【正文】 D是矩形，∴ OA=OC．∵，∴．∵在和中，∴，∴ OE=OF；（2）補全圖形如圖2，OE=OF仍然成立．證明如下：延長EO交CF于點G．∵，∴ AE//CF，∴．又∵點O為AC的中點，∴ AO=CO．在和中，∴，∴ OG=OE，∴中，∴ OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OEAE．證明如下：①如圖2，當點P在線段OA上時．∵，∴，由（2）可得：OF=OG，∴是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE；②如圖3，當點P在線段OA延長線上時．∵，∴，同理可得：是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，同理可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GFCG，∴ CF=OEAE．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質、全等三角形的性質和判定以及等邊三角形的性質和判定，解決問題的關鍵是構建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對角線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關系使問題得以解決．12．猜想與證明：如圖1，擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關系，并證明你的結論．拓展與延伸：（1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關系為　 ?。?）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，試證明（1）中的結論仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，證明見解析；（2）成立，證明見解析.【解析】試題分析：延長EM交AD于點H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（1）、延長EM交AD于點H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（2）、連接AE，根據(jù)正方形的性質得出∠FCE=45176。根據(jù)RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根據(jù)RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，從而說明DM=ME.試題解析：如圖1，延長EM交AD于點H，∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如圖1，延長EM交AD于點H，∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如圖2，連接AE，∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45176。∴AE和EC在同一條直線上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考點：（1）、三角形全等的性質；（2）、矩形的性質.13．如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作FG∥CD，交AE于點G，連接DG．（1）求證：四邊形DEFG為菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．【答案】（1）證明見試題解析；（2）．【解析】試題分析：（1）由折疊的性質，可以得到DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，再證明 FG=FE，即可得到四邊形DEFG為菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，從而求出的值．試題解析：（1）由折疊的性質可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四邊形DEFG為菱形；（2）設DE=x，根據(jù)折疊的性質，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，即，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．勾股定理；3．菱形的判定與性質；4．矩形的性質；5．綜合題．14．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE＝2．（1）如圖①，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；（2）如圖②，當四邊形EFGH為菱形，且BF＝a時，求△GFC的面積（用a表示）；（3）在（2）的條件下，△GFC的面積能否等于2？請說明理由．【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能【解析】解：（1）過點G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF＝90176。．∵∠AEH＋∠AHE＝90176?！唷鰽HE≌△BEF．同理可證△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．∴．（2）過點G作GM⊥BC交BC的延長線于M，連接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG．又∵∠A＝∠GMF＝90176。；（2）①2；②2【解析】試題分析：（1）根據(jù)SAS，可首先證明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性質，可得對應角相等，根據(jù)三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度數(shù)；（2）①如圖2，在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，利用旋轉法證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC=90176?！唷螮AC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠EAC=∠DAB，在△AEC和△ABD中∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120176。；（2）①如圖2，以AB為邊在△ABC外作正三角形ABE，連接CE．由（1）可知△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∴EC=BD=6，∵∠BAE=60176?！唷螮BC=90176?！鰽BC的面積不變化，以下證明：如圖2，作AH⊥BC交BC于H，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90176。．∵∠EBC=90176?！嗨倪呅蜛KBH為矩形．∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=9017