【正文】 學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，例如數(shù)字電視、語音、通信、雷達(dá)、聲納、遙感、圖像、生物醫(yī)學(xué)以及許多工程應(yīng)用領(lǐng)域。以往的濾波器大多采用模擬電路技術(shù)，但是，模擬電路技術(shù)存在很多難以解決的問題，例如，模擬電路元件對(duì)溫度的敏感性，等等。 Matlab 是“矩陣實(shí)驗(yàn)室” (MATrix LABoratoy)的縮寫，它是由美國(guó) Mathworks 公司于 1984 年正式推出的一種面向科學(xué)與工程的計(jì)算軟件，是一種以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)的交寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 2 互式程序語言，專門針對(duì)科學(xué)、工程計(jì)算及繪圖的需求。全球現(xiàn)有超過五十萬的企業(yè)用戶和上千萬的個(gè)人用戶，廣泛分布在航空航天、金融財(cái)務(wù)、機(jī)械化工、電信、教育等各個(gè)行業(yè)。 Matlab 本身包含了 600 余個(gè)用于數(shù)學(xué)計(jì)算、統(tǒng)計(jì)和工程處理的函數(shù)，這樣，就可以迅速完成科學(xué)計(jì)算任務(wù)而不必進(jìn)行額外的開發(fā)。 由于我們所面對(duì)的工程問題越來越復(fù)雜，過去所依賴分析的技術(shù)已逐漸不敷使用。使用 Matlab 軟件進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，能夠極大加快科研人員進(jìn)行研究開發(fā)的進(jìn)度，減少在編寫程序和開發(fā)算法方面所消耗的時(shí)間和有限的經(jīng)費(fèi)，從而獲得最大的效能。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計(jì)公式，而且還有較為完整的圖表可供查詢，因此充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾 波器的設(shè)計(jì)帶來很大方便。實(shí)際中，有三種廣泛應(yīng)用的濾波器，即巴特沃斯低通濾波器、切比雪夫低通濾波器，橢圓低通濾波器。這些變換均是復(fù)值映射，根據(jù)數(shù)字濾波器所保持的模擬濾波器的不同特性，研究出不同的變換技術(shù)。除了低通數(shù)字濾波器之外，實(shí)際中還常常需 要高通、帶通、及帶阻數(shù)字濾波器。 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法是利用模擬濾波器成熟的理論及設(shè)計(jì)圖表進(jìn)行的，因而保留了一些典型模擬濾波器優(yōu)良的幅度特性，但設(shè)計(jì)中只考慮到了幅度特性，沒考慮到相位特性，所設(shè)計(jì)的濾波器相位特性一般是非線性的。而 FIR 濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時(shí)，很容易做到有嚴(yán)格的線性相位特性。窗函數(shù)法的 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 海明窗設(shè)計(jì)數(shù)寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 3 字低通濾波器、漢寧窗設(shè)計(jì)數(shù)字高通濾波器、布拉克曼窗及三角窗設(shè)計(jì)數(shù)字帶通濾波器和漢寧窗設(shè)計(jì)數(shù)字帶阻濾波器。 寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 4 第 2章 數(shù)字濾波器的基本概念 數(shù)字濾波器的定義 濾波器 (filter)，是一種用來消除干擾雜訊的器件，將輸入或輸出經(jīng)過過濾而得到純凈的直流電。 數(shù)字濾波器由數(shù)字乘法器、加法器和延時(shí)單元組成的一種算法或裝置。 數(shù)字濾波器的分類 根據(jù)沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)間特性，數(shù)字濾波器分為 IIR(Infinite Impulse Response)數(shù)字濾波器和 FIR(Finite Impulse Response)數(shù)字濾波器。 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法 模擬濾波器設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)通常是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。 巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì) 巴特沃斯的特點(diǎn)是同頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最為平坦，沒有起伏，在截止頻率以外，頻率響應(yīng)單調(diào)下降。在截止頻率處有3dB 的衰減。而高階巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)近似于理想低通濾波器。當(dāng) ?=0 時(shí)， |)(| ?jH =1；當(dāng) ?=?c 時(shí)， |)(| ?jH =1/ 2 ， ?c為 3dB 截止頻率。因此當(dāng)通帶的邊緣能夠滿足指標(biāo)要求時(shí)，在通帶的內(nèi)部肯定會(huì)有較大富余量，造成濾波器的階次 N 比較高。這樣，就可以使濾波器階數(shù)大大降低。 寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 5 切比雪夫?yàn)V波器的振幅特性就具有這種等波紋特性。采用何種形式的切比雪夫?yàn)V波器取決于實(shí)際用途。 橢圓低通濾波器設(shè)計(jì) 橢圓 (Elliptic)濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋幅頻響應(yīng)特性。又因?yàn)樵?1931年，考爾(Cauer)首先提出了采樣有限零點(diǎn)設(shè)計(jì)的濾波器，所以其另一個(gè)通用名字為考爾 (Carer)濾波器。濾波器階次 N 等于通帶和阻帶內(nèi)最大點(diǎn)和最小點(diǎn)的和。設(shè)計(jì)過程是：按照數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)要求設(shè)計(jì)一個(gè)過渡模擬低通濾波器 ??sHa ，再按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將 ??sHa 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ??zH 。為了保證轉(zhuǎn)換后的 ??zH 穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求： (1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。因此，轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)使 s平面的左半平面映射到 z平面的單位圓內(nèi)部。 將系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 從 s 平面轉(zhuǎn)換到 z 平面的方法有很多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 ??sHa 是模擬濾波器的系統(tǒng)傳 遞函數(shù)，又令 ??zH 是數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。且模擬和數(shù)字頻率滿足下列關(guān)系： ????。 經(jīng)過以上 分析，按照脈沖響應(yīng)不變法，通過模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù) ??sHa ，可直接求得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) ??zH ,其設(shè)計(jì)具體步驟歸納如下： (1)利用 ????(可由關(guān)系式 ez sT? 推出 )，將數(shù)字濾波器指標(biāo) ?P ， ?S 轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo) ?P ， ?S (2)根據(jù)指標(biāo) ?P ， ?S 來設(shè)計(jì)模擬濾波器 ??sHa (3)利用部分分式展開法，把 ??sHa 展成 ??? ?Nk kka Ps AsH 1)( () (4)最后把模擬極點(diǎn) Pk 轉(zhuǎn)換為數(shù)字極點(diǎn) eTSk ，得到數(shù)字濾波器： 寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 7 ? ? ? ?? ? ?Nk TS k Ze AzH k1 11 () 雙線性 Z 變換法 為了克服脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，由于 ????的頻率關(guān)系是根據(jù) ez sT?推導(dǎo)的，所以是 ?j 軸每隔 ?/2? 便映射到單位圓上一周，引起的頻域 混疊，人們找到了另一種映射關(guān)系： 112 ??? ZZTS () 此關(guān)系稱為雙線性 Z 變換法。 從而可得數(shù)字帶阻濾波 器的傳遞函數(shù)表達(dá)式為： 寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 8 ? ? ? ?| 201 2c os21 1 ZZ ZSa sHZH ?? ? ?? ??? ? () 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器 設(shè)模擬低通濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ??sHa ，則模擬低通濾波器 s 平面到數(shù)字帶通濾波器的 Z 平面的變換公式為： Z ZZS ? ??? ? ??1 c os21 2 201 ? () 頻率變換公式為： ? ??sin c osc os 0 ??? () 其中 ? ?? ?? ?? ?2c os 2c osc os 0 ?? ???lhlh ??? () 式中 ?l為下截止頻率， ?h為上截止頻率。設(shè) FIR 濾波器單位脈沖響應(yīng) ??nh 長(zhǎng)度為 N，其系統(tǒng)函數(shù) ??zH 為 ? ? ? ??? ?? ?10Nn nznhzH () ??zH 是 z1? 的 (N1)次多項(xiàng)式，它在 z 平面上有 (N1)個(gè)零點(diǎn)，原點(diǎn) 0?z 是 (N1)階重極點(diǎn)。 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)方法與 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有很大的不同。 線性相位條件 對(duì)于長(zhǎng)度為 N的 ??nh ,傳遞函數(shù)為 ? ? ? ??? ?? ?10Nn njj enheH ?? () ? ? ? ? ? ?eHeH jij ??? ?? () 式中， ()H? 稱為幅度特性， ???? 稱為相位特性。第一類線性相位特性是 ??nh 是實(shí)序列且對(duì) ? ? 2/1?N 偶對(duì)稱，即 ? ? ? ?1??? nNhnh 。具有線性相位的 FIR 數(shù)字濾波器既有恒定的延遲群，又有恒定的相延遲。所以 ，這兩類線性相位，有四種情況討論其幅度特性特點(diǎn)。此時(shí)， ()H? 對(duì) 0, ,2? ? ?? 呈偶對(duì)稱。此時(shí) ()H? 對(duì) ??? 呈奇對(duì)稱。 (3) ??nh 為奇對(duì)稱，且 N為奇數(shù) (Ⅲ型濾波器 ) 當(dāng) h(n)為奇對(duì)稱，且為奇數(shù)時(shí)，濾波器的幅頻函數(shù)可以表示為： ( 1 ) / 21( ) ( ) s in ( )NnH c n n????? ? （ ） 其中 N 1( ) 2 ( ) , 1 , 2 , ,22Nc n h n n? ? ? …。但是當(dāng)02? ? ?? ， ， 時(shí)， ( ) 0H?? ，所以低通、高通濾波器不能采用這種形式。此時(shí) ()H? 對(duì) 02??? ， 呈奇對(duì)稱，對(duì) ??? 呈偶對(duì)稱。 線性相位 FIR 濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 第一類和第二類線性相 位的系統(tǒng)函數(shù)綜合起來表示為： ? ? ? ? ? ?zHzzH N 11 ????? () 上式表明，如 zzi?是 ??zH 的零點(diǎn)，其倒數(shù) zi1? 也必然是其零點(diǎn)；又因?yàn)???nh 是實(shí)序列， ??zH的零點(diǎn)必定共軛成對(duì)，因此 zi* 和 ??zi1*? 也是其零點(diǎn)。 常用窗函數(shù)介紹 矩形窗 (Rectangular window) 定義為 : ? ? ? ?nRn NR ?? () 頻率響應(yīng)為： 1()2sin( )2()sin( )2NjjRNW e e ??????? () ? ?ejR ?? 主瓣寬度為 N/4? ，第一副瓣比主瓣低 13dB。 三角形窗 (Triangular window) 定義為： ? ? ? ????????????????121,1221210,12NnN nNnN nnR? () 其頻率響應(yīng)為： 21()2( 1 )sin ( )2 4()1 sin ( )2NjjRNW e e N???????????? ????? () 寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 11 其主瓣寬度為 N/8? ，第一副瓣比主瓣低 26dB。 實(shí)現(xiàn)函數(shù)為 hann，其調(diào)用格式為： w=hann(N) 海明窗 (Hamming window) 海明窗函數(shù)是一種改進(jìn)的升余弦函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為： ? ? ? ? ? ?nRNnn NR 12c o ??? ?? () 其幅度頻率特性為： ? ? ? ? ?????? ?????? ????????? ???? NWNWWW RRRHm ?????? () 其主瓣寬度為 N/8? ，能量更集中在主瓣之中，主瓣的能量約占 %，第一旁瓣的峰值比主瓣小 40dB。其幅度頻率特性為： 2 2 4 4( ) 0 . 4 2 ( ) 0 . 2 5 [ ( ) ( ) ] 0 . 0 4 [ ( ) ( ) ]1 1 1 1R R R R RW W W W W WN N N N? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） ()RW? 為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。它的最大旁瓣值比主瓣值低 57dB。在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際需要和技術(shù)要求來選取窗函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。 本章小結(jié) 這一章， IIR 濾波器的設(shè)計(jì)步驟分為三步，即模擬低通濾波器設(shè)計(jì)，模擬 數(shù)字濾波器變換，濾波器的頻帶變換。 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)包括三部分：線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)，常用窗函數(shù)及其 Matlab 仿真 ， 基于窗函數(shù)的 FIR 數(shù)字 濾波器 設(shè)計(jì)及其 Matlab 仿真 。 FIR 數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，可以用一個(gè)因果系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)，因而 FIR 數(shù)字濾波器可以做成即是因果又是穩(wěn)定的系統(tǒng)。正確地選擇窗函數(shù)可以提高所 設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的性能，減小 FIR 數(shù)字濾波器的階次。 寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 13 第 3 章 基于 Matlab 的 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)與仿真分析 基于 Matlab 的模擬濾波器設(shè)計(jì)與仿真分析 巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)與仿真分析 Matlab 信號(hào)處理工具箱 函數(shù) buttap 是 巴特沃斯 低通模擬 濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)。 取 N階巴特沃斯濾波器（ N=1,4,10,22），進(jìn) 行比較分析 n=0::3。 case 2 N=4。