維納濾波和卡爾曼濾波(1)-閱讀頁
2025-06-02 23:09本頁面
【正文】 nns)()1(?)(? nGnnsnns n ????m i n]))(?)([()]([)( 22 ???? nnsnsEneEn?nGnG)(n?? ? 0)]1(?)()[(2])]([)([2)]([)( 2?????????????nnsxneEGneneEGneEGnnnn? ? 令： 表示信號的一步預測誤差 ? 令： 表示相應的一步預測誤差功率 ? 注意到 誤差： ? ? 0)]1(?)()[( ??? nnsxneE)1(?)()(1 ??? nnsnsne)]([)( 21 neEnP ?)(ne)()()1()1(?)()([)())1(?)(()(?)()(?)()(11nvGnecGnnsvncsGnennsxGnnsnsnnsnsnennnn???????????????)()()1(?)()()1(?)(1 nvncennsvncsnnsx????????? 考慮到 與 不相關，故 ? 解得： ? 看出 預測誤差功率越大，最佳加權系數 就越大，也就是說當 預測誤差越大表明預測越不準確，利用新息進行修正就應該越多。 (見 ) ? 卡爾曼濾波過程實際上是獲取維納解的遞推運算過程，這一過程從某個初始狀態(tài)啟動，經過迭代運算，最終到達穩(wěn)定狀態(tài)，即維納濾波狀態(tài)。在遞推運取過程中，隨著迭代次數 n的增加， 將逐漸下降，直到最終趨于某個穩(wěn)定值 。 都可作為初值。 ? 為此： )0()00(? ?和s)11(?)1()1( 1 sGP ?)1(? )11(?s)(n????? ??? )1()( nn)00(?)0(1 sG ?)00(?s )0(?0)]00(?)0([2)00(? )0( ?????? ssEs? ? 選擇：應使 最小 RaQccQG)1( 221????)]0([)0|0(? sEs ??1G)1(?? ? 在實際中，常需根據觀測數據同時估計若干個信號。 ? 例如：一個 q階自回歸過程 ? 對于上述兩種情況，把標量卡爾曼推廣到矢量，可以給分析計算帶來很大方便。每個信號的狀態(tài)方程是： qsss ....21)()()(1nwinsansqni ??? ??)(. . . .)()( 21 nsnsns qqinwnsans iiii ...2,1)()1()( ????? 是零均值的噪聲序列。 ? 構成一個 q維矢量 ? 則 q個方程可以簡化為一個矢量方程 )()1()( nwnAsns ???)(1 nwTqTqnwnwnwnwnsnsnsns)]() . . .()([)()]() . . .(),([)(2121???????????????qaaaaA. . . . . .00. . .0. . .000. . .000. . .00321? 另一種情況，雖然被估計的只有一個信號 ，但它是一個高階自回歸過程。 ? 設在 n時刻同時測得： k個數據 ? 它們與 的關系為 ? 數據矢量： ? 噪聲矢量： ? 則 k個測量方程可簡化成一個矢量方程 )(ns)()()( nvncsnx ??)() . . .()( 21 nxnxnx k)(nsikinvnsx iiii . . .2,1)()()( ???Tk nxnxnxnx )]() . . .()([)( 21?Tk nvnvnvnv )]() . . .()([)( 21?? C是一個 k*q矩陣 ? ? 與標量卡爾曼濾波器遞推計算公式的推導過程類似，可以導出矢量卡爾曼濾波器的相應公式?，F設計一因果 IIR維納濾波器處理 ，以得到對 的最佳估計。 1? ? ?( | ) ( ) ( 1 | 1 ) [ ( ) ( ) ( ) ( 1 | 1 ) ]( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] ( )nTTTns n n A n s n n G x n A n c n s n nP n A n n A n Q nG P n C n C n P n C n R nn I C n G n P n???? ? ? ? ? ? ???? ? ??????? ???( ) ( 1 ) ( )s n s n n?? ? ? ( ) ( ) ( )x n s n n???()n? ()n? ()n?()sn ()n? ()xn()sn解 根據信號模型和測量模型方程可看出下列參數值：a=1,c=1,Q=,R= Ricatti方程 得 解此方程得 P=1或 P=，取正解 P=1. 再計算維納增益 G和參數 f： 22a R PQPR c P?? ? 1 PP P?? ?2210 .51110 .511cpGR c PRafR c P? ? ???? ? ???故得因果 IIR維納濾波器的傳輸函數和差分方程分別為： 卡爾曼濾波器 例 已知信號模型為 ，測量模型為 ， 初始條件為 。 解 將 a=,c=1,Q=,R=1等效值代入 推導中，得到 11()1 1 ? ?( ) ( 1 ) ( )cGHzfz zs n s n x n??????? ? ?( ) ( 1 ) ( )s n s n n?? ? ? ( ) ( ) ( )x n s n n???[ ( ) ( ) ] 0 .3 6 , [ ( ) ( ) ] , [ ( ) ( ) ] 0 , [ ( ) ( ) ] 0ni niE n i E n i E n s i E n i? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??( 0) 1 , ( 1 | 1 ) 0s? ? ? ? ?200? ? ?( | ) ( 1 | 1 ) ( ) [ ( ) ( 1 | 1 ) ]( ) ( 1 ) ()()1 ( )( ) [ 1 ( ) ] ( ) 0s n n s n n G n x n s n nP n nPnGnPnn G n P n????? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ?根據公式求得 最后，求得 ，這是均方誤差最后趨近的穩(wěn)定值。 ( ) ( )( ) [ 1 ] ( ) ( )1 ( ) 1 ( )P n P nn P n G nP n P n? ? ? ? ???0 ? ?(0) 1? ? ?( 1 | 1) 0s ? ? ?
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