【正文】 ，得到 式中 可知 是滿足插值條件的 線性插值多項式 。 )(~)( ))(](,[)](,[)()(1110100100xRxNxxxxxxxfxxxxfxfxf????????)](,[)()( 01001 xxxxfxfxN ???)(1 xN))(](,[)(~ 10101 xxxxxxxfxR ???167。 而 為二次插值的余項。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 類似地將各式依次代入前式，最后可以得到 其中 為滿足插值條件的 n次插值多項式，通常稱其為 n次牛頓插值 多項式 。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 與 相比較，有 而 為 牛頓型插值余項 。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 由于滿足插值條件的插值多項式存在且唯一，所以有 如果 在 上有 n+1階導數，則有 即 )()( xLxN nn ?)(xf ),( ba)()(~ xRxR nn ?)()!1( )()(],[)(~ 1)1(10 xnfxxxxfxRnnnnn ??? ??? ????),( ,)!1( )(],[)1(0 banfxxxf nn ???????167。 )(xNk110 , ?kxxx ?kxxx , 10 ?)(1 xNk?)())(](,[)()( 101101 kkkk xxxxxxxxxfxNxN ????? ?? ??1?kx )(xNk)())(](,[ 10110 kk xxxxxxxxxf ???? ??167。 解 ： 首先計算差商 iixiy0 1 2 3 1 2 3 4 0 5 6 3 ix iy一階差商 二階差商 三階差商 1 0 2 5 5 3 6 1 2 4 3 9 5 1 167。 解 ：選取最接近 5個節(jié)點，首先構造差商表 167。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 ix )( ixf一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 五階差商 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ????????????????????xxxxxxxxxxxN 當函數 的表達式未知或函數 的高階導數比較復 雜時，常用牛頓插值多項式余項 但由于公式中的 n+1階差商 的值與 的 值有關，因此不能準確計算 ，只能對其做出 一種估計。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 ? ? ? ? 6 3 1 9 4 ?? Nf? ?xf? ?xf)())(](,[)(~ 1010 nnn xxxxxxxxxxfxR ???? ??],[ 10 nxxxxf ? ? ?xf],[ 10 nxxxxf ? 當 n+1階差商變化不劇烈時，可用 近似代替 ，即 采用此法計算 的誤差，則有 截斷誤差很小，可用忽略不計。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 ],[ 110 ?nn xxxxf ?],[ 10 nxxxxf ?)())(](,[)(~ 10110 nnnn xxxxxxxxxxfxR ???? ? ??? ?5 9 ? ? ? ?? ?? ? ? ?959 ,~???????? xxxxfR ?167。 解 ：計算差商 x)(xf水深 溫度 （ m） 466 714 950 1422 1634 （ 186。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項式 用三次牛頓插值多項式 近似代替 ，得到 )(3 xN )(xf)950)(714)(466( )714)(466()466()(8523????????????????xxxxxxxN)(3 3 )1 0 0 0(3 CN ??)(0 2 8 7 )1 0 0 0()1 0 0 0( 4123 CR ???? ? ?用拉格朗日插值和牛頓插值找經過點 的三次插值多項式，并驗證插值多項式的唯一性。 167。 4 差分與等距節(jié)點插值公式 在實際應用中，常采用等距節(jié)點進行插值計算，這時插 值公式可以進一步簡化。 設被插值函數 在等距節(jié)點 上的值 已知，其中 稱為步長， 則 分別稱為被插值函數 在 處以 為步長的 向前差分 和 向后差分 ，符號 分別稱為向前差分算子和向后差分算子。 4 差分與等距節(jié)點插值公式 高階差分通過對低階差分求差分來定義，如二階差分為 階差分為 ? ? ? ? iiiiiiiii yyyyyyyyy ?????????????? ???? 11112 2? ? ? ? 21112 2 ???? ?????????????? iiiiiiiii yyyyyyyyyn,111 ininin yyy ??? ????? 111 ??? ????? ininin yyy167。 4 差分與等距節(jié)點插值公式 差分計算表格 ? ?? ? ? ?100 , , xxfhy nnn ??? ??? 432 iiiiii yyyyyx ??????? 04132234403122330212201100yyyyyxyyyyxyyyxyyxyx??????????167。 xsin ,00 ?? hxix iy iy? iy2? iy3? iy4?0 0 167。設給定等距節(jié)點 ， 根據 ，在牛頓插值多項式中把差商 用差分代替，得到 niihxx i ,2,1,0 ,0 ????? ? nkhk yxxxf kkk ,2,1 ,!, 010 ?? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?110010202000! !2???????????????nnnnxxxxxxhnyxxxxhyxxhyxfxN??167。相應的插值余項為 在具體進行計算時，首先計算差分表，然后求出 ， 根據公式計算相應插值。 thxx ?? 0 10 ?? t? ? ? ? ? ?? ? ? ?002000!11 !21ynntttyttytxfthxNnn???????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?nnnn xxfhn ntttthxR , ,!11 0110 ?? ???? ?? ???? ? hxxt 0??0x167。 為了利用向前差分表計算，根據向前差分和向后差分的關 系 ，把牛頓向后插值公式改寫為 nx? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ???????????????????????njnjjnnnnnnnyjjtttynntttyttytyxN022!111 !111 !211???jnjnj yy ????167。 4 差分與等距節(jié)點插值公式 例題 ：已知等距節(jié)點及相應點上的函數值如表所示，求 和 的值。 4 差分與等距節(jié)點插值公式 把差分值和 帶入牛頓向前插值公式得 當時 ， ，把相應差分值和 帶入牛頓向后 插值公式得 t? ? ? ?? ?? ?6 2?????????????N?x ???hxxt n t? ?? ?? ?? ?4 6 8 7 6 2?????????????N1已知數表 試分別作出三次牛頓前插和牛頓后插公式并分別計算 和 時函數的近似值（計算取 3位小數）。 4 差分與等距節(jié)點插值公式 ixiy0 1 2 3 1 2 17 64 ?x?x