【正文】 方法解微分方程得到 3??, 3??,??,??的圖像如圖 6： 圖 6 根據以上計算 ， 快速調整階段持續(xù)時間 ，距離著陸點高度 h=， 著陸器剩余 質量 ??3=，燃料消耗 34kg， 末 速度小于 5 10?3??/??。 該階段及其后階段，由于離月面高度遠小于月球半徑，為了便于計算，把著陸點表面重力加速度看成定值。 同時，由于此后每一階段的燃料消耗較少，為了便于計算，可以把每一階段中著陸器的質量 m 當成一個定值。為了保證著陸器在下落在月球表面時起落架不發(fā)生損壞、艙體不發(fā)生傾覆，理想的著陸點應滿足坡度較小和平坦無障礙物的兩重條件。 考慮到著陸器著陸過程中可能出現的偏差 ， 選定的安全著陸區(qū)域的面積應當最大化 。在低精度的梯度圖的基礎上，取安全著陸的坡度為 15176。 通過對梯度化、篩選過的可行區(qū)域圖與原高程圖的對比，我們可以認為此時的篩選區(qū)域圖已經可以表示出可行的著陸區(qū)域（如圖 12）。選定的著陸區(qū)域相對圖片中心的坐標為 (30~1650)E(810~1650)S(m)，區(qū)域尺寸為 1360800m3（如圖 13） 。的直線下降方式逐步接近著陸區(qū) [4]。 為實現粗避障軌跡接近與水平面夾角 β =45176。 基于節(jié)省燃料，應使下降時間盡量短，為此采用先勻加速后勻減速運動的方式 , 且兩階段加速度大小相等、方向相反。 減速階段，其加速度方程如下： ??? = ???? cos?? ? ??,???? = ????? sin?? ， ??? = ???? 。 考 慮 到照 片 區(qū) 域范 圍 為 2300 2300m ，???????? = 1150m，為使時間最短， a? = | 4??????22(????????/2)| = ??/??2 將 a?值代入方程，得： ?? = ??/??2， ????’ = ??2， ??‘ = 。 380。 根據 識別的 圖像， 起點與著陸區(qū)域中心的位置 x=，該過程持續(xù)時間為 ，過程末期著陸器質量 ??4?? = 。則該過程持續(xù)時間 ??41 + ??42 = ??，???4 = 10?2????，消耗質量可以忽略不計。 因為該階段以及隨后階段運動過程較為簡單，故不再額外附上著陸軌跡圖。 此時避障的目標是避開突然起伏的小型障礙物和障礙區(qū)域 。 根據對高程圖的分析 （如圖 15），由于月球表面材質和數據采集精度問題，著陸器采集到的高程圖存在明顯的毛刺，為了使高程圖更具實際意義，我們先對高程圖取平均值進行降噪處理并將 x 軸、 y 軸方向的精度降為 1m（如圖 16）。 對于每個單元格 ，定義 安全性的標準為 ： ??????? ? ??????? ≤ ?? 在此標準下的安全著陸點分布圖為 ： 由于可供著陸器安全著陸的區(qū)域較小，著陸器采取螺旋搜索的可行的著陸地點，在距離登陸器最近的位置找到著陸點。 為提高避障準確性，該階段 推力等于重力， 在豎直方向一直以一個恒定速度下落 。 而 為達到省燃料目的，應盡量縮短其過程時間 t5。當著陸器到達安全著陸點時，水平位移停止，豎直方向上速度不變繼續(xù)下落。考慮到圖像為 100100 米區(qū)域，且著陸器初始位置位于區(qū)域正中央，取著陸器可能花費最大時間的一半所經過的路程 米作為閾值。無論哪種措施，其著陸器質量改變量 ?m5均為 10?2????量級，可以忽略。 6) 緩速下降 段 該階段 區(qū)間是距離月面 30m 到 4m。相對于其他過程，該階段時間 較 短，推力 較 小， 著陸器質量消耗 最小 ，可以把著陸器質量當成定值。 其具體策略如下： 先以一個 略小于重力的推力 下降 (實際上為便于計算可近似成勻速直線運動 )，等到進入 某一臨界值（為便于計算，這里擬采用 20 米）時開始勻減速制動，確保 4 米處速度降為 0。由此可以求得， ??1 = ， ??2 = 8??。 1）誤差分析 誤差分析，即對于每階段的可能存在的誤差因素進行 分析 ，考慮其對結果產生的影響 量級 。 24 該模型中誤差來源主要有以下因素： 著陸準備 段 : 月球扁率： 月球扁率為 1/，根據第一問的計算，若考慮該因素，萬有引力會有 10?3級變化。 地球引力：地球對著陸器的 萬有引力會使繞月向心力產生 10?3級的誤差。 太陽引力：理由同上， ε(太陽引力 ) = O(10?3)。 主減速段： 月球自轉：該階段時間為 ，月球自轉角度 ( 10?2)。 此外， 龍格 庫塔算法 模擬退火算法 也會帶來一定的誤差 ，該誤差較小，且 難以定性分析 。因為質量改變，對 著陸軌道 ε(姿態(tài)調整發(fā)動機 ) =O(10?6)。 粗避障段： 姿態(tài)調整發(fā)動機： 姿態(tài)調整時間約為 2s 左右， 產生影響同上。 若 g 取實際高度，其ε(重力加速度 ) = O(10?3)。 精避障段： 姿態(tài)調整發(fā)動機：同上。 著陸器質量： ε(著陸器質量 ) = O(10?6)。 著陸器質量： ε(著陸器質量 ) = O(10?7)。其實質是通過逐一改變相關變量數值的方法來解釋關鍵 指標 受這些因素變動影響大小的規(guī)律。 由于 發(fā)動機在第 二、三階段中始終以最大推理運行，考慮最大推力 Fmax發(fā)生變化時對下降過程的影響 ： 經過計算 ， 當最大推力 Fmax由 7500N 下降為 7200N 時，模擬退火算法仍可以求出可行的控制方案，下降時間為 427s 與 Fmax 為 7500N 時的偏差不大。 26 六、 模型優(yōu)缺點 本文所采用的模型在處理月球著陸器的運動控制問題中完成了著陸器由環(huán)繞軌道進入著陸準備軌道直到降落在月球表面的全過程的控制策略，對著陸器的燃料使用、著陸時間、著陸安全性進行了優(yōu)化，在比較高的精度上完成了月球著陸器的優(yōu)化問題。 例如 ： 在計算過程中模型無法證明控制方案的最優(yōu)性 、 沒有考慮火箭發(fā)動機在圖里快速變化時的推進力特點 、 著陸器姿態(tài)控制時的調整速度等 。 七、 模型的進一步討論與改進 對于模型的進一步改進 ， 可以進一步考慮主發(fā)動機的推進力改變速度 、 姿態(tài)調整速度 對著陸器運動過程的影響。在模型的進一步改進中也可以加入針對突發(fā)情況的實時調整，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Space Sci. 12(3),288295,2020 [7]周凈揚，月球探測器軟著陸精確建模及最優(yōu)軌道設計，宇宙學報，第 28 卷第 6 期，14621471,2020 年 28 九、 附錄 建模過程中使用的主要 代碼以及相關表格包括： 對第二階段動力學微分方程的求解 對第二階段決策序列的運動狀態(tài)和評估函數求解 對第三階段動力學微分方程的求解 對給定的初狀態(tài)進行模擬退火優(yōu)化 對給定的高程圖生成梯度矩陣 求解給定的梯度矩陣的平均值