韋達(dá)定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用-在線瀏覽
2025-02-06 07:53本頁面
【正文】 所以 因?yàn)? ，所以 ，故 = ，將 、 代得 從而直線 的方程為 ，顯然直線 過定點(diǎn) . 例 17 設(shè) 、 分別是橢圓 的左右焦點(diǎn)，問是否存在過點(diǎn) 的直線 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) 、 ，使得 .若存在，求直線 的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由 . 解：假設(shè)存在滿足條件的直線 ，易知點(diǎn) 在橢圓外部，當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)，直線 與橢圓無交點(diǎn) .當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，設(shè)為 ，則有 ，由方程組 得 依題意 解得 當(dāng) 時(shí)，設(shè)交點(diǎn) 、 ， 的中點(diǎn)為 ，則 ， 所以 又 所以 ，即 故不存在直線 使得 . 韋達(dá)定理在三角中的應(yīng)用主要有：求邊長(zhǎng)的取值范圍、判斷三角形的形狀、解決與方程和函數(shù)有關(guān)的三角問題、運(yùn)用韋達(dá)定理（逆定理）求三角形內(nèi)角、求三角形面積、證明三角中某些關(guān)系等 . 例 18 設(shè) 的兩邊 和 之和為 ， 是 的中點(diǎn)， ，則 的取值范圍為 _____.（第十六屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 解：設(shè) ，則 由 知， ，則 ，所以 ， 因而 、 是方程 的兩根 于是 解得 . 例 19 的三邊 、 、 滿足 ，試問 是什么三角形（按邊分類），并證明你的結(jié)論？（ 1988年 “ 縉云杯 ” 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 證明：由題意知 所以 、 為方程 的兩根 所以 ，解得 ，從而 ， 故 為等腰三角形 . 例 20 在 中 、 、 分別是 、 、 的對(duì)邊，且 、 是關(guān)于 的方程 的兩根，判斷 的形狀 . 解：把方程化為一 般式 由韋達(dá)定理得 （ 1） （ 2） （ 1）式平方得 將（ 2）式代入得 ，即 故 是直角三角形 . 例 21 已知 是 的一個(gè)內(nèi)角，且 和 是關(guān)于 的方程 的兩根，判斷 的形狀 . 解：由韋達(dá)定理得 兩邊同時(shí)平方得 因?yàn)? ，所以 顯然， ，只有 ，這時(shí) ， 故 是直角三角形 . 例 22 已知 、 是方程 的兩根，求 的最小值 . 解：題設(shè)中的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是 ，解得 由韋達(dá)定理得 所以 因?yàn)? ，所以 ，即 當(dāng) 時(shí)，上式等號(hào)成立，故 得最小值為 . 例 23 已知 的三邊 、 、 符合關(guān)系式 ，若 ， .求作以 、 為根的一元二次方程 . 解：因?yàn)? ，所以 又因?yàn)? 所以 由 ，得 ，所以 由韋達(dá)定理逆定理得所求方程為 . 例 24 如圖 2，在直角 中，斜邊 .已知 、 是一元二次方程 的兩個(gè)根，求 的值 . 圖 2 解：設(shè) ，由韋達(dá)定理得 所以 即 解得 或 因?yàn)? 、 是三角形的邊長(zhǎng)，所以 ，故 ，即 ， 于是 . 例 25若函數(shù) 的圖象過點(diǎn) 及點(diǎn) ，求 的值 . 解：由題設(shè)得 即 由此知 、 是方程 的兩根，由韋達(dá)定理 得 所以 下面把求值式用 來表示： 原式 = = = = = = = = =2
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