【正文】 加 以肯定。 這里討論的盒子模型是對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣而言的，至于分 層、分階段等其它情況無(wú)非是大盒子里放小盒子等。設(shè)有一個(gè)容量為 7的總體 由下面盒子給出，如圖 2－ 3所示： 圖 2－ 3 1 2 3 4 5 6 7 總體平均數(shù)和方差為： 471 71?? ??iiYY )(17 1 2712 ???? ?? YYS ii標(biāo)準(zhǔn)差 ?? SS 此時(shí)，盒子中指標(biāo)值以及總體的參數(shù) 和 對(duì)于調(diào)查者 來(lái)說(shuō)是未知的。 YY2S2S 設(shè)樣本容量 n=3，使用樣本 的樣本均值和方 差 來(lái)估計(jì)總體的平均值 和方差 。所有可能的樣本數(shù)有 3737 C?????????此時(shí)，每一個(gè)樣本被抽中的概率都相等且為 ????????371如抽中樣本（ 2， 3， 6），則 )632(31 ????y])()()[(13 1 2222 ????????s用它們來(lái)估計(jì)總體的平均數(shù)和方差，誤差如下： 對(duì)平均數(shù)有隨機(jī)誤差 ????? Yy對(duì)方差有隨機(jī)誤差 ????? Ss 由于樣本是隨機(jī)的，誤差也將隨著樣本的不同而發(fā)生 變化。也就是說(shuō)，用樣本平均數(shù)和方差 來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)和方差有時(shí)是很糟糕的。或者說(shuō)，所有可能的 和 的平均值分別為 和 。 Y 2Sy 2s 一般來(lái)說(shuō)，基于抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量 —— 通常記為 ，在 前面的例子中是 和 —— 作為參數(shù) 的估計(jì)量，總是希望 能夠較好地近似代表 。 y 2sn???? 另外，待估參數(shù)又是未知的，我們也不可能知道抽樣誤 差到底等于多少。這就是在數(shù)學(xué)上對(duì)隨機(jī)變量取數(shù)學(xué)期望。 ? n?? ?? ?nE ? n???前述例子就說(shuō)明： YyE ? 22 SEs ?即 和 分別是 和 的無(wú)偏估計(jì)?；蛘哒f(shuō)估計(jì)量與參數(shù)的平均偏差為零。例如成功率為 p 的 n 次貝努里試驗(yàn)，其中成功的次數(shù) x 服從二項(xiàng)分布，對(duì)于觀察到的成功次數(shù) x ，可用 x/n 估計(jì)參 數(shù) p ，而且是無(wú)偏估計(jì)。 其實(shí)，有偏估計(jì)不見(jiàn)得一定討厭。稱(chēng)具有這種性質(zhì)的估計(jì)量為 漸近無(wú)偏估計(jì)量。在抽樣調(diào)查理論中，有必要討論有偏估計(jì)，這是因 為： n??（ 1）對(duì)于某些常見(jiàn)的參數(shù)，我們經(jīng)常采用一些既合理又方 便的估計(jì)量。 （ 2）既使我們采用的估計(jì)量是概率意義上的無(wú)偏估計(jì)量， 但在實(shí)際抽樣中卻變成了有偏估計(jì)，這是由抽樣本身造成的 例如：在抽樣中常常發(fā)生不回答現(xiàn)象，這些不回答的人一般 對(duì)所調(diào)查的問(wèn)題帶有一定的傾向性，根據(jù)回答者提供的資料 構(gòu)造的理論上的無(wú)偏估計(jì)實(shí)質(zhì)上并非整個(gè)總體的參數(shù)的無(wú)偏 估計(jì)。用這個(gè)平 均的概念是無(wú)法度量估計(jì)量的偏差的。隨機(jī)誤差的正負(fù)號(hào)是沒(méi)有多大意義的，實(shí)際關(guān)心的是 距離 的長(zhǎng)度。我們也可以考慮用所有可能隨機(jī)誤差的絕對(duì)值的平均值 來(lái)度量隨機(jī)誤差的大小，但是絕對(duì)值在數(shù)學(xué)上處理起來(lái)不方便。在總數(shù)為 7的盒子中抽出 3個(gè)個(gè)體 組成樣本 ，用 作為參數(shù) 的估計(jì)量，求估計(jì)量 的標(biāo)準(zhǔn)誤差 ()Var y1 2 3( , , )y y y y Y()Var y 2()E y Y??1 2 321 2 3,11[ ( ) 4]7 33y y yy y y? ? ? ????????互不相等23( 1 )73S? ? ?(具體運(yùn)算見(jiàn) ()式 ) ?( ) 0. 94V ar y?? 也就是說(shuō)，使用 來(lái)估計(jì) ，在平均意義上的誤差為 。 如果從盒子中抽取樣本容量為 5的樣本，可得 y 4Y ?()Var y 25( 1 ) 0 .2 775S? ? ? ? ( ) 0 .5 2V a r y ? 也就是說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)誤差隨著 n 的增大將顯著地減小了，這 是一條一般性的規(guī)律，基本上與總體數(shù) N無(wú)關(guān)。因?yàn)樵诔闃诱{(diào)查中，盒子中每一個(gè)體 的指標(biāo)值我們不能全部得知，故真正的參數(shù)也不可能得知。因此，在實(shí)際操作中，我 們只是用樣本的估計(jì)量來(lái)代替參數(shù)本身，并用樣本方差 來(lái) 代替總體方差 ，從而估計(jì)出估計(jì)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差。令人安慰的是，適當(dāng)加大樣本容量 n ， 我們將做得更 好。對(duì)于有偏估計(jì)來(lái)說(shuō) 在一定的條件下，也有類(lèi)似的結(jié)果。稱(chēng) 為 的偏倚，記為 。也就是說(shuō)：當(dāng) n 適當(dāng)大后，如果第二項(xiàng) 比起 來(lái)是小得可以忽略 不計(jì)的量，那么可以用均方誤差 MSE近似地取代方差 。記為 其中 是隨機(jī)變量的期望（平均值）， 為隨機(jī)變量的方 差， 為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。 一個(gè)隨機(jī)變量的變化規(guī)律用正泰曲線(xiàn)來(lái)描述，稱(chēng)該隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布，記作： ),( 2??N 一個(gè)隨機(jī)變量的變化如果受到許多因素的共同影響，但 沒(méi)有一個(gè)或數(shù)個(gè)因素起主導(dǎo)作用，那么我們認(rèn)為這個(gè)變量服 從正態(tài)分布。一 般地，當(dāng)這些變量所來(lái)自的母體具有非零有限方差 ，而 時(shí)，成立： 2???n)()( ttEXXnP ???????????也就是說(shuō)，當(dāng) n 很大時(shí)， 的分布可以近似地 用 代替。 ?)( EXXn ?)(t? 在抽樣調(diào)查中，情況稍有不同，但結(jié)論類(lèi)似。然而，當(dāng) N(總體總數(shù) )相當(dāng)大，抽樣樣本容量 n 相對(duì)較小時(shí)，隨機(jī)有放回與隨機(jī)無(wú)放回常有相類(lèi)同的概率 習(xí)性。 SYyNn)(11 21??????? ? ?由于 1/N比 1/n小的多，將 1/N忽略， 代替 S，上式和前式即 為一致。 yY ??NiiY1前面講了總體平均數(shù) 的估計(jì) 以及標(biāo)準(zhǔn)誤差 Y ySNnnSNnyV a r 212 111)( ?????? ???????? ??由此可以構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，用 代替 ，得下面區(qū)間： sNnyYsNny21211111?????? ?????????? ??2s 2S由于 是未知參數(shù)，是某一固定值。它可能覆蓋 ，也可 能沒(méi)有覆蓋 。其含義為如果 我們做了 100次抽樣調(diào)查，每次得到一個(gè)這樣的區(qū)間，在這些 區(qū)間中大約有 68個(gè)覆蓋了 。 ? 美中不足的是置信水平提高了，但是置信區(qū)間的寬度卻 加大了。比如，在上海市 1994年人口變動(dòng)抽樣 調(diào)查中，常住人口總量 95%置信水平的置信區(qū)間估計(jì)為： ，而估計(jì)的和實(shí)際登記的戶(hù)籍人口總數(shù)為 ?1289萬(wàn)，后一個(gè)數(shù)字是很精確的。眾所周知，人口總量應(yīng)該比戶(hù)籍人口總量大，顯 然，這里置信水平 95%過(guò)大了，選為 90%就可以了。某學(xué)期進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查以 估計(jì)常住在學(xué)校的學(xué)生的百分?jǐn)?shù)。抽取了一個(gè) 400名學(xué)生的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，結(jié)果是 317名學(xué)生常住學(xué)校。 前面我們說(shuō)過(guò)，比例的估計(jì)只是平均數(shù)估計(jì)的特例，只 要引進(jìn) 0— 1指標(biāo)即