【正文】 知道怎樣解這兩個(gè)問題?！驹O(shè)計(jì)意圖】將問題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對問題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識。師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點(diǎn)？生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？【設(shè)計(jì)意圖】通過教師的問題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，同時(shí)為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。DAG=|DE|sin208。DAGBDv1vAGv2EC，|EG|=|DE|cos208。DAG=|DE|sin208。5=3210|v|=|AG|+|GE|=師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個(gè)直角三角形求解。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【設(shè)計(jì)意圖】通過教師對學(xué)生的肯定評價(jià)，創(chuàng)造一個(gè)教與學(xué)的和諧環(huán)境，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使緊接著的問題能更好地得到學(xué)生的認(rèn)同，又有利于學(xué)生和教師的共同成長?？梢砸灾苯侨切螢樘乩?，先在直角三角形中試探一下。（1）學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)生的研究?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師參與學(xué)生之間的研究，增進(jìn)師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導(dǎo)與觀察，及時(shí)掌握學(xué)生研究的情況，為展示學(xué)生的研究結(jié)論做準(zhǔn)備；同時(shí)通過展示研究結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的成功感及學(xué)習(xí)的信心。師：有沒有其它的研究結(jié)論？（根據(jù)實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進(jìn)一步深入研究。師：這是個(gè)好主意。師：對任意三角形asinA=bsinB=csinCasinA=bsinB=csinC對等邊三角形是否成立呢？是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫板》做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，??【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問題的能力。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個(gè)比值的變化情況?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識從感性逐步上升到理性。生10：（通過計(jì)算）與生5的結(jié)果相同。”的問題就簡單多了。（2）點(diǎn)明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則需要證明，請同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過分析，確定探究方案。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD=csinB=bsinC，所以bsinB=csinCAcabB，同理可得asinA=bsinBCD圖 5 銳角三角形師：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的。這是一個(gè)簡捷的證明方法！【設(shè)計(jì)意圖】點(diǎn)明此證法的實(shí)質(zhì)是找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時(shí)適時(shí)對學(xué)生作出合情的評價(jià)。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是DABC的三條高。ACB，BE=csin208。ABCAFcaD圖 6 EbCB。BAC=c12casin208。ACB==bsin208。BACsin208。BAD=90176。ACB=208。ADBab==2r同理可證：sin208。ABC\sin208。BAC=bsin208。ACBccbDC圖 7 三角形外接圓【設(shè)計(jì)意圖】在證明正弦定理的同時(shí)，將兩邊及其夾角的三角形面積公式 及asinA=bsinB=csinC=2r一并牽出，使知識的產(chǎn)生自然合理。生13：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。uuurr證法四：如圖8，設(shè)非零向量j與向量BC垂直。+B)+b|j|cos(90176。由向量數(shù)量積的幾何意生16：我還有一種證法uuuruuur證法五：如圖9，作AD^BC，則AB與AC在uuuruuuruuuruuuruuurAD方向上的投影相等,即ABAD=ACADuuuruuuruuuruuur\|AB||AD|cos(90176。C)C\csinB=bsin 師：請你到講臺來給大家講一講。）AcBDabC圖 9 向量故bsinB=csinC，同理可得asinA=bsinB師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！【設(shè)計(jì)意圖】利用向量法來證明幾何問題，學(xué)生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設(shè)計(jì)一些遞進(jìn)式的問題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。本節(jié)課，我們研究問題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，利用了幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。（五）作業(yè)回顧本節(jié)課的整個(gè)研究過程，體會知識的發(fā)生過程；思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，證明正弦定理。七、教學(xué)反思為了使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版） B組第二題，我將其加工成一個(gè)具有實(shí)際意義的決策型問題）；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題，逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題4與5時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī)。解決這兩個(gè)問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。第三篇：《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握正弦定理，總結(jié)歸納用正弦定理解三角形問題的步驟。在探究及其證明的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，初步感知數(shù)學(xué)中由定性到定量的思維方法。一方面它們可以合力解決數(shù)學(xué)中的大量問題；另一方面，它們在實(shí)踐中也發(fā)揮著重大作用，比如距離、高度、速度等的測量。正弦定理的證明方法有很多，比如平面幾何法和向量法，也是簡單的方法，可是它們都無法輕易得出比值是2R這一結(jié)論，因而我在教學(xué)中采用外接圓的方法，將三角形內(nèi)角轉(zhuǎn)化成直角三角形中的銳角，再利用銳角三角函數(shù)得出定理，過程稍稍復(fù)雜，可對于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力還是有幫助的。綜上，我將本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：正弦定理的證明及其使用。在探究證明方法時(shí)，學(xué)生也具備一定的分析問題的能力，也儲備了一些知識，比如初中時(shí)平面幾何中的知識和已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)的知識，他們也知道也將問題做類比和轉(zhuǎn)化，這些無疑都是有利的。另外，現(xiàn)在很多學(xué)生運(yùn)算能力相對薄弱，也會導(dǎo)致用正弦定理解三角形時(shí)漏解或多解情況的出現(xiàn)。綜上，我將本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：探究定理證明的方法，比值等于2R的由來。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 問題1：初 問題2：對對小角”僅是的知識得到這中時(shí)你學(xué)過哪些關(guān)于三角形邊角關(guān)系的結(jié)論？ 于任意三角形中的邊角關(guān)系“大邊對大角、小邊一種感性認(rèn)識，或者說定性分析，能否利用所學(xué)個(gè)邊角關(guān)系準(zhǔn)確的量化表示？如右圖。碰見多解的情況。二、正弦定理的證明及其應(yīng)用（一）定理的證明對于邊角關(guān)系，首先想到的是特殊三角形，即直角三角形中的邊角關(guān)系，我們先得到直角三角形中的結(jié)論，然后看能否推廣到一般三角形中。由此得到 設(shè)計(jì)意圖