高系統(tǒng)的控制精度，但這會降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，甚至可能造成閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。 （ 3） PID 控制通過積分作用消除誤差，而微分控制可縮小超調(diào)量，加快反應 ,是綜合了 PI 控制與 PD 控制長處并去除其短處的控制。 48 五、二階系統(tǒng)串聯(lián)校正裝置的設計與分析 設計要求 設某被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù) G(s)如下： 選用合適的方法設計一個串聯(lián)校正裝置 K(s)，使閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應曲線超調(diào)量 _ _ _ ( ) / __ 基本理論知識 基于系統(tǒng)頻率特性的串聯(lián)校正設計方法在工程中被大量采用，主要分為相位超前、相位滯后以及相位滯后 —超前校正設計等三種方法。相位滯后校正可以明顯地改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，但會使動態(tài)響應過程變緩；而相位滯后超前校正則把兩者的特性結合起來，用于動態(tài)、靜態(tài)特性要求較高的系統(tǒng)。 根軌跡法校正的基本思路為借助根軌跡曲線進行校正。若期望主導極點在原根軌跡的左側，則只要加上一對零、極點，使零點位置位于極點右側。此即相當于相位超前校正。單純增大 K 值將會使系統(tǒng)阻尼比變小，甚至于使閉環(huán)特征根跑到復平面 S 的右半平面去。從而使系 統(tǒng)原根軌跡形狀基本不變，而在期望主導極點處的穩(wěn)態(tài)增益得到加大。 根軌跡超前校正的主要步驟為： （ 1）依據(jù)要求的系統(tǒng)性能指標，求出主導極點的期望位置。 49 （ 3）如果需要設計校正網(wǎng)絡，設計校正網(wǎng)絡 ?？芍苯釉谄谕拈]環(huán)極點位置下方（或在頭兩個實極點的左側）增加一個相位超前網(wǎng)絡的實零點。確定校正網(wǎng)絡極點的位置，使期望的主導極點位于校正后的根軌跡上。 （ 6）估計在期望的閉環(huán)主導極點處的總的系統(tǒng)開環(huán)增益。如果穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)不滿足要求，重復不述步驟。 （ 8）設計超前網(wǎng)絡時，首先應根據(jù)系統(tǒng)期望的性能指標確定系統(tǒng)閉環(huán)主導極點的理想位置，然后通過選擇校正網(wǎng)絡的零、極點來改變根軌跡的形狀，使得理想的閉環(huán)主導極點位于校正后的根軌跡上。 取 k=20，在 matlab 下建立校正前系統(tǒng)模型： num=[20]。 Gs=tf(num,den)。 在控制器 C 取值為常數(shù) 1 的情況下，繪制此單位負反饋線性系統(tǒng)的根軌跡圖、系統(tǒng)的伯德圖以及閉環(huán)階躍響應曲線： sisotool(Gs) step(G) 50 圖 51 校正前 根軌跡圖、系統(tǒng)的伯德圖以及閉環(huán)階躍響應曲線 圖 52 校正前的階躍響應曲線 51 由階躍響應曲線可以看到，此時在沒有串聯(lián)校正裝置情況下，超調(diào)量為 % 20%，過渡過程時間 Ts=，達不到指標要求。 用拖動附加零極點的方法觀察復平面上的根軌跡，讓其根軌跡在阻尼范圍內(nèi)。 重復執(zhí)行多次上述步驟后，可得出串聯(lián)校正裝置中增益、極點和零點對系統(tǒng)性能產(chǎn)生一定的影響 。 （ 2）校正裝置中極點對系統(tǒng)性能的影響： 增加開環(huán)極點，使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在 S 平面向左 移，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞。 經(jīng)過多次調(diào)節(jié)后，最終得到理想結果。 所以 超前 校正裝置函數(shù)為 ： 設計總結 當性能指標以時域特征量給出時，采用根軌跡法進行校正比較方便。 如果原系統(tǒng)動態(tài)性能不能滿足要求，則可采取串聯(lián)超前校正裝置進行校正。由于原系統(tǒng)不滿足動態(tài)性能要求，希望主導極點自然不會在原系統(tǒng)的根軌跡上。 在本實驗中，改變開環(huán)增益的大小，從而使得穩(wěn)態(tài)誤差減?。粚υ到y(tǒng)增加開環(huán)極點和開環(huán)零點，使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在 S 平面向左 移，系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到改善，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間均減小了。 圖 61 倒立單擺系統(tǒng)如示意圖 其中小車的質(zhì)量為 M=，倒立單擺的質(zhì)量為 m=，小車的摩擦系數(shù)為b=，端點與倒立單擺質(zhì)心的距離為 l=，倒立單擺的慣量 I=*m2，輸入量 u=F 是施加在小車上的外力，四個狀態(tài)變量分別是小車的坐標 x， x 的一階導數(shù)，倒立單擺的垂直角度 Φ， Φ 的一階導數(shù)。 試根據(jù)誤差指標 J 最優(yōu)意義下最優(yōu)的規(guī)則設計線性二次型最優(yōu)控制器，利用SIMULINK 搭建系統(tǒng)框圖進行仿真，滿足以下指標： 輸出量 x 和 Φ 的過渡過程時間小于 2s。 輸出量 Φ 的超調(diào)量小于 20176。 總體方案設計 LQR 最優(yōu)設計指設計出的狀態(tài)反饋控制器 K 要使二次型目標函數(shù) J 取最小值，而 K由權矩陣 Q 和 R 唯一決定，通過對 Q、 R 的選擇，來達到最優(yōu)控制的目的，圖 62 所示為控制框圖。 根據(jù)極值原理，可以得出最優(yōu)控制律，即 ： 式中， K 為最優(yōu)反饋增益矩陣； P 為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提（ Riccati）代數(shù)方程，即 ： 則最優(yōu)反饋增益 K 為： Q、 R 的選擇原則 由原理可知，要求出最優(yōu)控制作用 u，除了求解 ARE 方程外，加權矩陣的選擇也是至關重要的。有以下幾種原則： （ 1） Q、 R 都應是對稱矩陣， Q 為正半定矩陣， R 為正定矩陣。當控制輸入只有一個時，R 成為一個標量數(shù)（一般可直接選 （ 3） Q 的選擇不唯一。 LQR 最優(yōu)控制器系統(tǒng)設計的 Matlab 實現(xiàn)方法 Matlab 控制系統(tǒng)工具箱提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制問題的命令和算法，其中函數(shù) lqr( )可以直接求解二次型調(diào)節(jié)器問題，命令格式如下： [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)，其中 K 為最優(yōu)反饋增益矩陣， P 為 Riccati 方程的唯一正定解， E 為 ABK 的特征值。輸出的被控量分別是小車的坐標 x 和倒立單擺的垂直角度 Φ。 首先求開環(huán)系統(tǒng)的特征值，判斷其穩(wěn)定性。0 0。0 0]。 。 ]。0 0 1 0]。 57 %求解系統(tǒng)的特征值 p=eig(A) t=0::1。系統(tǒng)的階躍響應曲線如圖 63 所示，上圖是小車坐標 x 的階躍響應曲線，下圖是倒立擺的垂直角度 Φ 的階躍響應曲線，所以必須加入校正裝置。一般來說， Q 選擇的越大，系統(tǒng)達到穩(wěn)定所需要的時間越短。編程如下： %Q 和 R 矩陣的選擇 m=1。0 0 0 0。0 0 0 0]。 %求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài) 58 [k,p,e]=lqr(A,B,Q,R) %求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程 Ac=[(AB*k)]。Cc=C。 %輸出系統(tǒng)階躍響應 T=0::10。 [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。y2=Y(:,2)。r:39。 title(39。)。時間（ sec） 39。 ylabel(39。)。 legend(39。,39。) 結果為： k = p = e = + + 此時求得的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為： 其響應曲線如圖 64 所示 ： 59 圖 64 m= n=1 時 階躍響應曲線 從圖 64 可以看出，超調(diào)量基本滿足要求，但穩(wěn)定值與系統(tǒng)期望值相差太大（小車坐標的響應曲線穩(wěn)態(tài)值為負值）；另一方面過渡時間和上升時間都很大，必須重新校正。 取 m， n 分別為以下值進行仿真 表 1 不同的 m， n 取值 m 10 60 110 210 500 110 1000 3000 …… n 10 60 110 210 510 500 110 500 …… 圖 65 m=10。n=60 60 圖 67 m=110。n=210 圖 69 m=500。n=110 圖 611 m=110。n=110 圖 613 m=3000。n=110 61 圖 615 m=4000。n=110 通過多次修改數(shù)據(jù)后仿真，當 m=4500， y=110 時效果比較理想。階躍響應如圖 617 所示 圖 617 m=