【正文】 方法解微分方程得到 3??, 3??,??,??的圖像如圖 6： 圖 6 根據(jù)以上計(jì)算 ， 快速調(diào)整階段持續(xù)時間 ，距離著陸點(diǎn)高度 h=， 著陸器剩余 質(zhì)量 ??3=，燃料消耗 34kg， 末 速度小于 5 10?3??/??。 該階段及其后階段，由于離月面高度遠(yuǎn)小于月球半徑，為了便于計(jì)算，把著陸點(diǎn)表面重力加速度看成定值。 同時，由于此后每一階段的燃料消耗較少，為了便于計(jì)算，可以把每一階段中著陸器的質(zhì)量 m 當(dāng)成一個定值。為了保證著陸器在下落在月球表面時起落架不發(fā)生損壞、艙體不發(fā)生傾覆，理想的著陸點(diǎn)應(yīng)滿足坡度較小和平坦無障礙物的兩重條件。 考慮到著陸器著陸過程中可能出現(xiàn)的偏差 ， 選定的安全著陸區(qū)域的面積應(yīng)當(dāng)最大化 。在低精度的梯度圖的基礎(chǔ)上，取安全著陸的坡度為 15176。 通過對梯度化、篩選過的可行區(qū)域圖與原高程圖的對比，我們可以認(rèn)為此時的篩選區(qū)域圖已經(jīng)可以表示出可行的著陸區(qū)域（如圖 12）。選定的著陸區(qū)域相對圖片中心的坐標(biāo)為 (30~1650)E(810~1650)S(m)，區(qū)域尺寸為 1360800m3（如圖 13） 。的直線下降方式逐步接近著陸區(qū) [4]。 為實(shí)現(xiàn)粗避障軌跡接近與水平面夾角 β =45176。 基于節(jié)省燃料，應(yīng)使下降時間盡量短，為此采用先勻加速后勻減速運(yùn)動的方式 , 且兩階段加速度大小相等、方向相反。 減速階段，其加速度方程如下： ??? = ???? cos?? ? ??,???? = ????? sin?? ， ??? = ???? 。 考 慮 到照 片 區(qū) 域范 圍 為 2300 2300m ，???????? = 1150m，為使時間最短， a? = | 4??????22(????????/2)| = ??/??2 將 a?值代入方程，得： ?? = ??/??2， ????’ = ??2， ??‘ = 。 380。 根據(jù) 識別的 圖像， 起點(diǎn)與著陸區(qū)域中心的位置 x=，該過程持續(xù)時間為 ，過程末期著陸器質(zhì)量 ??4?? = 。則該過程持續(xù)時間 ??41 + ??42 = ??，???4 = 10?2????，消耗質(zhì)量可以忽略不計(jì)。 因?yàn)樵撾A段以及隨后階段運(yùn)動過程較為簡單，故不再額外附上著陸軌跡圖。 此時避障的目標(biāo)是避開突然起伏的小型障礙物和障礙區(qū)域 。 根據(jù)對高程圖的分析 （如圖 15），由于月球表面材質(zhì)和數(shù)據(jù)采集精度問題，著陸器采集到的高程圖存在明顯的毛刺，為了使高程圖更具實(shí)際意義，我們先對高程圖取平均值進(jìn)行降噪處理并將 x 軸、 y 軸方向的精度降為 1m（如圖 16）。 對于每個單元格 ，定義 安全性的標(biāo)準(zhǔn)為 ： ??????? ? ??????? ≤ ?? 在此標(biāo)準(zhǔn)下的安全著陸點(diǎn)分布圖為 ： 由于可供著陸器安全著陸的區(qū)域較小，著陸器采取螺旋搜索的可行的著陸地點(diǎn)，在距離登陸器最近的位置找到著陸點(diǎn)。 為提高避障準(zhǔn)確性，該階段 推力等于重力， 在豎直方向一直以一個恒定速度下落 。 而 為達(dá)到省燃料目的，應(yīng)盡量縮短其過程時間 t5。當(dāng)著陸器到達(dá)安全著陸點(diǎn)時，水平位移停止，豎直方向上速度不變繼續(xù)下落?？紤]到圖像為 100100 米區(qū)域，且著陸器初始位置位于區(qū)域正中央，取著陸器可能花費(fèi)最大時間的一半所經(jīng)過的路程 米作為閾值。無論哪種措施，其著陸器質(zhì)量改變量 ?m5均為 10?2????量級，可以忽略。 6) 緩速下降 段 該階段 區(qū)間是距離月面 30m 到 4m。相對于其他過程，該階段時間 較 短，推力 較 小， 著陸器質(zhì)量消耗 最小 ，可以把著陸器質(zhì)量當(dāng)成定值。 其具體策略如下： 先以一個 略小于重力的推力 下降 (實(shí)際上為便于計(jì)算可近似成勻速直線運(yùn)動 )，等到進(jìn)入 某一臨界值（為便于計(jì)算，這里擬采用 20 米）時開始勻減速制動，確保 4 米處速度降為 0。由此可以求得， ??1 = ， ??2 = 8??。 1）誤差分析 誤差分析，即對于每階段的可能存在的誤差因素進(jìn)行 分析 ，考慮其對結(jié)果產(chǎn)生的影響 量級 。 24 該模型中誤差來源主要有以下因素： 著陸準(zhǔn)備 段 : 月球扁率： 月球扁率為 1/，根據(jù)第一問的計(jì)算，若考慮該因素，萬有引力會有 10?3級變化。 地球引力：地球?qū)χ懫鞯?萬有引力會使繞月向心力產(chǎn)生 10?3級的誤差。 太陽引力：理由同上， ε(太陽引力 ) = O(10?3)。 主減速段： 月球自轉(zhuǎn)：該階段時間為 ，月球自轉(zhuǎn)角度 ( 10?2)。 此外， 龍格 庫塔算法 模擬退火算法 也會帶來一定的誤差 ，該誤差較小，且 難以定性分析 。因?yàn)橘|(zhì)量改變，對 著陸軌道 ε(姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī) ) =O(10?6)。 粗避障段： 姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)： 姿態(tài)調(diào)整時間約為 2s 左右， 產(chǎn)生影響同上。 若 g 取實(shí)際高度，其ε(重力加速度 ) = O(10?3)。 精避障段： 姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)：同上。 著陸器質(zhì)量： ε(著陸器質(zhì)量 ) = O(10?6)。 著陸器質(zhì)量： ε(著陸器質(zhì)量 ) = O(10?7)。其實(shí)質(zhì)是通過逐一改變相關(guān)變量數(shù)值的方法來解釋關(guān)鍵 指標(biāo) 受這些因素變動影響大小的規(guī)律。 由于 發(fā)動機(jī)在第 二、三階段中始終以最大推理運(yùn)行，考慮最大推力 Fmax發(fā)生變化時對下降過程的影響 ： 經(jīng)過計(jì)算 ， 當(dāng)最大推力 Fmax由 7500N 下降為 7200N 時，模擬退火算法仍可以求出可行的控制方案，下降時間為 427s 與 Fmax 為 7500N 時的偏差不大。 26 六、 模型優(yōu)缺點(diǎn) 本文所采用的模型在處理月球著陸器的運(yùn)動控制問題中完成了著陸器由環(huán)繞軌道進(jìn)入著陸準(zhǔn)備軌道直到降落在月球表面的全過程的控制策略，對著陸器的燃料使用、著陸時間、著陸安全性進(jìn)行了優(yōu)化，在比較高的精度上完成了月球著陸器的優(yōu)化問題。 例如 ： 在計(jì)算過程中模型無法證明控制方案的最優(yōu)性 、 沒有考慮火箭發(fā)動機(jī)在圖里快速變化時的推進(jìn)力特點(diǎn) 、 著陸器姿態(tài)控制時的調(diào)整速度等 。 七、 模型的進(jìn)一步討論與改進(jìn) 對于模型的進(jìn)一步改進(jìn) ， 可以進(jìn)一步考慮主發(fā)動機(jī)的推進(jìn)力改變速度 、 姿態(tài)調(diào)整速度 對著陸器運(yùn)動過程的影響。在模型的進(jìn)一步改進(jìn)中也可以加入針對突發(fā)情況的實(shí)時調(diào)整，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Space Sci. 12(3),288295,2020 [7]周凈揚(yáng)，月球探測器軟著陸精確建模及最優(yōu)軌道設(shè)計(jì)，宇宙學(xué)報，第 28 卷第 6 期，14621471,2020 年 28 九、 附錄 建模過程中使用的主要 代碼以及相關(guān)表格包括： 對第二階段動力學(xué)微分方程的求解 對第二階段決策序列的運(yùn)動狀態(tài)和評估函數(shù)求解 對第三階段動力學(xué)微分方程的求解 對給定的初狀態(tài)進(jìn)行模擬退火優(yōu)化 對給定的高程圖生成梯度矩陣 求解給定的梯度矩陣的平均值