隨機(jī)過程基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)-閱讀頁
2024-09-18 21:55本頁面
【正文】 故 212t s t t s sr S F F F r F?? ? ?偏微分方程 首頁 由于以 S 作為基礎(chǔ)產(chǎn)品的衍生產(chǎn)品有許多種，因而該方程就有許多不同解。即一旦給出 S 和 t 的邊界值，則衍生產(chǎn)品的價(jià)值也就隨之確定。邊界條件 衍生產(chǎn)品的到期日是 T，基礎(chǔ)證券的價(jià)格與衍生證券的價(jià)格之間的關(guān)系在到期日是可明確確定的，即在到期日衍生產(chǎn)品的價(jià)格可由下式給出： 又因?yàn)? 則稱此式為偏微分方程的邊界條件 首頁 如 歐式看漲期權(quán) ，若執(zhí)行價(jià)格為 K，則邊界條件為 即表示：若到期時(shí)股票價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)格，即 ，則此看漲期權(quán)就不被執(zhí)行，期權(quán)就是無價(jià)值的。 ? ? ? ?, m a x , 0TTF S T S K??0TSK??當(dāng) 時(shí) tT?同樣，對(duì)歐式看跌期權(quán) ，則邊界條件為 ? ? ? ?, m a x , 0TTF S T K S?? 當(dāng) 時(shí) tT?首頁 二、偏微分方程的 一般形式 形如 邊界條件為 0 1 2 3 0s t s sa F a SF a F a F? ? ? ?? ? ? ?,TTF S T G S T?即為衍生產(chǎn)品的 偏微分方程的一般形式。另外，邊界條件和偏微分方程都受相關(guān)衍生產(chǎn)品的影響。 首頁 說明 2 這種方法的核心即解一個(gè)偏微分方程。同樣，當(dāng) ,函數(shù) F一定等于已知函數(shù) G必需滿足的邊界條件。從現(xiàn)有的金融產(chǎn)品和問題來看，邊界條件是變化的。通常，由金融理論得出一些衍生合同的價(jià)格是基礎(chǔ)證券到期日價(jià)值的函數(shù)，它可作為必須滿足的邊界條件。 返回 首頁 第二節(jié) 衍生產(chǎn)品期權(quán)的定價(jià) （補(bǔ)充內(nèi)容） 若 假設(shè) 基礎(chǔ)資產(chǎn)為股票，即股票的價(jià)格變化遵循微分方程 2212s t t s sr S F F S F r F?? ? ?此式即為著名的 d S S d t S d W????則 在第一節(jié)推出的偏微分方程，將變成 布萊克 斯科爾斯方程 一、布萊克 斯科爾斯方程 首頁 例 1 設(shè)有某種不支付股息的股票的遠(yuǎn)期合約，其價(jià)值 F與股票 S的關(guān)系為： 則價(jià)值 F滿足布萊克 斯科爾斯方程。 首頁 函數(shù) 即為布萊克 斯科爾斯方程的解。 二、定價(jià)公式 在風(fēng)險(xiǎn)中立化條件下，歐式看漲期權(quán)的期望價(jià)值為 布萊克 斯科爾斯微分方程，解決了歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的定價(jià)問題。 TS首頁 根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中立化原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 c 就是將此期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的值，即 () [ m a x ( , 0 ) ]r T tTc e E S K????又在風(fēng)險(xiǎn)中立化條件下， 的概率分布滿足 TS2l n [ l n ( ) ( ) , ]2TS S r T t T t???? ? ? ?利用期望的積分定義，可估算出 c的值為 ()12( ) ( )r T tc S N d K e N d????其中 21l n ( / ) ( / 2 ) ( )S K r T tdTt??? ? ???首頁 表示變量的期望值 表示期權(quán)被執(zhí)行的概率 N（ X）是均值為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1的累積正態(tài)分布函數(shù) 22l n ( / ) ( / 2 ) ( )S K r T tdTt??? ? ???1d T t?? ? ?注 價(jià)格 c的公式可改寫為 ( ) ( )12[ ( ) ( ) ]r T t r T tc e S N d e K N d? ? ???其中 2()Nd2()KN d表示期權(quán)協(xié)定價(jià)格與協(xié)定價(jià)格將會(huì)被執(zhí)行的概率的積 ()1() r T tS N d e ?為 TSK?TSK?為 0 TS當(dāng) 首頁 同樣 歐式看跌期權(quán)的價(jià)格公式為 () 21( ) ( )r T tp K e N d S N d??? ? ? ?說明 當(dāng)股票價(jià)格 S變得非常大， 和 都會(huì)隨之增大， 和 都趨于 1，則歐式看漲期權(quán)的價(jià)值 1d 2d1()Nd 2()Nd()r T tc S K e ????當(dāng)股票價(jià)格 S變得非常大， 和 都趨于 0，則看跌期權(quán)的價(jià)值 0。 例 2 ()Nx 假定某種股票期權(quán)的有效期尚剩六個(gè)月，此時(shí)股票價(jià)格為 42美元，股票期權(quán)的協(xié)定價(jià)格是 40美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率是 10%，每年的易變性是 20%。 解 由于 42S ? 40K ? ?? ? 0 .5Tt??因此 1l n d ????首頁 2l n d ????( ) 0 . 0 54 0 3 8 . 0 4 9r T tK e e? ? ???故歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為 ()12( ) ( )r T tc S N d K e N d????4 2 (0 . 7 6 9 3 ) 3 8 . 0 4 9 (0 . 6 2 7 8 )NN??歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為 () 21( ) ( )r T tp K e N d S N d??? ? ? ?3 8 . 0 4 9 ( 0 . 6 2 7 8 ) 4 2 ( 0 . 7 6 9 3 )NN? ? ? ?首頁 利用多項(xiàng)式近似計(jì)算法，求得 (0 . 7 6 9 3 ) 0 . 7 7 9 1N ?因此 ( 0 . 6 2 7 8 ) 0 . 2 6 5 1N ??(0 . 6 2 7 8 ) 0 . 7 3 4 9N ?( 0 . 7 6 9 3 ) 0 . 2 2 0 9N ??4 .7 6c ? 0 .8 1p ?表示 對(duì)看漲期權(quán)的購買者而言，股票價(jià)格必須上漲 。 返回 首頁
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