【正文】 。165。b,174。著名的Lagrange中值定理的論證,其輔助函數(shù)的構造,即用分析法(從結(jié)論著手進行推證,推得符合條件或易證命題,推證的每一步均可逆,是原命題得證的一種逆向思維解題法)若函數(shù)f(x)滿足下列條件:（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。(c)=f(b)f(a).ba分析 觀察發(fā)現(xiàn),Lagrange中值定理中的兩個條件與Rolle定理中的前兩個條件相同,當f(a)=f(b)時,Rolle定理是Lagrange中值定理的特例,基于這種關系,自然會想到是否能夠引用Rolle定理去證明Lagrange中值定理的結(jié)論,如何利用Rolle定理,如何構造滿足Rolle定理的輔助函數(shù)?觀察圖像由拉格朗日中值定理結(jié)論f162。(c)=0, 即f162。n174。231。nnn246。247。1n分析 若直接證明此數(shù)列極限為4,沒有公式可以套用,此時可以考慮判斷極限存在性的兩個重要準則:,設所求數(shù)列為xn,目的是證明xn174。165。xn163。231。,n231。231。248。n174。n174。n1nnnn246。247。1n顯然yn163。zn,且limyn=limzn=4,有4163。4230。n174。231。例二、計算 ①limnnnn246。247。1nn174。(n+1)(n+2)L(n+n)n ②limn174。n(a1)an分析 兩題看似復雜,實則巧妙.①可轉(zhuǎn)化為定積分定義形式,這類題目的特點是:先把極限轉(zhuǎn)化為某一函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的定積分,再把區(qū)間[0,1]進行等分,從而把求極限問題轉(zhuǎn)化為求一個特定結(jié)構的和式極限.②可利用級數(shù)收斂的必要條件(若級數(shù)229。n174。 ①limnn174。(n+1)(n+2)L(n+n)12n=limn(1+)(1+)L(1+)n174。nnnnn1n230。 =lim213。1+247。165。n248。165。n=e242。nnn11 則級數(shù)229。165。165。165。165。165。1+1+4c163。165。165。165。1+4c).由極限保號性，a不能是負數(shù)，2(1+1+4c)2則數(shù)列{an}的極限是a=例四、設函數(shù)f(x)在[0,+165。162。(x)=f162。(x),162。(x)，表示函數(shù)f(x)的導數(shù)在x與x+x2兩點處的函數(shù)值之差，聯(lián)系Lagrange中值定理，有f(b)f(a)=f162。(a,b),于是,有f162。(x)=f162。(x)=f162。(x)又函數(shù)f(x)在[0,+165。(x)=f162。(x)在[x,x+x2]上連續(xù),在(x,x+x2)內(nèi)可導,根據(jù)Lagrange中值定理,至少存在一點c206。(x)=f162。(x)=f162。(c)[(x+x2)x]=f162。(c)x20F(x)在[x,x+x2]上單調(diào)遞減,從而有F(x)F(0)即,f(x+x2)f(x)f(0+x2)f(0)=f(x2).由x的任意性,可將x換成x1,既得f(x1+x2)f(x1)+f(x2),其中x10,x2 以下兩道典型題若應用綜合證法直接從已知條件去證明將會很難入手,此時考慮反證法,五、設f(x)在[a,b]上連續(xù),且f(x)179。f(x)dx=0,則f(x)在ab[a,b] 反證法 假設f(x)在[a,b]上不恒等于零,則必$x0206。0不妨設f(x0)0,又f(x)在x0連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的局部保號性知,$d0,當x206。[a,b]時,有f(x)(x)在[x0d,x0+d]上的最小值為m,則m(x)179。f(x)dx=242。x0+dx0dx0+df(x)dx+242。b242。242。f(x)dx=0矛盾,所以f(x)在[a,b]六、設f(x)在[0,p]上連續(xù),并且242。f(x)cosxdx=0,試證明:00在(0,p)內(nèi)至少存在兩個不同的點x1,x2,使f(x1)=f(x2)= 假設f(x)在(0,p)內(nèi)無零點,則由介值定理知,f(x)在(0,p)內(nèi)不變號,與242。0又若f(x)在(0,p)內(nèi)僅有一個零點x1,則由介值定理及242。f(x)(cosxcosx1)dx185。242。242。242。(sV182。Q182。x182。z為正).看似加減面將問題復雜化, V為S所圍成球體, 設p(x,y,z)=xxxzxf()+x3,q(x,y,z)=f()+y3,r(x,y,z)=f()+z3 yyyyy182。()+3x2 182。r1x182。()+3y2,=f()+3z2,在y185。zyy182。242。(x2+y2+z2)dxdydz,設Vx=rsinjcosq,y=rsinjsinq,z=R+rcosj,(0163。2p,0163。p,0163。R)則182。(r,q,j)I=3242。242。dq242。(r2+2Rrcosj+R2)r2sinjdr0002ppRR5R3322=3(2p2+R2p2)=pR5535（三）批判性命題驗證心理學家蓋耶說過:“誰不考慮嘗試錯誤,不允許學生犯錯誤,就將錯過富有成效的學習時刻.” 持批判性的態(tài)度,應用逆向思維真正理解命題的思想,消化命題,克服思維絕對化、表面化,八、若數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}都是收斂數(shù)列,且存在自然數(shù)N,當nN時,有an163。174。n174。 若條件an163。limbnn174。n174。而不能斷言limanlimbn[5] n174。n174。分析 若正向分析,則會無從下手,:,但是lim230。=lim231。=174。nn232。n174。232。 數(shù)學分析中,繼了解極限后,應用極限方法研究,無論在理論上或是在應用中都常見的連續(xù)函數(shù),進而研究一致連續(xù),區(qū)分一致連續(xù)與連續(xù)的區(qū)別,真正地領會一致連續(xù)的本質(zhì)及其與連續(xù)的關系,對后面的學習中遇到一致收斂、,它反映了函數(shù)在區(qū)間上的更強的連續(xù)性,而連續(xù)是函數(shù)的局部性質(zhì),函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)則一定連續(xù), f(x)在(a,b)內(nèi)或[a,b]上一致連續(xù)222。)上連續(xù),但非一致連續(xù).162。取xn=n+1,xn=n,n=1,2,L,當n174。時, 162。xnxn=n+1n174。)f(xn178。178。)上連續(xù),:[6]定理1 設f(x)在有限開區(qū)間(a,b)上連續(xù),則f(x)在(a,b)上一致連續(xù)的充要條件是lim+f(x)與limf(x)174。b注:①若f(x)在有限開區(qū)間(a,b)上有連續(xù)的導函數(shù),且limf162。ax174。(x)均存在且有限,可以推出limf(x)與limf(x)都存在并有限,因此+x174。bf(x)在(a,b)上一致連續(xù).②當函數(shù)f(x)在區(qū)間(165。)上連續(xù),定理的必要性不再成立,如f(x)=x在(165。)上一致連續(xù),但在端點177。無極限,對于無窮區(qū)間充分 設f(x)在區(qū)間[a,+165。)上一致連續(xù).(I)limf(x)=A(有限)x174。(II)若存在[a,+165。+165。)上可導，并且導函數(shù)有界(IV)f(x)在區(qū)間[a,+165。) 若f(x)是區(qū)間(165。)上的連續(xù)函數(shù),若也是周期函數(shù),九、證明:若229。an也收斂,反之是否成立? n=1n=1165。2分析 欲證229。an也收斂,這只需要用到比較判別法即可證得165。而欲證逆命題是否成立,則應從兩方面考慮:一是證逆命題成立,一是證逆命題不成立,無論證哪方面,我們可以舉反例去否定, 已知229。N+,nN,有n=1165。165。N+,有ann206。165。ak229。an收斂,則limBn=B(常數(shù)).顯然數(shù)列{An}是單調(diào)增加有n=1165。165。165。()收斂,=1nn=1n165。②若f(x)在點x0連續(xù),則f(x)在x0可導。④若多元函數(shù)在某點連續(xù)且偏導數(shù)存在,x179。,則f(x)在x0=0處連續(xù),而238。239。0 同樣,函數(shù)f(x)=237。238。1,當x為有理數(shù) D(x)=237。0,當x為無理數(shù)但是其本身并不可積,(x,y)=0239。x2y,在(0,0)點連續(xù)且偏導數(shù)239。0238。2z182。y182。x182。2z182。y182。x182。xy22239。0g(x,y)=237。0,x2+y2=0238。g(x,y)dx=yln(x2+y2)+C1 2再將x看成常量對y積分得x2+y2(x2+y2)22 v(x,y)=242。(x2+y2)ln(x2+y2),x2+y2185。 f(x,y)=237。0,x2+y2==f(x,y)在(0,0)點不連續(xù),該定理為充分條件,而不是必要條件.（四）創(chuàng)新性數(shù)學品質(zhì)19世紀中葉,數(shù)學界長期認為對于一個區(qū)間上的任意連續(xù)函數(shù),總認為存在可微點的直覺想象,但是1860年數(shù)學家魏爾斯特拉斯卻極為精巧地構造了一可以被稱為“數(shù)學中的藝術品”的反例: f(x)=229。這是一個在實數(shù)軸上點點連續(xù)點點不可微的函數(shù),從而嚴格弄清楚了函數(shù)的連續(xù)性與可微性之間的關系,推翻了流行很長時間的謬誤,可見反例在數(shù)學發(fā)展史中的重要地位.[8]反例就是逆向思維的一種表現(xiàn)形式,也就是說,逆向思維在數(shù)學發(fā)展史的崇高地位,、結(jié)束語從以上的例子我們看到,在數(shù)學分析學習中,考慮遞推,考慮研究逆否命題,逆向應用公式,考慮問題的不可能性,反證法,分析法,復雜化等,可以開辟新的解題途徑,避開繁雜的計算,維結(jié)構,根據(jù)自己的學習、研究、理解、體會、分析,解題方法靈活多樣,雖然我們不可能歸納出題目的一切類型,更不可能找到解題的神方妙法,但是,人們在長期的解題實踐中,總結(jié)了豐富的經(jīng)驗,尋找了一些更為科學、,、參考文獻[1]逆向思維（反向思維）【J】，華東科技 2008，（10）[2]劉玉璉 傅沛仁 林玎 范德馨 劉寧 數(shù)學分析講義.（第五版）高等教育出版社[3]朱紅英 王金華 :第二期[4]梁經(jīng)瓏 :第二期 [5]馬建珍 :第十二期[6]裴禮文 數(shù)學分析中的典型問題與方法 [M].北京:高等教育出版社， [7] Baum， the analysis of the case [M].Shanghai。在執(zhí)著的探索中，逐步養(yǎng)成嚴謹、求實的學習作風，既能尊重他人的成果，也勇于提出自己的見解”。而在寫作中運用“逆向思維”就是從與傳統(tǒng)觀點相反的角度探索問題，往往能出奇制勝，確立新的主題。最后用學生習作《只有盡其用，方可顯其能兼給“驢”正名》來給學生提供整篇文章的示范，努力使這次作文指導的課堂結(jié)構更趨完整。可是，因為住得太近了，生意上的競爭非常激烈。一天，一個裁縫在他的門前掛出一塊招牌，上面寫著這樣一句話：北京城里最好的裁縫！另一個裁縫看到了這塊招牌，連忙也寫了一塊招牌，第二天也掛了出來，招牌上寫的是：全中國最好的裁縫！第三個裁縫眼看著兩位同行相繼掛出了這么大氣的廣告招牌，搶走了大部分的生意，心里很是著急。第三天，第三個裁縫掛出了他的招牌，果然，這個裁縫從此生意興隆。你看，聰明的第三家裁縫沒有再向大處夸自己的小店，而是運用了逆向思維，在選用廣告詞時選了在地域上比“全國”、“北京”要小得多的“本街”一詞。二、什么是逆向思維？它有什么作用？“反彈琶琶”即逆向思維在寫作中的運用。逆向思維法就是反過來想一想，不采用人們通常思考問題的思路，而是從相反的方向去思考問題?！胺磸棥本褪菑哪痴擖c的對立角度去確立新觀點，去闡發(fā)新見解。運用逆向求異思維的方法，立意才會有新的意境，發(fā)人深省。兩個兒子聽后，都騎上自己的馬，緩慢的行走，太陽炙熱，沙漠烤人，沒過多久，兩個人便熱得支撐不住了。因為父親說要看哪匹馬后到，兩人一換馬，比慢的賽馬就變成了比快的賽馬。這個辦法看起來只是換了一種騎法，實際上是換了一種思維方式，換了一個角度分析問題。