【正文】 39 圖 43 閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 將控制器分別設(shè)計(jì)成 P、 PI、 PID 三種控制器，并比較觀察其各自特點(diǎn)。當(dāng)僅有比例控制時(shí)系統(tǒng)輸出存在穩(wěn)定誤差。 對(duì)于單位反饋系統(tǒng)， 0 型系統(tǒng)響應(yīng)實(shí)際階躍信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益 K 近視成反比。 P 控制只改變系統(tǒng)的增益而不影響相位，它對(duì)系統(tǒng)的影響主要反映在系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性上，增大比例系數(shù)可提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，從而提高系統(tǒng)的控制精度，但這會(huì)降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，甚至可能造成閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因此，在系統(tǒng)校正和設(shè)計(jì)中 P 控制一般不單獨(dú)使用。 PI 控制器在與被控對(duì)象串聯(lián)時(shí)，相當(dāng)于在系統(tǒng)中增加了一個(gè)位于原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)，同時(shí)也增加了一個(gè)位于 s 左半平面的開環(huán)零點(diǎn)。 比例積分微分 (PID)控制 具有比例 +積分 +微分控制規(guī)律的控制 稱為比例積分微分控制，即 PID 控制。與 PI 控制器相比， PID 控制器除了同樣具有提高系統(tǒng)穩(wěn)定性能的優(yōu)點(diǎn)外，還多提供了一個(gè)負(fù)實(shí)部零點(diǎn)。在實(shí)際過程中， PID 控制器被廣泛應(yīng)用。從頻域角度看， PID 控制通過積分作用于系統(tǒng)的低頻段，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而微分作用于系統(tǒng)的 中頻段，以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。它是根據(jù)被控過程的特性確定PID 控制器的比例系數(shù)、積分時(shí)間和微分時(shí)間的大小。它主要是依據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過理論計(jì)算確定控制器參數(shù)。二是工程整定方法，它主要依賴工程經(jīng)驗(yàn)，直接在控制系統(tǒng)的試驗(yàn)中進(jìn)行，且方法簡(jiǎn)單、易于掌握，在工程實(shí)際中被廣泛采用。三 種方法各有其特點(diǎn)，其共同點(diǎn)都是通過試驗(yàn)，然后按照工程 經(jīng)驗(yàn)公式 對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行整定。現(xiàn)在一般采用的是臨界比例法。 PID 控制具有以下優(yōu)點(diǎn) （ 1）原理簡(jiǎn)單，使用方便， PID 參數(shù) Kp， Ki 和 Kd 可以根據(jù)過程動(dòng)態(tài)特性變化，PID 參數(shù)就可以重新進(jìn)行調(diào)整與設(shè)定。 PID 應(yīng)用范圍廣，雖然很多工業(yè)過程是非線性或時(shí)變的，但通過適當(dāng)簡(jiǎn)化，也可以將其變成基本線性和動(dòng)態(tài)特性不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)，就可以進(jìn)行 PID 控制了。 41 但不可否認(rèn) PID 也有其固有的缺點(diǎn)。 詳細(xì)設(shè)計(jì) P 控制器 P 控制器的傳遞函數(shù)為： Pp KsG ?)( 系統(tǒng)傳遞函數(shù)：Kpss KpsG ???? 252)( 2 Simulink 建立的仿真模型為： 圖 44 P 控制的仿真建模 控制器為 P 控制器時(shí)，改變比例帶或比例系數(shù)大小，分析對(duì)系統(tǒng)性能的影響并繪制相應(yīng)曲線。 （ 1）運(yùn)行程序： G=tf(1,[1,2,25])。 for i=1:length(p) G_c=feedback(p(i)*G,1)。p=[1:3000:6000]。 step(G_c),hold on End 運(yùn)行結(jié)果： 圖 46 波形圖 2 43 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析： 仿真結(jié)果表明，隨著 Kp 值的增大，系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量加大，動(dòng)作靈敏，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)幅值增加。 PI 控制器 PI 控制器的傳遞函數(shù)為： sTKsG IPp 11)( ??? 系統(tǒng)傳遞函數(shù)KisKpss KiKpssG ???? ?? )25(2)( 23 Simulink 建立的仿真模型為： 圖 47 PI 控制的仿真建模 M 文件： kp=50。 for i=1:length(Ti) Gc=tf(kp*[1,1/Ti(i)],[1,0])。 step(G_c),hold on end axis([0,20,0,2]) axis([0,12,0,]) 仿真結(jié)果如圖 48 所示： 44 圖 48 波形圖 3 將圖 48放大 圖 49 波形圖 3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析： Kp=50，隨著 Ti 值的加大，系統(tǒng)的超調(diào)量 減小，系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢。因此，積分環(huán)節(jié)的主要作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，其作用的強(qiáng)弱取決于 Ti 的大小。 PI 控制可以 消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的誤差度。主要應(yīng)用于調(diào)節(jié)通道容量滯后較小、負(fù)荷變化不大、精度要求高的調(diào)節(jié)系統(tǒng)。 PID 控制 45 Simulink 建立的仿真模型為： 圖 410 PID 控制的仿真建模 將 Kp 和 Ti 的值固定，令 Kp=50， Ti= G=tf(1,[1,2,25])。Ti=。 for i=1:length(Td) Gc=tf(Kp*[Ti*Td(i),Ti,1]/Ti,[1,0])。step(G_c),hold on end 圖 411 PID 控制仿真結(jié)果 46 當(dāng) Kp 和 Ti 的值固定時(shí)， Td 增大，響應(yīng)速度變快。該環(huán)節(jié)產(chǎn)生的控制量與信號(hào)變化速率有關(guān)，因此對(duì)于信號(hào)無變化或者變化緩慢的系統(tǒng)不起作用。 當(dāng) Kp=30。Td=。 Kp=30。Td=。 G_c=feedback(G*Gc,1)。均不滿足已知條件。 當(dāng) Kp=55。Td=。 Kp=55。Td=。 G_c=feedback(G*Gc,1)。Ti=。 設(shè)計(jì)總結(jié) （ 1） P 控制器只改變系統(tǒng)的增益而不影響相位，它對(duì)系統(tǒng)的影響主要反映在系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性上，增大比例系數(shù)可提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，從而提高系統(tǒng)的控制精度，但這會(huì)降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，甚至可能造成閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。 （ 3） PID 控制通過積分作用消除誤差，而微分控制可縮小超調(diào)量，加快反應(yīng) ,是綜合了 PI 控制與 PD 控制長(zhǎng)處并去除其短處的控制。 48 五、二階系統(tǒng)串聯(lián)校正裝置的設(shè)計(jì)與分析 設(shè)計(jì)要求 設(shè)某被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù) G(s)如下： 選用合適的方法設(shè)計(jì)一個(gè)串聯(lián)校正裝置 K(s)，使閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線超調(diào)量 _ _ _ ( ) / __ 基本理論知識(shí) 基于系統(tǒng)頻率特性的串聯(lián)校正設(shè)計(jì)方法在工程中被大量采用，主要分為相位超前、相位滯后以及相位滯后 —超前校正設(shè)計(jì)等三種方法。相位滯后校正可以明顯地改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，但會(huì)使動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程變緩；而相位滯后超前校正則把兩者的特性結(jié)合起來，用于動(dòng)態(tài)、靜態(tài)特性要求較高的系統(tǒng)。 根軌跡法校正的基本思路為借助根軌跡曲線進(jìn)行校正。若期望主導(dǎo)極點(diǎn)在原根軌跡的左側(cè)，則只要加上一對(duì)零、極點(diǎn)，使零點(diǎn)位置位于極點(diǎn)右側(cè)。此即相當(dāng)于相位超前校正。單純?cè)龃?K 值將會(huì)使系統(tǒng)阻尼比變小，甚至于使閉環(huán)特征根跑到復(fù)平面 S 的右半平面去。從而使系統(tǒng)原根軌跡形狀基本不變，而在期望主導(dǎo)極點(diǎn)處的穩(wěn)態(tài)增益得到加大。 根軌跡超前校正的主要步驟為： （ 1）依據(jù)要求的系統(tǒng)性能指標(biāo)，求出主導(dǎo)極點(diǎn)的期望位置。 49 （ 3）如果需要設(shè)計(jì)校正網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)校正網(wǎng)絡(luò) 。可直接在期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置下方（或在頭兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)的左側(cè)）增加一個(gè)相位超前網(wǎng)絡(luò)的實(shí)零點(diǎn)。確定校正網(wǎng)絡(luò)極點(diǎn)的位置，使期望的主導(dǎo)極點(diǎn)位于校正后的根軌跡上。 （ 6）估計(jì)在期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)處的總的系統(tǒng)開環(huán)增益。如果穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)不滿足要求，重復(fù)不述步驟。 （ 8）設(shè)計(jì)超前網(wǎng)絡(luò)時(shí)，首先應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)期望的性能指標(biāo)確定系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的理想位置，然后通過選擇校正網(wǎng)絡(luò)的零、極點(diǎn)來改變根軌跡的形狀，使得理想的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)位于校正后的根軌跡上。 取 k=20，在 matlab 下建立校正前系統(tǒng)模型： num=[20]。 Gs=tf(num,den)。 在控制器 C 取值為常數(shù) 1 的情況下，繪制此單位負(fù)反饋線性系統(tǒng)的根軌跡圖、系統(tǒng)的伯德圖以及閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線： sisotool(Gs) step(G) 50 圖 51 校正前 根軌跡圖、系統(tǒng)的伯德圖以及閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線 圖 52 校正前的階躍響應(yīng)曲線 51 由階躍響應(yīng)曲線可以看到，此時(shí)在沒有串聯(lián)校正裝置情況下，超調(diào)量為 % 20%，過渡過程時(shí)間 Ts=，達(dá)不到指標(biāo)要求。 用拖動(dòng)附加零極點(diǎn)的方法觀察復(fù)平面上的根軌跡，讓其根軌跡在阻尼范圍內(nèi)。 重復(fù)執(zhí)行多次上述步驟后，可得出串聯(lián)校正裝置中增益、極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能產(chǎn)生一定的影響 。 （ 2）校正裝置中極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響： 增加開環(huán)極點(diǎn)，使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在 S 平面向左 移，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞。 經(jīng)過多次調(diào)節(jié)后，最終得到理想結(jié)果。 所以 超前 校正裝置函數(shù)為 ： 設(shè)計(jì)總結(jié) 當(dāng)性能指標(biāo)以時(shí)域特征量給出時(shí)，采用根軌跡法進(jìn)行校正比較方便。 如果原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不能滿足要求，則可采取串聯(lián)超前校正裝置進(jìn)行校正。由于原系統(tǒng)不滿足動(dòng)態(tài)性能要求，希望主導(dǎo)極點(diǎn)自然不會(huì)在原系統(tǒng)的根軌跡上。 在本實(shí)驗(yàn)中，改變開環(huán)增益的大小，從而使得穩(wěn)態(tài)誤差減??；對(duì)原系統(tǒng)增加開環(huán)極點(diǎn)和 開環(huán)零點(diǎn)，使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在 S 平面向左 移，系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到改善，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間均減小了。 圖 61 倒立單擺系統(tǒng)如示意圖 其中小車的質(zhì)量為 M=，倒立單擺的質(zhì)量為 m=，小車的摩擦系數(shù)為b=，端點(diǎn)與倒立單擺質(zhì)心的距離為 l=，倒立單擺的慣量 I=*m2，輸入量 u=F 是施加在小車上的外力，四個(gè)狀態(tài)變量分別是小車的坐標(biāo) x， x 的一階導(dǎo)數(shù)，倒立單擺的垂直角度 Φ， Φ 的一階導(dǎo)數(shù)。 試根據(jù)誤差指標(biāo) J 最優(yōu)意義下最優(yōu)的規(guī)則設(shè)計(jì)線性二次型最優(yōu)控制器，利用SIMULINK 搭建系統(tǒng)框圖進(jìn)行仿真，滿足以下指標(biāo)： 輸出量 x 和 Φ 的過渡過程時(shí)間小于 2s。 輸出量 Φ 的超調(diào)量小于 20176。 總體方案設(shè)計(jì) LQR 最優(yōu)設(shè)計(jì)指設(shè)計(jì)出的狀態(tài)反饋控制器 K 要使二次型目標(biāo)函數(shù) J 取最小值，而 K由權(quán)矩陣 Q 和 R 唯一決定，通過對(duì) Q、 R 的選擇，來達(dá)到最優(yōu)控制的目的，圖 62 所示為控制框圖。 根據(jù)極值原理，可以得出最優(yōu)控制律，即 ： 式中， K 為最優(yōu)反饋增益矩陣； P 為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提（ Riccati）代數(shù)方程，即 ： 則最優(yōu)反饋增益 K 為： Q、 R 的選擇原則 由原理可知，要求出最優(yōu)控制作用 u，除了求解 ARE 方程外，加權(quán)矩陣的選擇也是至關(guān)重要的。有以下幾種原則： （ 1） Q、 R 都應(yīng)是對(duì)稱矩陣， Q 為正半定矩陣， R 為正定矩陣。當(dāng)控制輸入只有一個(gè)時(shí)，R 成為一個(gè)標(biāo)量數(shù)（一般可直接選 （ 3） Q 的選擇不唯一。 LQR 最優(yōu)控制器系統(tǒng)設(shè)計(jì)的 Matlab 實(shí)現(xiàn)方法 Matlab 控制系統(tǒng)工具箱提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制問題的命令和算法，其中函數(shù) lqr( )可以直接求解二次型調(diào)節(jié)器問題，命令格式如下： [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)，其中 K 為最優(yōu)反饋增益矩陣， P 為 Riccati 方程的唯一正定解， E 為 ABK 的特征值。輸出的被控量分別是小車的坐標(biāo) x 和倒立單擺的垂直角度 Φ。 首先求開環(huán)系統(tǒng)的特征值，判斷其穩(wěn)定性。0 0。0 0]。 。 ]。0 0 1 0]。 57 %求解系統(tǒng)的特征值 p=eig(A) t=0::1。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖 63 所示，上圖是小車坐標(biāo) x 的階躍響應(yīng)曲線，下圖是倒立擺的垂直角度 Φ 的階躍響應(yīng)曲線，所以必須加入校正裝置。一般來說， Q 選擇的越大，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定所需要的時(shí)間越短。編程如下： %Q 和 R 矩陣的選擇 m=1。0 0 0 0。0 0 0 0]。 %求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài) 58 [k,p,e]=lqr(A,B,Q,R) %求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程 Ac=[(AB*k)]。Cc=C。 %輸出系統(tǒng)階躍響應(yīng) T=0::10。 [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。y2=Y(:,2)。r:39。 title(39。)。時(shí)間（ sec） 39。 ylabel(39。)。 legend(39。,39。) 結(jié)果為： k = p = e = + + 此時(shí)求得的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為： 其響應(yīng)曲線如圖 64 所示 ： 59 圖 64 m= n=1 時(shí) 階躍響應(yīng)曲線 從圖 64 可以看出，超調(diào)量基本滿足要求，但穩(wěn)定值與系統(tǒng)期望值相差太大（小車坐標(biāo)的響應(yīng)曲線穩(wěn)態(tài)值為負(fù)值）；另一方面過渡時(shí)間和上升時(shí)間都很大，必須重新校正。 取 m， n 分別為以下值進(jìn)行仿真 表 1 不同的 m， n 取值 m 10 60 110 210 500 110 1000 3000 …… n 10 60 110 210 510 500 110 500 …… 圖 65 m=10。n=60 60 圖 67 m=110。n=210 圖 69 m=500。n=110 圖 611 m=110。n=110 圖 613 m=3000。n=110