蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-223數(shù)學(xué)歸納法同步測試題-在線瀏覽
2025-02-07 03:04本頁面
【正文】 3kk k?? ? ? 23 7 4 ( 1 ) ( 3 4 )22k k k k? ? ? ??? ( 1)[3( 1) 1]2kk? ? ?? ， 1nk? ? ? 時，等式成立． 由（ 1）和（ 2） 知對任意 n ??N ，等式成立． 8．求證： 1 2 1( 1)nnaa???? 能被 2 1aa?? 整除（其中 n ??N ）． 證明：（ 1）當(dāng) 1n? 時， 2 1 2( 1) 1a a a a? ? ? ? ?能被 2 1aa?? 整除，即當(dāng) 1n? 時原命題成立． （ 2）假設(shè) ()n k k ???N 時， 1 2 1( 1)kkaa???? 能被 2 1aa?? 整除． 則當(dāng) 1nk??時， 2 2 1 1 2 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )k k k ka a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )k k ka a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 211 2 1 2( 1 ) 1 1 kkka a a a a a ?????? ? ? ? ? ? ???． 由歸納假設(shè)及 2 1aa?? 能被 2 1aa?? 整除可知， 2 2 1( 1)kkaa???? 也能被 2 1aa?? 整除，即 1nk??命題也成立． 根據(jù)（ 1）和（ 2）可知，對于任意的 n ??N ，原命題成立． 備選題 1． 已知等差數(shù)列 ??na 和等比數(shù)列 ??nb ，且 11ab? ， 22ab? ， 12aa? ， 0na? ， n ??N ，試比較 3a 與 3b ， 4a 與 4b 的大小，并猜想 na 與 nb （ 3n≥ ， n ??N ）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解：設(shè) 11a b a??， ??na 的公差為 d ， ??nb 的公比為 q ． 22 ( 1 )a b a d a q d a q? ? ? ? ? ? ? ?． 因為 0na? ， 12aa? ， 0d??， 0a? ， 11dq a? ? ? ? ． 2 2 233 ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 0b a aq a d aq a a q a q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 33ba??． 又 3244 ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) 0b a a q a d a q q? ? ? ? ? ? ? ?， 44ba??． 猜想 ( 3 )nnb a n n ???N，≥ ． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此猜想： （ 1） 當(dāng) 3n? 時，已證 33ba? ，猜想正確． （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? （ 3k≥ ， k ??N ）時猜想正確，即 kkba? ． 則當(dāng) 1nk??時，由 1kkb aq?? ， ( 1)ka a k d? ? ? 知： 1 ( 1)kaq a k d? ? ? ?， 又 1q? ， ( 1)kaq aq k dq? ? ? ?， 而 ( 1)d a q??， 11 ( ) ( 1 ) ( )kkkb a aq a k d aq k dq a k d??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 ) ( 1
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