【正文】 ～ 2( , ),N?? 則 22 11 ()nii XX? ? ??服從 2( 1)n? ? 分布 . 70、設(shè)（ 621 , XXX ? ）是來自正態(tài)分布 )1,0(N 的樣本， 264231 )()( ?? ?? ?? i ii i XXY 當(dāng) c ＝ 1/3 時， cY 服從 2? 分布 . 7 設(shè)某種清漆干燥時間 ),(~ 2??NX （單位：小時），取 9?n 的樣本，得樣本均值和方差分別為,6 2 ?? SX ，則 ? 的置信度為 95%的單側(cè)置信區(qū)間上限為： . 7 測 量鋁的比重 16 次，設(shè)這 16 次測量結(jié)果可以看作一個正態(tài)分布的樣本，得 ?X ，標(biāo)準(zhǔn)差 ?S ，則鋁的比重均值 ? 的 置信區(qū)間為 ． 三、解答題 設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件 ,ABC 滿足條件： , ( ) ( ) ( )AB C P A P B P C? ? ? ?，且已知9()16P A B C? ? ?，求 ()設(shè)事件 A 與 B 相互獨(dú)立，兩事件中只有 A 發(fā)生及只有 B 發(fā)生的概率都是 14，試求 ()PA 及()PB .1/2,1/2 一口袋中有 6 個紅球及 4 個白球。求：（ 1）前兩次均取得紅球的概率；（ 2）第 n 次才取得紅球的概率； 9/25,4^(n1)*6/10^n 甲、乙、丙 3 位同學(xué)同時獨(dú)立參加《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》考試，不及格的概率分別為 , , . （ 1）求恰有兩位同學(xué)不及格的概率； （ 2）如果已經(jīng)知道這 3 位同學(xué)中有 2 位不及格，求其中一位是同學(xué)乙 的概率 . 甲、乙、丙三門炮向同一架飛機(jī)射擊，設(shè)甲、乙、丙炮射中飛機(jī)的概率依次為 ， ， ，又設(shè)若只有一門炮射中，飛機(jī)墜毀的概率為 ，若有兩門炮射中，飛機(jī)墜毀的概率為 ，若三門炮同時射中，飛機(jī)必墜毀 .試求飛機(jī)墜毀的概率？ 已知一批產(chǎn)品中 96 %是合格品，檢查產(chǎn)品時，一合格品被誤認(rèn)為是次品的概率是 ；一次品被誤認(rèn)為是合格品的概率是 . 求在被檢查后認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率 . 某廠用卡車運(yùn)送防“非典”用品下鄉(xiāng)，頂層裝 10 個紙箱，其中 5 箱民用口罩 、 2 箱醫(yī)用口罩、 3 箱消毒棉花?，F(xiàn)從剩下 9 箱中任意打開 2 箱，結(jié)果都是民用口罩，求丟失的一箱也是民用口罩的概率。（ 2）方差 )(XD . 1設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為0,( ) a r c si n ,1,xaxF x A B a x aaxa? ????? ? ? ? ??? ??? 求： (1)確定常數(shù) A 和 B ；（ 2） X 的概率密度函數(shù) . 1 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的聯(lián)合概率密度為 () 0 , 0,( , )0,xy xyAef x y ?? ???? ?? 其 他 求（ 1） A 的值；（ 2） { 1, 2}P X Y?? 某工廠生產(chǎn)的一種設(shè)備的使用壽命 X （年）服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 41 , 0() 40 , 0xexfxx?? ??? ????。 2 某種型號的器件的壽命 X （以小時計(jì)）具有以下的概率密度 21000 , 100 0()0,xfx x? ??? ??? 其它。 2設(shè)某種藥品的有效期間 X 以天計(jì)，其概率密度為 20200 ,0( ) ,0 , 0xfxx? ??? ????3(x+100) 求： (1)X 的分布函數(shù)； (2)至少有 200 天有效期的概率 . 2設(shè)隨機(jī)變量 X 服從均勻分布 [0,1]U ，求 2lnYX?? 的概率密度 . 2設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為21( ) , ( )(1 )Xf x x Rx????，求 31YX?? 的概率密度 ()Yfy． 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 ? ?YX, 的概率密度為????? ???????其它042,20),6(81),( yxyxyxf ， 求 }4{ ??YXP . 設(shè)隨機(jī)變量 ( , )XY 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 2 1 , 0 1 , 0 2( , ) 30,x x y x yf x y ? ? ? ? ? ??? ??? ，其他 試求 :(1)( , )XY 的分布函數(shù)； (2)X 的邊緣 密度函數(shù) . 3設(shè)隨機(jī)變量 ( , )XY 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 36 , 0 1 , 0( , )0,yx e x yf x y ?? ? ? ?? ?? ，其他 試求 (1)X 和 Y 的邊緣密度函數(shù)； (2) { , 1}P X Y??. 3 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ? ?YX, 的概率密度為 ? ???? ??? ?? 其它0 0,0,),( 43 yxkeyxf yx （ 1）確定常數(shù) k ； （ 2）討論 YX, 的獨(dú)立性． 3 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的聯(lián)合密度函數(shù) 22 , 0 , 0( , )0,xye x yf x y ??? ??? ?? 其他, 求： (1)( , )XY 的分布函數(shù)； (2) 關(guān)于 X 的邊緣分布函數(shù) . 3設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量 ( , )XY 的 概率密度為 22 2 26( , ) , ( , )( 4 ) ( 9 )f x y x y Rxy????? 求： (1)( , )XY 的分布函數(shù)； (2)關(guān)于 Y 的邊緣概率密度 . 3設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的聯(lián)合概率密度為 2 1 , 1( ) ,( , )0, xyA x yf x y ? ???? ?? 其 他 求（ 1） A 的值；（ 2） 1{ 3, }2P X Y???，F(xiàn)從盒中一次抽取三個球，記隨機(jī)變量 X,Y 分別表示取到的三個球中的白球數(shù)與黑球數(shù)，試分別計(jì)算 X 和 Y 的分布律和數(shù)學(xué)期望 . 設(shè) 袋中有 10 個球，其中 3 白 7黑，隨機(jī)任取 3個，隨機(jī)變量 X 表示取到的白球數(shù) ,試求： (1)、隨 機(jī)變量 X 的分布律； (2)、數(shù)學(xué)期望 E(X )。 4設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 2 , 0 1()0,a x b x c xfx ? ? ? ? ?? ?? ，其他 已知 ( ) , ( ) X D X??，求系數(shù) ,abc. 4設(shè) X 的概率密度為 23 , 0 2 ,() 80 , .xxfx ? ???? ??? 其他試求 (1)X 的分布函數(shù)； (2)數(shù)學(xué)期望 )( 2XE 4設(shè) 隨機(jī)變量 X 代表某生物的一項(xiàng)生理指標(biāo)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可認(rèn)為其數(shù)學(xué)期望 ? ? 73?XE ，標(biāo)準(zhǔn)差7?? ．試用切比雪夫不等式估計(jì)概率 )9452( ?? XP ． 44 、設(shè) 12, , , nX X X 是總體 X 的一個樣本，若 2)(,)( ?? ?? XDXE ，樣本方差2211 ()1 n iiS X Xn ???? ?，試求 )( 2SE 。 4設(shè)總體 X 的概率密度為 1 , 0 1()0,xxfx?? ?? ??? ?? 其 它,其中 0?? 是未知參數(shù)， 12, , , nX X X 是來自總體 X 的一個容量為 n 的簡單隨機(jī)樣本， （ 1） ? 的矩陣估計(jì)量 ?? ；（ 2）判斷11 n iiXXn ?? ?是否為 ? 的無偏估計(jì)量 . (3)求 ? 的極大似然估計(jì)量。 ) ,0,c x x cfx xc???? ??? ?? ??? 其中 0c? 為已知， 1,?? ? 是未知參數(shù)， x??? ?? .112, , , nX X X是來自總體 X 的一個容量為 n 的簡單隨機(jī)樣本，求 (1)? 的矩估計(jì)量 ?? ； (2)? 的最大似然估計(jì)量 ?? . 5 設(shè)總體 2~ ( , )XN ? ， 1 2 10( , , , )X X X為總體 X 的一個樣本，并且已知樣本的平均值 1500x? ， .求 ? 的置信水平為 的置信區(qū)間．（ ? 、 ? ） 5有一大批糖果 .現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取 16 袋，得重量 (以 g 計(jì) )的樣本平均值 503?x ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差?S ， 設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體均值 ? 的置信水平為 的置信區(qū)間 . 四、綜合題 已知 111( ) , ( ) , ( ) ,432P A P B A P A B? ? ?求 ()PA B? ２、設(shè) ,AB是兩個事件，又設(shè) 12( ) 0 , ( ) 0P A p P B p? ? ? ?且 121pp??，證明： 211( | ) 1 pP B A p??? . 假設(shè) ( ) 0PA? ,試證 ()( | ) 1 ()PBP B A PA?? . 已知事件 ,ABC 相互獨(dú)立，證明： AB? 與 C 相互獨(dú)立 . 設(shè) ,AB是任意二事件，其中 0 ( ) 1PA??，證明： ( | ) ( | )P A B P A B? 是 A 與 B 獨(dú)立的充分必要條件 . 設(shè)事件 A、 B 滿足 ( ) 0, P (B )0PA ? ，試證明 A 與 B獨(dú)立和 A與 B互不相容不可能同時發(fā)生。 1 設(shè) 2020件產(chǎn)品中有 40件次品，按放回抽樣連取 100件，其中次品數(shù) X 為隨機(jī)變量． （ 1）寫出隨機(jī)變量 X 的概率分布律的表達(dá)式；（ 2）按泊松分布近似計(jì)算概率 ? ?40 ??XP ； 1設(shè)隨機(jī)變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (0,1)N ，求 XYe? 的概率密度 . 1設(shè) { 0} { 0}P X P Y? ? ? { 1} { 1}P X P Y? ? ? ?12? ，兩個隨機(jī)變量 X ， Y 是相互獨(dú)立且同 分布，求隨機(jī)變量 12m a x( , ) ,Z X Y Z X Y? ? ?的分布律 . １ 設(shè)二維隨機(jī)變量 ? ?YX, 是區(qū)域 D 內(nèi)的均勻分布， 1: 22 ??yxD ．試寫出聯(lián)合概率密度函數(shù)，并確定 YX, 是否獨(dú)立？是否相關(guān)？ 1 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的聯(lián)合概率密度為 2 0 1 , 0 2,( , )0, xyx A x yf x y ? ? ? ?? ?? ?? 其 他 求（ 1） A 的值；（ 2）兩個邊緣概率密度函數(shù)。 2設(shè) 2( , )XN?? ，試證明 XY ????服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (0,1)N . 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相 互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為 3 的泊松 (Poisson)分布，試證明 XY? 仍服從泊松分布，參數(shù)為 6. 2 設(shè)隨機(jī)變量 ZYX , 相互獨(dú)立且服從同一貝努利分布 ),1( pB . 試證明隨機(jī)變量 YX? 與 Z 相互獨(dú)立 . 2設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為??? ???? 其他，,0 ,10,)1()( xxkxf k 已知對 X 獨(dú)立重復(fù)觀測 3 次，事件 }21{ ?? XA 至少發(fā)生一次的概率為 6437 。 （ 2）為了使事件 A 至少發(fā)生一次的概率超過 ，那么對 X 至少要作多少次獨(dú)立重復(fù)觀測。 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 0,()00,x xefxx? ??? ???， 試求：（ 1） X 的分布函數(shù)；（ 2） 3YX? 的概率密度函數(shù)；（ 3） XYe?? 的數(shù)學(xué)期望。 （ 2）求21X的數(shù)學(xué)期望。 ) 10,xfx ?? ?? ???? ???? ，其他 求 ? 的矩估計(jì)量 ?? ，判別 ?? 是否為 ? 的無偏估計(jì) ? 3設(shè) 1?? 及 2?? 為參數(shù) ? 的兩個獨(dú)立的無偏估計(jì)量 ,且假定 12?( ) 2 ( ),DD??? 求常數(shù) 1C 及 2C ,使得1 1 2 2? CC? ? ???為 ? 的無偏估計(jì) ,并使得 ?()D? 達(dá)到最小 . 3從一批零件中抽取 18 個測量其長度，得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ?s ，設(shè)零件長度服從正態(tài)分布．求零件長度標(biāo)準(zhǔn)差 ? 的置信水平為 95%的置信區(qū)間． 3設(shè)某種清漆的 9 個樣品，其干燥時間（以 h 計(jì)）的樣本均值 6?x ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ?s ， 設(shè)干 燥時間總體 服從 ),( 2??N .若 ? (h)未知 ,求 ? 的置信水平為 . [ 附 正態(tài)分布、 t 分布、 2? 分布數(shù)值表 ] 0 01 0 025 0 05 0 102 3 2 7 1 9 6 0 1 6 4 5 1 2 8 2. . . .. , . , . , . ,z z z z? ? ? ?)8( ?t 0. 025 0. 025 0. 05 0. 05( 9) 622 , ( 10) 281 , ( 9) 331 , ( 10) 12 5t t t t? ? ? ? 2 2 2 20. 05 0. 05 0. 02 5 0. 02 5( 9) 16 .9 19 , ( 10 ) 18 .3 07 , ( 9) 19 .0 23 , ( 10 ) 20 .4 8 3? ? ? ?? ? ?